【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第7章-第1节-不等式的性质及解法

第七章第一节一、选择题1．(2022·双鸭山一中月考)已知全集为R，集合A＝{x|(eq\f(1,2))x≤1}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝()A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0<x≤2或x≥4}[答案]C[解析]∵(eq\f(1,2))x≤1，∴x≥0，A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x<2或x>4}，∴A∩(∁RB)＝{x|0≤x<2或x>4}，故选C．2．(文)(2021·天津)设a、b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]由于a2≥0，而(a－b)a2<0，所以a－b<0，即a<b；由a<b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0，所以(a－b)a2<0是a<b的充分不必要条件．(理)若a>0且a≠1，b>0，则“logab>0”是“(a－1)(b－1)＞0”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]∵a>0且a≠1，b>0，∴logab>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,0<b<1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,b>1.))⇔(a－1)(b－1)>0.3．(文)(2022·陕西咸阳范公中学摸底)若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是()A．a2>b2 B．eq\f(b,a)<1C．lg(a－b)>0 D．(eq\f(1,3))a<(eq\f(1,3))b[答案]D[解析]当a＝－1，b＝－2时，a2<b2，eq\f(b,a)>1，lg(a－b)＝0，可排解A，B，C，故选D．(理)(2022·福建四地六校其次次月考)已知a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) D．b－eq\f(1,b)>a－eq\f(1,a)[答案]A[解析]∵a>b>0，∴eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，∴a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故选A．4．(2021·西安模拟)设α∈(0，eq\f(π,2))，β∈[0，eq\f(π,2)]，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是()A．(0，eq\f(5π,6)) B．(－eq\f(π,6)，eq\f(5π,6))C．(0，π) D．(－eq\f(π,6)，π)[答案]D[解析]由题设得0<2α<π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π.5．(文)已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()A．m≥1 B．m≤－1C．m≤－1或m≥1 D．－1≤m≤1[答案]A[解析]∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x∈R，mx2＋2≤2为假，得∀x∈R，mx2＋2>0，∴m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假，得∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2mx0＋1≤0，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.由①和②得m≥1，故选A．(理)(2022·山东潍坊一中检测)若命题“∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2,6] B．[－6，－2]C．(2,6) D．(－6，－2)[答案]A[解析]若命题为假命题，则满足Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤[点评]留意区分存在性命题的真假与恒成立命题的真假．(2022·上海交大附中训练)若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－∞，－eq\f(13,11)) D．(－∞，－eq\f(13,11))∪(1，＋∞)[答案]C[解析]①当m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不合题意；②当m≠－1时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1<0，,Δ<0，))解得m<－eq\f(13,11).6．(文)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2，则不等式f(log4x)>2的解集为()A．(0，eq\f(1,2))∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(0，eq\f(\r(2),2))∪(eq\r(2)，＋∞) D．(0，eq\f(\r(2),2))[答案]A[解析]作出函数f(x)的示意图如图，则log4x>eq\f(1,2)或log4x<－eq\f(1,2)，解得x>2或0<x<eq\f(1,2).故选A．(理)(2021·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)；④a3＋b3>2a2b.其中确定成立的不等式为()A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④[答案]A[解析]由a>b>0可得a2>b2，①正确；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴2a>2b－1，②正确；∵a>b>0，∴eq\r(a)>eq\r(b)，∴(eq\r(a－b))2－(eq\r(a)－eq\r(b))2＝2eq\r(ab)－2b＝2eq\r(b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0，∴eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)，③正确；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④错误．二、填空题7．(2022·温州十校联合体期中)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<4}，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为________．[答案]{x|x>eq\f(1,2)或x<eq\f(1,4)}[解析]由已知得a<0且2,4为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由韦达定理得－eq\f(b,a)＝6，eq\f(c,a)＝8，两式相除得－eq\f(b,c)＝eq\f(3,4)，又eq\f(a,c)＝eq\f(1,8)，留意到a<0，∴c<0，∴不等式cx2＋bx＋a<0⇔x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0⇔x2－eq\f(3,4)x＋eq\f(1,8)>0⇔(x－eq\f(1,2))(x－eq\f(1,4))>0，∴x>eq\f(1,2)或x<eq\f(1,4).[点评]1.不等式解集的分界点为对应方程的根．2．与二次函数有关的几类常考问题．(1)求不等式的解集．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是()A．(eq\f(3,2)，eq\f(15,2)) B．[2,8]C．[2,8) D．[2,7][答案]C[解析]由4[x]2－36[x]＋45<0，得eq\f(3,2)<[x]<eq\f(15,2)，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x<8.(2)已知不等式的解集(或解集特征)求参数值．(2022·山西高校附中月考)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则全部符合条件的a的值之和是()A．13 B．18C．21 D．26[答案]C[解析]设f(x)＝x2－6x＋a，其图象开口向上，对称轴为x＝3.若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2≤0，,f1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22－6×2＋a≤0，,12－6×1＋a>0，))解得5<a≤8，又a∈Z，∴a＝6,7,8.则全部符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.故选C．(3)不等式有解问题(2022·江西第三次适应性测试)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A．a<－2 B．a>－2C．a>－6 D．a<－6[答案]A[解析]不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以g(x)≤g(4)＝－2，所以a<－2.(4)不等式恒成立问题8．(2021·扬州期末)若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．[答案]a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1[解析]作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，∵a1<a2，b1<b2，∴(a1－a2)(b1－b2)>0，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.9．若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．[答案]2[解析]解法1：由m(x－1)>x2－x整理得(x－1)(m－x)>0，即(x－1)(x－m)<0，又m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，所以m＝2.解法2：由条件知，x＝2是方程m(x－1)＝x2－x的根，∴m＝2.三、解答题10．(2021·忻州一中期中)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)若对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围[分析](1)f(x)是一次函数与对数函数的乘积，求f(x)在闭区间上的最小值用导数求解．(2)对任意x>0,2f(x)≥g(x)恒成立；即2f(x)－g(x)≥0恒成立，求参数a的取值范围，[解析](1)f′(x)＝lnx＋1，当x∈(0，eq\f(1,e))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(eq\f(1,e)，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增．①0<t<eq\f(1,e)<t＋2，即0<t<eq\f(1,e)时，f(x)min＝f(eq\f(1,e))＝－eq\f(1,e)；②t≥eq\f(1,e)时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt；所以f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0<t<\f(1,e)，,tlnt，t≥\f(1,e).))(2)∵x>0,2xlnx≥－x2＋ax－3，∴a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)，设h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)(x>0)，则h′(x)＝eq\f(x＋3x－1,x2)，当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，故a≤4.一、选择题11．(文)(2021·长沙模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为()A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－1,0) D．(0,1)[答案]C[解析]∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点，又f(x)在(－2，－1)上有一个零点，则f(－2)f(－1)<0，∴(6a＋5)(2a＋3∴－eq\f(3,2)<a<－eq\f(5,6)，又a∈Z，∴a＝－1，不等式f(x)>1即为－x2－x>0，解得－1<x<0.(理)(2021·山西诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<eq\f(1,2)，则不等式f(x2)<eq\f(x2,2)＋eq\f(1,2)的解集为()A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]D[解析]记g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)，则有g′(x)＝f′(x)－eq\f(1,2)<0，g(x)是R上的减函数，且g(1)＝f(1)－eq\f(1,2)×1－eq\f(1,2)＝0.不等式f(x2)<eq\f(x2,2)＋eq\f(1,2)，即f(x2)－eq\f(x2,2)－eq\f(1,2)<0，即g(x2)<0，即g(x2)<g(1)，由g(x)是R上的减函数得x2>1，解得x<－1或x>1，即不等式f(x2)<eq\f(x2,2)＋eq\f(1,2)的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D．12．(2022·福建泉州试验中学模拟)若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为()[答案]B[解析]由题意知a<0，由根与系数的关系知eq\f(1,a)＝－2＋1，－eq\f(c,a)＝－2，得a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2，f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，图象开口向下，与x轴交点为(－1,0)，(2,0)，故选B．13．(2021·淄博一中质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是()A．(3,7) B．(9,25)C．(13,49) D．(9,49)[答案]C[解析]由于函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，所以函数y＝f(x)为R上的奇函数，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，即为f(x2－6x＋21)<－f(y2－8y)＝f(8y－y2)恒成立，由于函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，所以x2－6x＋21<8y－y2恒成立，即x2＋y2－6x－8y＋21<0恒成立，即点(x，y)恒在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4内，当x>3时，x2＋y2表示半圆(x－3)2＋(y－4)2＝4(x>3)上的点到原点的距离的平方，所以最大为(eq\r(32＋42)＋2)2＝49，最小为点(3,2)到原点的距离的平方，即为32＋22＝13，所以x2＋y2的取值范围是(13,49)．14．(2022·山西太原模拟)已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是()A．a2<b2 B．a2b<ab2C．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)[答案]C[解析]由a<b<0得a2>b2，知A不成立；由a<b，若ab<0，则a2b>ab2，知B不成立；若a＝1，b＝2，则eq\f(b,a)＝2，eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，此时eq\f(b,a)>eq\f(a,b)，所以D不成立；对于C，∵eq\f(1,ab2)－eq\f(1,a2b)＝eq\f(a－b,a2b2)<0，∴eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b).故选C．二、填空题15．(2022·江苏徐州模拟)若a>b>0，且eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)，则实数m的取值范围是________．[答案](－b,0)[解析]由条件知，eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(ab＋bm－ab－am,bb＋m)＝eq\f(b－am,bb＋m)>0，又∵a>b>0，∴b－a<0，∴eq\f(m,m＋b)<0.解得－b<m<0.16．(文)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．[答案](－∞，0][解析]∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0，∴a∈(－∞，0]．(理)已知a>1，若不等式loga＋1x－logax＋5<n＋eq\f(6,n)对任意n∈N*恒成立，则实数x的取值范围是________．[答案](1，＋∞)[解析]∵n>0，n＋eq\f(6,n)≥2eq\r(6)，当n＝eq\r(6)时取等号，但n∈N*，∴n＝2或3，当n＝2时，n＋eq\f(6,n)＝5，当n＝3时，n＋eq\f(6,n)＝5，∴n＋eq\f(6,n)≥5，由条件知，loga＋1x－logax＋5<5，∴loga＋1x<logax，又a>1，∴x>1.三、解答题17．(文)(2022·湖北黄州月考)已知函数f(x)＝eq\f(lgx2－2x,\r(9－x2))的定义域为A，(1)求A；(2)若B＝{x|x2－2x＋1－k2≥0}，且A∩B≠∅，求实数k的取值范围．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x>0，,9－x2>0，))解得－3<x<0或2<x<3，∴A＝(－3,0)∪(2,3)．(2)x2－2x＋1－k2≥0，∴当k≥0时，1－k≤x≤1＋k，当k<0时，1＋k≤x≤1－k，∵A∩B≠∅，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥0，,1－k<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,1－k>2，))∴k<－1或k>1.(理)(2021·金华模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<eq\f(1,a)，比较f(x)与m的大小．[解析](1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)(a≠0)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a>0，且0<x<m<n<eq