【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修5双基限时练13

双基限时练(十三)一、选择题1．在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k，R为△ABC外接圆半径，则k为()A．2R B．RC．4R D.eq\f(R,2)解析由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴k＝2R.答案A2．在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C．3eq\r(3) D．3解析由A＝30°，B＝120°，∴C＝180°－(B＋A)＝30°，∴△ABC为等腰三角形，a＝c，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案B3．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2×2RsinB·cosC，∴sinA＝2·sinB·cosC.∵sinA＝sin(B＋C)，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.化简、整理，得sin(B－C)＝0.∵0°<B<180°，0°<C<180°，∴－180°<B－C<180°.∴B－C＝0，∴B＝C，故选A.答案A4．若eq\f(a2,b2)＝eq\f(tanA,tanB)，则△ABC的外形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析由eq\f(a2,b2)＝eq\f(tanA,tanB)，得eq\f(sin2A,sin2B)＝eq\f(sinAcosB,cosAsinB)，得sin2A＝sin2B，又A、B为三角形的内角，故有A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).答案D5．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4，则b＝()A．4 B．2C．1 D.eq\f(1,2)解析∵cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(2\r(2),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×eq\f(2\r(2),3)b＝4，得b＝2.答案B6．在△OAB中，O为坐标原点，A(1，cosθ)，B(sinθ，1)，θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则当△OAB的面积达到最大值时，θ等于()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析由S△OAB＝eq\f(1,2)(1－sinθcosθ)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)sin2θ，又θ∈(0，eq\f(π,2)]，∴当θ＝eq\f(π,2)时，S取得最大值．答案D二、填空题7．方程sinA·x2＋2sinB·x＋sinC＝0有重根，且A，B，C为△ABC的三内角，则△ABC的三边a，b，c的关系是________．解析由题意得4sin2B－4sinA·sinC＝0，由正弦定理，得b2＝ac.答案b2＝ac8．在△ABC中，三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且eq\f(sinA－B,sinA＋B)＝－eq\f(a＋c,c)，则角B＝________.解析由eq\f(sinA－B,sinA＋B)＝－eq\f(a＋c,c)，得eq\f(sinA－B,sinA＋B)＝－eq\f(sinA＋sinC,sinC).又A＋B＋C＝π，∴eq\f(sinA－B,sinC)＝－eq\f(sinA＋sinA＋B,sinC).∴sin(A－B)＋sin(A＋B)＝－sinA.即2sinAcosB＝－sinA.∵sinA≠0，∴cosB＝－eq\f(1,2).又B为三角形的内角，∴B＝eq\f(2,3)π.答案eq\f(2,3)π9．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝eq\f(1,2)DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－eq\r(3)，则BC＝________________.解析在△ADC中，∵∠ADB＝120°，∴∠ADC＝60°.∴S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DCsin60°＝3－eq\r(3).∴DC＝2eq\r(3)－2.又BD＝eq\f(1,2)DC，∴BC＝eq\f(3,2)DC＝3eq\r(3)－3.答案3eq\r(3)－3三、解答题10．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，a＝2(eq\r(3)＋1)，求△ABC的面积．解A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋60°)＝75°.由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2\r(3)＋1·sin45°,sin75°)＝eq\f(2\r(3)＋1·\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝4.故S△ABC＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)×2(eq\r(3)＋1)×4×eq\f(\r(3),2)＝6＋2eq\r(3).11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b－c＝2acos(60°＋C)，求角A.解由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∵b－c＝2acos(60°＋C)，∴2RsinB－2RsinC＝2·2RsinAcos(60°＋C)．∴sinB－sinC＝sinAcosC－eq\r(3)sinAsinC.又∵B＝π－(A＋C)，∴sinB－sinC＝sin(A＋C)－sinC＝sinAcosC＋cosAsinC－sinC.∴cosAsinC－sinC＝－eq\r(3)sinAsinC.∵sinC≠0，∴eq\r(3)sinA＋cosA＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2).∴在△ABC中，A＝eq\f(2π,3).12．已知△ABC的内角A、B及其对边a，b满足a＋b＝acotA＋bcotB，求内角C.解由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理，得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，得sinA－cosA＝cosB－sinB.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－B)).又0<A＋B<π，∴A－eq\f(π,4)＝eq\f(π,4)－B，A＋B＝eq\f(π,2).∴C＝eq\f(π,2).思维探究13．已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试推断这个三角形的外形．解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝bcos