【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：函数模型及其应用

2021届高三数学（理）提升演练：函数模型及其应用一、选择题1．某学校开展争辩性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现预备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A．y＝2x－2B．y＝(eq\f(1,2))xC．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优待方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人方案购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是()A．不能确定 B．①②同样省钱C．②省钱 D．①省钱3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6m2，假如该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2022年底该城市人均住房面积增加到7m2，平均每年新增住房面积至少为________万m2.(1.01A．90 B．87C．85 D．804．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从动身到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()5．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的eq\f(1,10)，要使通过玻璃的光线强度为原来的eq\f(1,3)以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.4771)()A．10 B．11C．12 D．136．将长度为2的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为()A.eq\f(4,π＋4) B.eq\f(5,π＋4)C.eq\f(7,π＋4) D.eq\f(8,π＋4)二、填空题7．在不考虑空气阻力的状况下，设火箭的最大速度是vm/s，燃料的质量为Mkg，火箭(除燃料外)的质量为mkg，三者之间的函数关系是v＝2000·ln(1＋M/m)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.8．某居民小区收取冬季供暖费，依据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)依据使用面积缴纳，每平方米4元；(2)依据建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积为60平方米．假如他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过________平方米．9．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．三、解答题10．某市出租车的计价标准是：3km以内(含3km)10元；超过3km但不超过18km的部分1元/km；超出18km的部分2元/km.(1)假如某人乘车行驶了20km，他要付多少车费？某人乘车行驶了xkm，他要付多少车费？(2)假如某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？11．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？12．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？详解答案一、选择题1．解析：直线是均匀的，故选项A不是；指数函数y＝(eq\f(1,2))x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y＝log2x的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求．答案：D2．解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)∵210<211.6，故方法①省钱．答案：D3．解析：到2022年底该城市人口有500×(1＋1%)10，则eq\f(500×1＋1%10×7－500×6,10)≈86.6(万m2)．答案：B4．解析：留意到y为“小王从动身到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D5．解析：设原光线的强度为a，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则y＝a(1－eq\f(1,10))x(x∈N*)，令y＜eq\f(1,3)a，即a(1－eq\f(1,10))x＜eq\f(1,3)a，∴(eq\f(9,10))x＜eq\f(1,3)，∴x＞eq\f(lg\f(1,3),lg\f(9,10)).∵eq\f(lg\f(1,3),lg\f(9,10))＝eq\f(－lg3,2lg3－1)＝eq\f(－0.4771,2×0.4771－1)≈10.4.即x＞10.4.答案：B6．解析：设铁丝分成的两段长分别为x，y(x＞0，y＞0)，x＋y＝2.面积之和为S＝(eq\f(x,4))2＋π(eq\f(y,2π))2＝eq\f(1,16)x2＋eq\f(2－x2,4π)＝eq\f(π＋4,16π)x2－eq\f(1,π)x＋eq\f(1,π)，当S取得最小值时，x＝eq\f(8,π＋4).答案：D二、填空题7．解析：∵2000·ln(1＋M/m)≤12000，∴eq\f(M,m)≤e6－1.答案：e6－18．解析：按方案(1)，李明家需缴240元，故设李明家建筑面积为x平方米，则3x≤240，解得x≤80.答案：809．解析：由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．由于标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10000倍．答案：610000三、解答题10．解：(1)乘车行驶了20km，付费分三部分，前3km付费10(元)，3km到18km付费(18－3)×1＝15(元)，18km到20km付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)．设付车费y元，当0<x≤3时，车费y＝10；当3<x≤18时，车费y＝10＋(x－3)＝x＋7；当x>18时，车费y＝25＋2(x－18)＝2x－11.(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3km，且小于18km，前3km付费10元，余下的12元乘车行驶了12km，故此人乘车行驶了15km.11．解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：eq\f(3600－3000,50)＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f(x)＝(100－eq\f(x－3000,50))(x－150)－eq\f(x－3000,50)×50，整理得f(x)＝－eq\f(x2,50)＋162x－21000＝－eq\f(1,50)(x－4050)2＋307050.所以，当x＝4050时，f(x)最大，其最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元．12．解：(1)每吨平均成本为eq\f(y,x)(万元)．则eq\f(y,x)＝eq\f(x,5)＋eq\f(8000,x)－48≥2eq\r(\f(x,5)·\f(8000,x))－48＝32，当且仅当eq\f(x,5)＝eq\f(8000,x)，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝