2024学年莆田市十五中高二数学上学期第二次月考试卷及答案解析

学年莆田市十五中高二数学上学期第二次月考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（）A． B．2 C． D．42．等比数列中，、是方程的两根，则的值为（

）A． B． C． D．3．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（）A．B．C． D．4．在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（

）A．11 B．12 C．13 D．145．双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是（）A． B． C．， D．，6．若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．或7．已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（

）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，若的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（

）A．B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（

）A． B．C．当时，是的最大值 D．当时，是的最小值10．对于曲线，下面说法正确的是（

）A．若，曲线C的长轴长为4B．若曲线是椭圆，则的取值范围是C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是D．若曲线是椭圆且离心率为，则的值为或11．已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是（

）A．若点的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为B．若椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是C．若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是D．若点的坐标为，椭圆上存在点P使得，则椭圆的离心率的取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12．设等比数列的前项和为，若，，则．13．已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为．14．已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知等差数列满足，的前n项和为．(1)求及；(2)令，求数列的前n项和．16．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．17．已知点和点在椭圆上.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程.18．已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上.19．已知曲线上的点满足，曲线过点的切线与直线相交于点.(1)求曲线的标准方程；(2)以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

参考答案1．【答案】D【详解】由方程可知：，由椭圆的定义可知．故选：D．2．【答案】D【详解】由韦达定理可得，因此，.故选：D.3．【答案】D【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为，由得，由得，故，所以该椭圆的方程为.故选：D.4．【答案】A【详解】因为数列为等差数列，设公差为，因为有最大值，故，即，又，即一正一负，而，所以，，又由得，故所以，，则，，则当时，的最大值为.故选：A.5．【答案】A【详解】由已知双曲线，可知，，设双曲线的两焦点分别为，，不妨设，则,解得或，又双曲线上的点到焦点的距离，所以，故选：A.6．【答案】D【详解】曲线是双曲线，则异号.则，解得.故选：D.7．【答案】B【详解】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选：B8．【答案】C【详解】设双曲线的方程为：，因为离心率，故半焦距，故，而双曲线过，故，解得，故双曲线的方程为：，故选：C.9．【答案】ACD【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可.【详解】因为，，成等比数列，所以，即，整理得，因为，所以，所以，则，故A正确、B错误；当时单调递减，此时，所以当或时取得最大值，即，故C正确；当时单调递增，此时，所以当或时取得最小值，即，故D正确；故选：ACD10．【答案】ACD【分析】根据双曲线、椭圆的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】曲线，A选项，，，则，A选项正确.B选项，若曲线是椭圆，则，解得且，所以B选项错误.C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，C选项正确.D选项，曲线是椭圆且离心率为，，由B选项的分析可知且，当时，椭圆焦点在轴上，，解得；当时，椭圆焦点在轴上，，解得，所以的值为或，D选项正确.故选：ACD11．【答案】BCD【分析】A选项，设出，，则，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段长度的最小值，A错误；B选项，先得到上下顶点能够使得为等腰三角形，再数形结合得到为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，列出不等式组，求出答案；C选项，分与两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到P点与上顶点或下顶点重合时，最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围；D选项，设，，则，表达出，问题转化为在上有解问题，数形结合得到，求出离心率的取值范围.【详解】设，，则，，，若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为；若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为，综上：A错误；如图，椭圆左右顶点为，上下顶点为，显然上下顶点能够使得为等腰三角形，要想椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，以为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，则要满足，且，即，解得：，且，故椭圆的离心率的取值范围是，B正确；若，此时与椭圆有公共点，故存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，此时，即；若，即时，如图所示：连接OP，OB，显然，，则，因为在上单调递增，要想最大，只需最大，故当最小时，满足要求，故P点与上顶点或下顶点重合时，最大，故当时满足要求，所以，即，所以，解得：，所以，综上：若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是，C正确；设，，则，椭圆上存在点P使得，即在上有解，即在上有解，令，注意到，，故只需满足，由①得：，由②得：或，综上：则椭圆的离心率的取值范围是，D正确.故选：BCD【点睛】离心率时椭圆的重要几何性质，是高考重点考察的知识点，这类问题一般有两类，一是根据一定的条件求椭圆的离心率，另一类是根据题目条件求解离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于的等式或不等式，并且根据化为的等式或不等式，求出离心率或离心率的范围，再求解椭圆离心率取值范围时常用的方法有：一，借助平面几何图形中的不等关系；借助平面几何图形中的不等二，利用函数的值域求解范围；利用函数的值域求解范围；三，根据椭圆自身性质或基本不等式求解范围等.根据椭圆自身性质或基本不12．【答案】280【详解】由等比数列的性质，知，，也成等比数列，即40，80，成等比数列，所以，所以．故答案为：280.13．【答案】【详解】如图，取线段的中点M，连接，因为，，所以，且，所以，设，所以C的离心率为，故答案为：14．【答案】1【详解】根据题意可知，即可得，即；由椭圆定义可得，又可知；所以可得，即，解得，因此的面积为.故答案为：115．【答案】(1)，；(2).【详解】（1）由题设，则，故等差数列的公差，所以，；（2）由（1），则.16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程；（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；双曲线过点，；由得：，双曲线的方程为：；（2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为；若直线过双曲线的左焦点，则，由得：；设，，则，；由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；综上所述：.17．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由题意可知，解得，椭圆的方程为.（2），则直线的方程为，即，，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为，则，解得或，当时，联立，解得或，即或，当时，此时，直线的方程为，即当时，此时，直线的方程为，即，当时，联立，得，，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或

18．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由左、右顶点为，先求，再设点的坐标，利用斜率公式表示条件，结合点在椭圆上，由此可得椭圆方程.（2）解法一（非对称韦达）：设点的坐标及直线的方程为，联立直线与椭圆的方程组，化简写出韦达定理，然后表示出直线，的方程相除结合韦达定理化简即可；解法二（齐次化）：设不过点的直线的方程，由题意求出的值，然后表示出直线，的斜率，设点，结合椭圆方程化简分析即可.【详解】（1）如图所示：

根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上，所以，得，则，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）解法一（非对称韦达）：由题意如图所示：

设点，可设直线的方程为：，联立，得，由根与系数的关系，，直线的方程：，①直线的方程：，②①②得，因为，所以，解得，因此，点在定直线上.解法二（齐次化）：由题意如图所示：

设不过点的直线的方程为：，由于直线过，所以.设，点.椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得，，即，即，由根与系数的关系，，又由题意可得：，所以两式相除得：，即，解得，所以点在定直线上.19．【答案】(1)；(2)过定点，.【分析】（1）根据椭圆的定义结合条件即可求出方程；（2）切线，与椭圆方程联立，利用，可得，