2024学年广州市高二数学上学期第二次质检试题卷及答案解析

学年广州市高二数学上学期第二次质检试题卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（

）A．B．C． D．3．已知向量，，向量在向量上的投影向量为（

）．A．B．C． D．4．圆的圆心和半径分别是（

）A．，1 B．，3 C．，2 D．，25．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（）A． B． C． D．6．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（

）A． B． C．3 D．7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（

）A．的方程为B．在上存在点，使得到点的距离为3C．在上存在点，使得D．上的点到直线的最小距离为18．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．12二、多选题（本大题共3小题）9．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（

）A．点的坐标为2,1 B．C． D．的最大值为510．已知圆：，直线：（），则（

）A．直线恒过定点B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1C．直线与圆有两个交点D．圆与圆恰有三条公切线11．如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（

）A． B．直线与所成角的余弦值为C．平面 D．直线与平面所成角为三、填空题（本大题共3小题）12．已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为．13．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为内一点，记，则的最小值为.14．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆，过作直线圆交于点．(1)求证：是定值；(2)若点．求的值．16．如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥．(1)求证：四点共面.(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17．已知为圆C：上任意一点，(1)求的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值．18．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切.(1)直接写出的反射光线所在直线的方程；(2)求圆的方程；(3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程.19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．

参考答案1．【答案】A【详解】设直线的倾斜角为，因为该直线的斜率为，所以，所以，故选：A2．【答案】A【详解】由题意，，，，，，设是平面的一个法向量，则有，令，得，，.故选：A.3．【答案】A【详解】由题意可知，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A4．【答案】C【详解】由圆的标准方程，得圆心为，半径为2.故选：C.5．【答案】B【详解】直线的方程为，其斜率为，设直线的斜率为，，．由题意可知，，，的方程为：，即．故选：B6．【答案】A【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.因为，故，,所以点到直线的距离为.故选：A7．【答案】C【详解】对A：设点Px,y∵，则，整理得，故C的方程为，故A正确；对B：的圆心，半径为，∵点到圆心的距离，则圆上一点到点的距离的取值范围为，而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确；对C：设点Mx,y∵，则，整理得，∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆，又，则两圆内含，没有公共点，∴在C上不存在点M，使得，C不正确；对D：∵圆心到直线的距离为，∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确；故选：C.8．【答案】A【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为，且，则点的坐标为，则，记，则可将理解为点到的距离之和，即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值.如图，作出点关于直线的对称点,则，连接，交直线于点,则即的最小值，且,故的最小值为.故选：A.9．【答案】ABC【详解】因为可以转化为，故直线恒过定点，故A选项正确；又因为：，即恒过定点，由和,满足，所以,可得,故B选项正确；所以,故C选项正确；因为,设为锐角,则,，所以,所以当时,取最大值,故选项D错误.故选：ABC.10．【答案】ACD【分析】A，将直线变形，即可得到直线过的定点；B，结合点到直线的距离公式，可得到结果；C，由定点在圆内，即可判断；D，利用圆心距与两圆半径之间的关系即可判断.【详解】对于A，直线，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；对于B，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B错误；对于C，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故C正确；对于D，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，此时两圆圆心距为，所以两圆的位置关系为外切，则两圆恰有三条公切线，故D正确.故选ACD.11．【答案】ABD【详解】不妨设则.对于A，因,故，故，故A正确；对于B，因，,则，，设直线与所成角为，则故B正确；对于C，因，即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误；对于D，因，,因，，则有因平面，故平面，即平面的法向量可取为，又，设直线与平面所成角为，因，，，则，因，故，故D正确.故选：ABD.12．【答案】【分析】由空间向量共面定理列方程组得到，再结合二次函数的性质解出最值即可；【详解】因为，，共面，所以，即，即，解得，所以，所以，所以最小值为，故答案为：.13．【答案】/【详解】设为坐标原点，由，可得，且为锐角三角形，所以费马点在线段上，如图所示，设，则为顶角是的等腰三角形，可得，又由，则，所以的最小值为.故答案为：.14．【答案】【详解】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为，所以，得到，又正三棱柱的高为2，所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心，又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为，则，又点是正三棱柱表面上的动点，当与（或）重合时，的值最小，此时，由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大，连接，并延长交于，则，此时，得到.故答案为：15．【答案】(1)为定值，证明见解析(2)-1【详解】（1）若直线的斜率不存在，则，则，所以；若直线的斜率存在，设，，消去，得，，又，所以.综上，为定值.（2）易知直线的斜率存在，由（1）知，所以，得，由，得，所以.16．【答案】(1)证明见解析;(2)存在，．【详解】（1）证明：因为平面平面，所以．因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直，则以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系,根据题意，得．所以．因为，所以共面，又有公共点，所以四点共面．（2）解：存在，求解如下：，则，设m=x1则，即，令，得平面的一个法向量为．假设线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，令，则，设n=x2,y即，令，得平面的一个法向量为．设平面与平面所成角为，则．化简整理，得，因为，所以，所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时．17．【答案】(1)最大值为，最小值为(2)最大值为，最小值为【详解】（1）由题可知，设,得直线，该直线与圆有交点即可，所以圆心到直线的距离要小于等于半径即可，有解得即所以的最大值为，最小值为（2）显然表示点Mx,y到点的距离的平方，即已知Mx,y在圆上，所以显然，所以所以所以所以所以的最大值为，最小值为.18．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用对称性质求出反射光线所在直线的方程.（2）设出圆心坐标，利用切线性质，结合点到直线距离公式求出圆心坐标即得.（3）由（2）求出点坐标，设出点坐标，利用直角三角形边角关系、切线长定理及三角形面积公式求出点坐标，再借助光的反射性质求出直线的方程.【详解】（1）设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上，所以的反射光线所在直线的方程为.（2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3，则，即，整理得或，又点在第一象限，即，因此，点，所以圆的方程为.（3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点，由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧，设，则，连接，，，，又，整理得，解得，即点，直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为，直线的方程为，即.19．【答案】(1)证明见解析(2