2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟卷8

2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟08

一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知复数z满足（lT）z=2i,则z的模为（）

A.1B.72C.y/jD.2

【答案】B

【解析】

【分析】先由复数的除法运算计算得z=-1+i，进而可得模长.

【详解】复数z满足（1—i）z=2i,z=3=叱1）_]+i,

l-i（1-1）（l+i）

所以|z|=、历.

故选：B.

2.已知角a的终边上有一点P（l,3）,则sm（"-一sm[万+的值为（）

2cos（ar—2万）

.4

A.1B.——C.—1D.—4

【答案】A

【解析】

【详解】根据三角函数的定义可知tana=3,

根据诱导公式和同角三角函数关系式可知

sin（乃-a）-sin—+a

12Jsmct-cosa113-1.

----------------------—二------------=一tana—=----=1.

2cos一2»）2cosa222

故选：A.

3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A.y=--B.y=tanx

x

C.y=2'D.y=x3

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇函数可排除C选项，由函数为增函数可排除A、B选项，得出答案.

【详解】选项A.函数y=-'为奇函数，但在定义域内不是增函数，故不正确.

x

选项B.函数y=tanx为奇函数，但在定义域内不是增函数，故不正确.

选项C.函数y=2、不是奇函数，不正确.

选项D.函数y=d是奇函数且在R上为增函数.故正确.

故选：D

4.下列命题正确的个数是（）

①两两相交的三条直线可确定一个平面

②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行

③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行

④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质，对选项中的命题判断正误即可.

【详解】对于①，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故①错误；

对于②，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故②错误；

对于③，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故③正确；

对于④，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线，故④错误.

正确的命题只有一个.

故选：D

5.在一A3C中，AB±AC'且,3|=卜4=君，股是3c的中点，0是线段A"的中点，则

Q4.（O3+OC）的值为（）

J?55

A0B.C.——D.——

448

【答案】C

【解析】

【分析】建系求出各点的坐标，进而应用数量积的坐标运算即可.

【详解】如图，以A为原点，AB,AC所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，

则4(0,0),B(V5,0),C(0,V5),

因为M是3C的中点，所以

因为。是线段40中点，所以。

144J

所以03=］至,一好［oc=［_立，至］,OA=A/5A/5)

-丁-彳/

144J144J1

所以O3+OC=［李

所以04(03+00=一手乂岑+卜当卜?=一；

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算，从而得解.

「八3cosAa厂00e,

6.在AABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,三知=,且〃2—c2_2b，则》一

cosCc

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦定理及余弦定理可求解.

3cosAn

【详解】------=—,即为3ccosA=〃cosC,

cosCc

联士c/?2+c2—a2+b2-c2

即有3c-----------------=a-----------------

2bcZab

即有。2-02=人5,

2

又@-a=2b,则26=工》2,

2

解得6=4.

故选：A.

S2

7.若一个圆柱的底面直径和高相等，表面积记为加，一个球的表面积记为S?,=则这个圆柱跟这

»23

个球的体积之比为（)

A.2立3月B.2:3C.4:9D.72:73

【答案】C

【解析】

r2

【分析】设圆柱的底面半径为厂,球半径为尺，由题可得一=—,即可求出体积之比.

R3

【详解】设圆柱的底面半径为小则高为2r，设球半径为A,

万厂乃厂-l

S[=22+22r=671r,S2=4兀K,

S、_671r2_2r2

一sj4%R2~3'"

71rl-2r3r34

则这个圆柱跟这个球的体积之比为44=*=3.

—7lK

3

故选：C.

8.如图，正四棱台容器ABC。—4与。］。1的高为12cm,AB=10cm,\B}=2cm,容器中水的高度为

6cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm,若忽

略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（）

aG

【答案】A

【解析】

【分析】先计算水的体积，再计算放入球后水和球的总体积，可得铁球的体积，利用体积公式可得答案.

【详解】正四棱台容器ABC。—44GR的高为12cm,AB=10cm,4用=2%，

正四棱台容器内水的高度为6cm,由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为g（2+10）=6,

其体积为匕=3k2+1。2+病而卜6=392cm3;

放入铁球后，水位高为9cm,沿A耳作个纵截面，从4,四分别向底面引垂线，如图，

其中所是底面边长10cm,4〃是容器的高为12cm,GH是水的高为9cm,

GNB.G1

由截面图中比例线段的性质定=扇=I,可得GN=1,此时水面边长为4cm,

42X102X9=468cn?,

放入57个球的体积为468—392=7601?,

设小铁球的半径为小贝|57*3兀/=76,解得「=，Lcm.

3N71

故选：A

二、多选题：本题共4小题，出20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种

组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（）

B.该校高一学生中选考物化政组合的人数为96

C.该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多

D.用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取6人

【答案】AC

【解析】

【分析】根据政史地的人数和占比即能得到A；先求物化生的人数为800x35%=280人，物化地和物化政

组合的人数相等，就能得到物化政组合人数，即B；物理440,历史360,C对；利用分层抽样的特点就能

得到D.

【详解】对于A,选科为政史地的人数为200人，占比为25%.该校高一学生共有网=800人，A正

25%

确;

对于B：选科为物化生的人数为800x35%=280人，...选科为物化政的人数为

800-200-280-160

=80,B错误;

2

对于C,选考历史人数有200+160=360人，选考物理的人数有280+80+80=440人,

选考物理的人数比选考历史的人数多，C正确；

对于D,选科为生史地的学生人数占比为国=0.2=20%,

800

..•采用分层抽样抽取20人，生史地组合应抽取20x20%=4人，D错误.

故选：AC.

10.已知4力是单位向量，且。+6=(1,—1),则()

A.\a+b\=2

B.°与6垂直

兀

C.a与a—。的夹角为I

D.\a-b\=\

【答案】BC

【解析】

【分析】根据向量模的坐标表示可判断A；将|a+0|=2两边平方，可得。力=0,判断B；根据向量模的

计算公式可判断D；根据向量的夹角公式可判断C.

【详解】由a+6=(l,—1),得|〃+6|="西了=血，所以A选项错误；

因为a,6是单位向量，将|a+61=41两边平方得/+//+2«.b=l+l+2a-Z?=2，

得a-b=0，即a与6垂直，所以B选项正确；

由|a—b『=。一+万—2a•/?=1+1—0=2，所以|a—6所以D选项错误；

设。与。一匕的夹角为仇利，则cose："""，

\a\\a-b\lxV21x^/22

---71

所以a与a-匕的夹角为'=［，所以C选项正确・

故选：BC.

11.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是

A.异面直线AC与BG所成的角为60。

B.直线A片与平面ABG。成角为45。

C.二面角A—一5的正切值为行

D.四面体2-AB。的外接球的体积为巫力

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,平移直线BG到直线A。；对B,作出线面所成的角，再利用三角函数求解；对C,作出

二面角的平面角，再求正切值；对D,利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球.

【详解】如图所示，连接A，,A。，

B

对A,平移直线BG到直线AQ,则N2AC异面直线AC与BG所成的角，显然为正三角形，二

ZD,AC=60,故A正确；

对B,BQ工BQ,BXO±AB,AB50=3,•.4。，平面,二ZB/O为线面角，

AO=->B,O=—，••tanZB.AO=—.故B错误；

21213

,tan/AO3=—=0

对C,在三角形钻C中，二/AOB为二面角的平面角，、历，故C正

~T

确；

对D,利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，；.R=",；.丫=%尺3=走万，故D正确.

232

故选：ACD.

【点睛】本题考查空间中角的概念与计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.

12.已知函数/(1"cos'x—sii/x,则以下说法中正确的是()

A.7(%)的最小正周期为兀

B.”X)在—上单调递减

C.函数g(x)=2/(x)-6在［0,10］内共有7个零点

D.函数/(%)在区间(/eR)上的最大值为“(，)，最小值为N"),则函数

【答案】ACD

【解析】

【分析】先化简原式可得：/(x)=cos2x,即可求出周期和单调区间，由/(%)=日数形结合可判断

兀1

C,因为区间t--,t(/eR)的长度恰好是函数周期的所以由函数/(尤)的图象知：当区间

(feR)恰好关于函数八力的对称轴对称时，函数厂⑺=M(/)—N⑺取得最小值，进而可得

出结论.

【详解】解：因为函数/(x)=cos4x-sin4%=(cos2尤+sin2；t)(cos2x—sin2x)=cos2x,

27r

对于A：函数/(%)的最小正周期为万=兀，故A正确:

对于B:由2E<2XV2E+TI(左$Z)得防cv九v+eZ),

jr

因此函数〃尤)的单调递减区间为kn,k7i+-(ksZ).

又当上=0时，0,为是函数/(尤)的一个单调递减区间，故在(工，得］上不单调，故B不正确;

乙kJL乙J.乙J

对于C：令g(x)=2/(x)—6=0,则/(x)=等，

作直线》=#与函数的在［0,10］内图象如下：

由图象知：直线7个不同的交点，故。正确;

jr1

对于D：因为区间t--,t（feR）的长度恰好是函数/（x）周期的i，

所以由函数/（%）的图象知：当区间（/eR）恰好关于函数/（x）的对称轴对称时，函数

r（t）=M（/）—N（。取得最小值.

此时，区间（/eR）的中点为一巴QeR）,所以x=7—P（/eR）是函数〃力的对称轴.

4J88

不妨设x=t—殳=0,解得f=g,则区间/—«eR）变为—,

此时M（。=cos0=1,N（°=cos=等，所以函数厂”）=加0）一N（t）的最小值为1—冷，故D

正确.

故选：ACD.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知a=（0,5）S=（2,—1）,则a在匕上的投影向量的坐标为.

【答案】（—2,1）

【解析】

【分析】由a在b上的投影向量代入公式同〈。5《为》力计算即可.

【详解】解：由。=（0,5）1=（2,—1）,

a-bb_-5（2,-1）/、

可得。在b上的投影向量为：］犷.同=有.々」=（-2,1）.

故答案为：(—2,1).

14.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且45'=1,O'C'=3,O'A=2,则原梯形的面积为

【解析】

【分析】由直观图作出原图形，为直角梯形，确定出各边长后计算面积即得.

【详解】在坐标系中作出直观图对应的原图形QWC，它是直角梯形，如图.

故原梯形的面积为：5=-x(l+3)x4=8,

2

故答案为：8-

15.如图，在正方体中，A、B、C、。分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、。四点共面的图形

(填上所有正确答案的序号).

【答案】①③④

【解析】

【分析】四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性

进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据.

图①：证明AB〃EECD//EF,可得A8〃C。；

图③：证明AC//EF,可得BO〃AC；

图④：证明GH〃EF,AC//EF,BD//GH,可得BZ)〃AC.

【详解】图①：取G。的中点尸，连结BEEF,

:B、厂均为相应边的中点，贝心BF/LHG

又•••序么AE，则BFLAE即ABFE为平行四边形

.,.AB//EF

同理：CD〃EF

则AB〃CO即A、B、C、。四点共面，图①正确；

①

图②：显然AB与CD异面，图②不正确；

图③：连结AC,8O,EF,

BE//DF即BDFE为平行四边形

C.BD//EF

又C分别为相应边的中点，贝UAC〃石厂

.•.BZ)〃AC即A、B、C、。四点共面，图③正确;

B

②

图④：连结AC,2D,E£Ga

GE//J1F即GEFH为平行四边形,则GH//EF

又C分别为相应边的中点，贝|AC〃EF

同理：BD//GH

，BD〃AC即A、B、C、。四点共面，图④正确.

故答案为：①③④.

16.近期，贵州榕江“村超”火爆全网，引起足球发烧友、旅游爱好者、社会名流等的广泛关注.足球最早起

源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太

宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D,连接这四点构成三棱锥A-BCD如

图所示，顶点A在底面的射影落在△3CD内，它的体积为生叵，其中△3CD和都是边长为6

2

的正三角形，则该“鞠”的表面积为.

【答案】52万

【解析】

【分析】由线面垂直关系，利用分割法求三棱锥体积，由垂直关系结合球心性质找到球心位置，再运算求解

球半径即可.

【详解】如图，

取3c的中点E，连接。石，AE，

因为BCLDE,BCLAE,

又DEu平面AED,AEu平面AED,DE\AE=E,

所以3cl平面AED,3Cu平面ABC,

所以平面ABC1平面AED,同理可证，平面3CD_L平面AED,

设△3CZ)和的中心分别为”、F,在平面AED内，过歹、”分别作人及石。的垂线，设交点为

0,即/0,

又平面ABCc平面AED=AE，由面面垂直的性质定理可知，0万_1_平面ABC,

同理可得，平面BCD,即球心为。，设“鞠”的半径为R,连接OE,

则匕-BCD=^B-AED+匕-AE£)=§/\AED'BC,

即：丑®=\LAE-DEsinNAEDBC，

232

又BC=6,AE=DE=3%，

所以sin/AED=走，又顶点A在底面的射影落在△BCD内，则Z4£E>=60。，

2

由HE=FE，0E为公共边,得RtAOHE与RtAOFE全等,

则0E为NAED的角平分线，所以NOE"=30°.

在RtOEH中，因为EH=LED=6,则O〃=EHtan30°=l

3

在RJOCW中，CH=25R2=OH-+CH2=I2+(273)'=13，

所以该“鞠”的表面积S=4TTR2=4TTX13=52%.

故答案为：52万

四,解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知向量〃=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且〃//人a.Lc.

(1)求向量b、c；

(2)若用=24-万，〃=〃+c,求向量历，〃的夹角的大小.

【答案】(1)b=(3,6),。=(2,—1)

/、3万

(2)——

4

【解析】

【分析】(i)由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求x,y,进而可求；

(2)设向量口，〃的夹角的大小为9.先求出机，n,然后结合向量夹角的坐标公式可求.

【小问1详解】

解：因为a=(L2),b=(3,x),c=(2,y),且“〃。，d1c

所以1—2><3=0,a-c=2+2y=0,

所以x=6,y=-L

所以6=(3,6),c=(2,-l)；

【小问2详解】

解：设向量机，〃的夹角的大小为6.

由题意可得，m=2a-b=(2,4)-(3,6)=(-1,-2),〃=a+c=(3,l),

m-n-lx3-2xl亚

所以cos。

Im||77175x^02

因为万，所以e=—.

4

18.如图，在多面体ABCDE中，AAEB为等边三角形，AD//BC,BCLAB,BC=2AD,点、F为边

的中点.

(1)求证：AF//平面DEC.

(2)在上找一点G使得平面AFG〃平面DCE,并证明.

【答案】(1)证明见解析(2)点G为3c的中点.证明见解析

【解析】

【分析】(1)取EC中点连接月0,DAf,根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；

(2)先由题意，确定点G为3C的中点；再给出证明：连接bG,AG,根据面面平行的判定定理，即

可证明结论成立.

【详解】（1）取EC中点M，连接府，DM,

'：AD/IBCIIFM,AD=-BC^MF,

2

；•AD似尸是平行四边形，AF/ADM，

•••AFU平面DEC,斯匚平面。£。，二转//平面。£。.

（2）点G为BC的中点.

证：连接FG,AG,

因为G、E分别是BC,3E的中点，所以GF//CE,

又Gbcz平面。CE,CEu平面。CE,所以GP//平面。CE,

又因为AD/ABC,AD^-BC,所以AD〃GC且AD=GC，

2

即四边形AOCG是平行四边形，所以。C//AG,

因为AGo平面。CE,所以AG//平面。CE.

又因为AGGF=G,所以平面AFG〃平面。CE.

【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及补全面面平行的条件，熟记线面平行的判定定理，以及面面平

行的判定定理即可，属于常考题型.

19.已知函数/（尤）=4。：osxcoslx~^~~

(1)求/(九)的单调递增区间;

7T6

(2)若as0,—,且〃a)=一,求cos2a.

I2v75

【答案】(1)\k7r--,k7r-^\(keZ)；(2)独上士

L1212」、)10

【解析】

【分析】(1)根据两角和的余弦公式、二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式化简得出

/(%)=2cos+,再根据余正弦型函数的图象和性质，利用整体代入法即可求出/(%)的单调递增

区间;

(2)根据题意，由得出cos[2a+£]=|,由于ae0,1TTTTTT

得出生<2。+上再由同

662

角三角函数的平方关系求出sin12a+W)=g,所以cos2a=85口2。+彳)—胃，最后根据两角和与

差的余弦公式，即可求出结果.

【详解】解：(1)7(x)=4cosxcos-G

=2^/3COS2x-2sinxcosx-6=V§(l+cos2x)-sin2x—G

JI

令2女》—"<2九H■—<lk7i,解得:

6

/jrjr

所以“x)的单调递增区间为k兀-五,k兀-记(左eZ)；

TT6

(2)由于ae0,—,且〃1)=—,

L2j'，5

而/(a)=2cos12a+—,所以cos12tz+—,

._.-TC-广.TC-TC7TC.TC-TCTC

因为t0<。<一，所以一02aH——<——,则一《2。+—《一，

2666662

所以sin[2a+]=4

5

则cosla=cos2a+-----=cos\2a+—cos——i-sin2a+-sin—

I66I6j6I6j6

36413百+4

—x----+—x—

525210

20.已知锐角ABC的内角A,所对的边分别4c,且a=3/=J7.若p=(。,一〃)，

q=(sin23,sinA),且p_Lq.

(1)求角B和边C.

uumiuun21011

(2)若点。满足求..ACD的面积.

33

【答案】(1)―,c=2；(2)

32

【解析】

【分析】(1)由向量垂直得数量积为0,再由正弦定理化边为角，可求得B角，然后由余弦定理求得c,

注意取舍.

(2)由向量的线性运算求得。在3c上位置，利用A3C的面积得出结论.

【详解】(1)由;_Lq,BP(6z,-Z?)•(sin2B.sinA)=asin2B-Z?sinA=0,由正弦定理，

2sinAsinBcosB-sinBsinA=0,又sinAw。，sin5w。，

1(7t\7t

/.cosB=—,又3£0,—,B——.

2I2)3

由加=4+。2—2accosB，代入a=3方=V7得°2—3c+2=0，，c=l或2,

又c=l时，a2>b2+c2,不合题意，舍;

c=2时,a2<b2+c2符合题意，所以c=2.

uum1uun71011

(2)AD=-AB+-AC,

33

uunuumuun1uun71011皿2101uun2nLl11

，BD=AD-AB=-AB+-AC-AB=-(AC-AB)=-BCf

二。在3c上，且为靠近。的三等分点,

3x2x30,

^/XABC

2222

…°AACD_3_3X2_2

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量垂直的数量积表示，解

题关键是由正弦定理化边为角.在解三角形中已知两边和一边对角求第三边时也可以应用余弦定理列式求

解，同样需要判断三角形解的情况.

21.如图，四面体A3CD中，。是3。的中点，ZXA即和△3CD均为等边三角形，AB=2,AC=46.

（2）求二面角A—3C—。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵好

5

【解析】

【分析】（1）连接OC,证得在JL0C中，由AO?+