2025年统编版2024高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年统编版2024高一数学下册阶段测试试卷482考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、向量的模为10；它与x轴正方向的夹角为120°，则它在x轴上的投影为（）

A.

B.5

C.-5

D.

2、已知函数则()A.B.C.D.3、已知A（﹣1，1），B（3，1），C（1，3），则△ABC的BC边上的高所在的直线的方程为（）A.x+y+2=0B.x+y=0C.x﹣y+2=0D.x﹣y=04、已知则的值是（）A.B.-C.2D.﹣25、设函数f（x）的定义域为D；如果∀x∈D，∃y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，则称函数f（x）为“Ω函数”．给出下列四个函数：

①y=sinx；

②y=2x；

③y=

④f（x）=lnx；

则其中“Ω函数”共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、已知函数的一部分图象如下图所示。如果则（）

A.A=4B.B=4C.D.7、已知向量满足且则的夹角为（）A.B.C.D.8、已知集合A={x|鈭�1<x<2}B={x|0<x<3}

则A隆脠B

等于(

)

A.(0,2)

B.(2,3)

C.(鈭�1,3)

D.(鈭�1,0)

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、已知集合且是从集合A到B的一个映射,若集合中的元素与集合中的元素3对应，则．10、计算：=____.11、已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于则满足不等式的取值范围是_____12、【题文】圆心为C(3，－5)，且与直线x－7y+2=0相切的圆的方程为。13、【题文】如图，在底面边长为的正方形的四棱锥中，已知且则直线与平面所成的角大小为____．

14、若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，且f（5）=27，则f（11）=____15、过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为____16、方程2a=|ax-1|（a＞0且a≠1）有两个不同的解，则a的取值范围为______．17、在60°角内有一点P，到两边的距离分别为1cm和2cm，则P到角顶点的距离为______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)18、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．19、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．20、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．21、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．22、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．23、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．24、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．评卷人得分四、计算题(共4题，共40分)25、一次函数y=3x+m与反比例函数y=的图象有两个交点；

（1）当m为何值时；有一个交点的纵坐标为6？

（2）在（1）的条件下，求两个交点的坐标．26、已知关于x的方程：

（1）求证：无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根；

（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足x2-x1=2，求m的值及相应的x1、x2．27、在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=____时，AC+BC的值最小．28、（2002•温州校级自主招生）已知：如图，A、B、C、D四点对应的实数都是整数，若点A对应于实数a，点B对应于实数b，且b-2a=7，那么数轴上的原点应是____点．评卷人得分五、解答题(共3题，共6分)29、已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为（1）若试用表示（2）证明：（3）若中外接圆的半径为用表示30、本小题满分10分）已知集合．（Ⅰ）求（Ⅱ）若且求实数的取值范围．31、已知f(x)=2+acosx(a鈮�0)

．

(1)

判断函数的奇偶性；

(2)

求函数的单调区间；

(3)

求函数的最小正周期．评卷人得分六、作图题(共2题，共16分)32、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

33、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】

因为利用投影的定义可知在x轴方向上的投影为：又知||=10；并且与x轴正方向的夹角为120°；

所以=10×==-5．

故选C．

【解析】【答案】利用投影的定义可知向量在x轴上的投影应该为：而又知||=10；并且它与x轴正方向的夹角为120°，代入即可．

2、D【分析】【解答】故选D.3、C【分析】【解答】解：边BC所在直线的斜率kBC==﹣1；∴BC边上的高线斜率k=1．

又∵BC边上的高线经过点A（﹣1；1）；

∴BC边上的高线方程为y﹣1=x+1；即x﹣y+2=0．

故选C．

【分析】根据垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式方程求出．4、A【分析】【解答】解：∵•=（﹣）•==﹣1

∴=2

∴=

故选A

【分析】利用化简•得结果为﹣1，进而根据的值，求得则答案取倒数即可．5、C【分析】【解答】解：若∀x∈D；∃y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立；

即等价为∀x∈D；∃y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立．

A．函数的定义域为R；∵y=sinx是奇函数；

∴f（﹣x）=﹣f（x）；即f（x）+f（﹣x）=0，∴当y=﹣x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴A为“Ω函数”．

B．∵f（x）=2x＞0，∴2x+2y＞0；则等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函数”．

C．函数的定义域为{x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得即

∴x+y﹣2=0；即y=2﹣x，当x≠1时，y≠1，∴当y=2﹣x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴C为“Ω函数”．

D．函数的定义域为（0，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即当y=时；等式（x）+f（y）=0成立，∴D为“Ω函数”．

综上满足条件的函数是A；C，D，共3个；

故选：C

【分析】根据函数的定义，将条件转化为f（x）+f（y）=0，判断函数是否满足条件即可．6、D【分析】【分析】由图象可知，将代入可以解得选D

【点评】此类问题一般有最值求由周期求代入特殊值求求解时还要注意参数的取值范围.7、B【分析】【解答】因为且所以，所以=的夹角为故选B.

【分析】基础题，平面向量的夹角满足8、C【分析】解：隆脽

集合A={x|鈭�1<x<2}B={x|0<x<3}

隆脿A隆脠B={x|鈭�1<x<3}=(鈭�1,3)

．

故选：C

．

利用并集定义求解．

本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．【解析】C

二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】试题分析：由题意知,得故考点：映射的概念.【解析】【答案】210、略

【分析】【解析】试题分析：考点：对数的运算；指数幂的运算。【解析】【答案】11、略

【分析】的最大值是3，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于可知即相邻两个最大值之间距离是而正弦函数相邻两个最大值之间距离是一个周期，即即解得【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：将四棱锥补成一个正四面体则有如图：因此直线与平面所成的角大小为因为所以直角三角形中有

考点：线面角【解析】【答案】14、153【分析】【解答】解：二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立；

可得x2﹣2x+4=2x2﹣4x+5；解得x=1，f（1）=3；

函数的对称轴为x=1；

设函数f（x）=a（x2﹣2x）+b；

由f（1）=3；f（5）=27；

可得﹣a+b=3，15a+b=27；

解得a=b=．

f（x）=（x2﹣2x）+

f（11）=（112﹣2×11）+=153．

故答案为：153；

【分析】利用二次函数求出两个函数值相等时，x的值，利用函数的对称性设出函数的解析式，求出函数然后求解函数值．15、x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0【分析】【解答】解：若直线的截距不为0，可设为把P（2，3）代入，得，a=5，直线方程为x+y﹣5=0

若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=直线方程为3x﹣2y=0

∴所求直线方程为x+y﹣5=0；或3x﹣2y=0

故答案为x+y﹣5=0；或3x﹣2y=0

【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．16、略

【分析】解：若方程2a=|ax-1|（a＞0且a≠1）有两个实数根；

则等价为函数f（x）=|ax-1|的图象和直线y=2a有2个交点．

如图所示：

当a＞1和0＜a＜1时对应的图象为。

数形结合可得0＜2a＜1，解得0＜a＜

故a的范围为（0，）．

故答案为：（0，）．

利用数形结合；结合指数函数的图象和性质进行求解即可．

本题主要考查指数函数的图象，对于指数函数的图象要分两种情况来考虑，即a＞1和0＜a＜1，利用数形结合是解决本题的关键．．【解析】（0，）17、略

【分析】解：过点P分别做PA⊥OM；PB⊥ON，延长BP延长线与AM交于点C；

由∠MON=60°；

∴∠ACB=30°；

又AP=1；

∴CP=2AP=2；又BP=2；

∴BC=BP+CP=2+2=4；

在直角三角形ABF中；

tan∠OCB=tan30°=

∴OB=BCtan30°=4×=

在直角三角形OBP中，根据勾股定理得：OP==．

故答案为

根据题意做出图形；再根据直角三角形的知识和勾股定理即可求出．

此题考查了解三角形的运算，涉及的知识有：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，锐角三角函数以及勾股定理，其中作出辅助线是本题的突破点，熟练掌握直角三角形的性质及锐角三角函数定义是解本题的关键．【解析】三、证明题(共7题，共14分)18、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．19、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．20、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．21、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．22、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．23、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．24、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．四、计算题(共4题，共40分)25、略

【分析】【分析】（1）根据图象；有一个交点的纵坐标为6，即可得出y=6，代入解析式得出二元一次方程组即可求出m的值；

（2）将m的值代入两函数的解析式，并将它们联立，求出方程组的解即可得出交点坐标．【解析】【解答】解：（1）∵图象有一个交点的纵坐标为6；

∴y=6；代入两函数解析式得：

；

∴解得：；

∴当m为5时；有一个交点的纵坐标为6；

（2）∵m=5；代入两函数解析式得出：

；

求出两函数的交点坐标为：

3x+5=；

解得：x1=，x2=-2；

∴将x=-2代入反比例函数解析式得：y==-1；

将x=代入反比例函数解析式得：y==6；

∴两个交点的坐标分别为：（，6），（-2，-1）．26、略

【分析】【分析】（1）由于题目证明无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根，所以只要证明方程的判别式是非负数即可；

（2）首先利用根与系数的关系可以得到x1+x2，x1•x2，然后把x2-x1=2的两边平方，接着利用完全平方公式变形就可以利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题．【解析】【解答】（1）证明：∵=2m2-4m+4=2（m-1）2+2；

∵无论m为什么实数时，总有2（m-1）2≥0；

∴2（m-1）2+2＞0；

∴△＞0；

∴无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根；

（2）解：∵x2-x1=2；

∴（x2-x1）2=4，而x1+x2=m-2，x1•x2=-；

∴（m-2）2+m2=4；

∴m=0或m=2；

当m=0时，解得x1=-2，x2=0；

当m=2时，解得x1=-1，x2=1．27、略

【分析】【分析】先作出点A关于x=1的对称点A′，再连接A'B，求出直线A'B的函数解析式，再把x=1代入即可得．【解析】【解答】解：作点A关于x=1的对称点A'（-1；-2）；

连接A'B交x=1于C，可求出直线A'B的函数解析式为y=；

把C的坐标（1，n）代入解析式可得n=-．28、略

【分析】【分析】根据实数与数轴的关系得到b-a=3，而b-2a=7，建立方程组，解得a=-4，b=-1，即可确定原点．【解析】【解答】解：由数轴可得，b-a=3①；

∵b-2a=7②；

解由①②所组成的方程组得，a=-4，b=-1；

∴数轴上的原点应是C点．

故选C．五、