2021年新高考数学二轮复习提升微专题

导数中的构造问题

一、单选题

1.设/（X）（XER）是奇函数，/'（X）是/（X）的导函数，/（-2）=0.当、＞0时，

矿（力―〃x）＞0,则使得/（x）＞0成立的x的取值范围是（）

A.（-2,O）U（O,2）B.（--2）U（2,w）

C.（-oo,-2）u（0,2）D.（-2,0）52收）

【答案】D

【分析】

构造函数/（工）=/区，利用导数可得函数/（不）的在（0,+8）的单调性，然后利用函

X

数尸（X）的奇偶性可得产（x）在（-00,0）的单调性，最后简单判断可得结果.

【详解】

令尸=所以尸，（x）="'（x）；/（x）

当当x＞0时，xfz（x）-/（x）＞0,所以广（力＞0

所以可知F（x）的在（0,+力）的单调递增，

又/⑺是奇函数且〃-2）=0,所以/⑵=一/（-2）=0,则尸（2）=0

由尸（_力=比匐=乜丝1=尸（%）,

-x-xX

所以函数为（一8,0）。（0,+8）的偶函数且尸（X）在（-8,0）单调递减，F（-2）=0

当x＞0时，/（切＞0的解集为（2,+8）

当x＜0时，/（切＞0的解集为（一2,0）

综上所述：/卜）＞0的解集为：（一2,0）。（2,+8）

故选：D

1

\3

g)=-

2.已知函数/（力=，z6对于任意王，£且占土12,

试卷第1页，总229页

/(司)一/(工2)

都有>0,则实数。的取值范围是()

g(xj-g(x2)

A.。<0B.a<QC.a<\D.a<l

【答案】D

【分析】

根据已知不等式的特征，判断两个函数的单调性，结合导数，通过构造函数进行求解即

可.

【详解】

/(3)一/(8)

因为>0，所以/(xJ_/(x2)，g(F)_g(x2)同号，因此

g6)-g(x2)

/(x)与g(x)的单调性相同,

因为/(工)="+二>0,所以函数/(%)单调递增，因此g(x)乜单调递增,

g，(x)=cosx+^x2-a,

因为g(x)是增函数，故cosx+gx?-aNO恒成立.

即aWcosx+——恒成立.

2

7?(x)=COSX+—x2,则l(x)=x-sinx,设〃?(x)=x-sinx

2

因为加(x)=l-cosxNO,故=x-sinx单调递增，

又m(0)=0,故当1<0时,m(0)<0,即〃'(x)vO,因此人卜)单调递减，

当x>0时，"?(0)>0,即"(x)>0,因此〃(x)单调递增，

故Zz(x)=cosx+；x2最小值为〃(o)=i故.

故选：D

3.设/(')的定义在R上的函数,其导函数为/(X),且满足/(x)+H'(x)>0,若。=/(1),

b=2fQ),c=3/(3),则()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】B

【分析】

构造函数g(x)="(x)，利用导数得出g(x)在及上是增函数，由单调性得出a,b,c的

试卷第2页，总229页

大小.

【详解】

令g(x)=M(x)，PWg'(x)=/(x)+4'(x)>。，所以g(x)在及上是增函数，所以

g(l)<g(2)<g(3),即/(1)<2/(2)<3/(3)

故选：B.

4.函数/(%)的定义域为H,/(-1)=2,对任意/'(x)>2,贝iJ/(x)>2x+4

的解集为().

A.R

B.

C.(-1,1)

D.(-1,+<»)

【答案】D

【分析】

根据题意构造函数g(x)=/(x)-(2x+4),再结合函数g(x)的单调性与零点即可得答

案.

【详解】

解：令g(x)=f(x)-(2x+4),

所以g'(x)=/V)-2>0,故g(x)在H上单调递增，

又g(T)=/(-D-2=0,

所以当x>-l时，g(x)>0,Bl/(x)>2x+4,

所以/(x)>2x+4的解集为：(-1,+8)

故选：D.

【点睛】

本题解题的关键在于构造函数g(x)=/。)-(2x+4),进而根据函数单调性与零点求

解，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.

5.已知定义在(0,+8)上的函数/(X)满足矿(x)—/'(x)vO,其中/'(X)是函数

“X)的导函数，若/(加一2021)>(相—2021)/(1),则实数〃7的取值范围是()

试卷第3页，总229页

A.(0,2021)B.(0,2022)C.(2021,+oo)D.(2021,2022)

【答案】D

【分析】

构造函数g(x)=£9D,其中x〉o,利用导数分析函数g(x)的单调性，将所求不等

式变形为g(加-2021)>g(l),可得出关于加的不等式，即可解得实数”的取值范围.

【详解】

构造函数g(x)=/^h其中x>0,则/(x)=,⑶<0，

所以，函数g(x)=/®为(0、+8)上的减函数，

由/(加—2021),(加—2021)/(1)可得)(〃-2021)>/(0,即

m-2021

g(/n-2021)>g(l),

所以，0<加一2021<1,解得2021cm<2022.

因此，实数机的取值范围是(2021,2022).

故选：D.

【点睛】

结论点睛：四种常用的导数构造法：

⑴对于不等式/'(x)+g'(%)>0(或<0),构造函数9(%)=/(x)+g(x)；

(2)对于不等式/'(x)—g'(x)>0(或<0),构造函数尸(x)=/(x)—g(x)；

(3)对于不等式矿(x)+^(x)>0(或<0)(其中。为常数且CHO),构造函数

F(x)=xV(x)；

(4)对于不等式/'(x)+c/(x)>0(或c<0)(其中。为常数)，构造函数

尸O"(x).

6.设函数/‘(X)是奇函数的导函数，/(-1)=0,当x>()时，

矿(x)―/(x)<0,则使得/(x)>0成立的x的取值范围是()

A.(O,l)U(l,-H»)B.(-oo,-l)U(h+oo)

试卷第4页，总229页

C.(fT)U(O,1)D.(-l,0)u(l,+oo)

【答案】c

【分析】

构造函数g(x)=£^,分析出函数g(x)为偶函数，且在(0,+8)上为减函数，由

/(》)>0可得出《\)或'，，解这两个不等式组即可得解.

【详解】

构造函数g(x)=/区，该函数的定义域为{x|xw0},

由于函数/(切为奇函数，则g(r)=止立=也D=£kl=g(X),

-x-xX

所以，函数为偶函数.

X

当x>0时，g")W(x)；：(x)<0,所以，函数g(x)在(0,+8)上为减函数，

由于函数g(x)=£^为偶函数，则函数g(x)在(-8,0)上为增函数.

X

•・•/(—1)=0,则/(1)=0且/(0)=0,所以，g(-l)=g(l)=0.

“、八(g(x)>0=g⑴fg(x)<0=g(-l)

不等式/(力>0等价于''或H，解得工<-1或

0<x<I.

因此，不等式/。)>0的解集为(-8,7)50,1).

故选：C.

【点睛】

方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，耍设法将隐性划归为显性

的不等式来求解，方法是：

(1)把不等式转化为/[g(x)]>/[〃(x)]；

(2)判断函数/(x)的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，

得到具体的不等式(组)，但要注意函数奇偶性的区别.

试卷第5页，总229页

7.已知函数/'(x)=ox2+bx-lnx(a>0,bwK),若对任意工>0,有/(x)N/⑴，

则()

A.In«<-2bB.\na>-2bC.\na=-ZbD.\na>-2b

【答案】A

【分析】

根据/(x)N/⑴，可得是/(x)的极小值点，即/'⑴=0,可得a,方的关系，

对Ina与一2b的作差，可得In〃一(一2b)=ln〃+2-4〃，构造

g(x)=Inx-4x+2,(x>0),即可求得g(x)的极大值gd)=l—ln4<0,化简整理,

4

即可得答案.

【详解】

由题意得f'(x)=2ax+b一一，

x

因为⑴，所以/(x)在尸1处取得最小值，即为尸1是/(%)的极小值点，

所以/'(1)=2。+6-1=0,即6=1-2。，

所以In«-(-lb)=ln〃+2b=ln〃+2-4〃，

1l-4x

令g(x)=ln%—4x+2,(x>0),则？(x)=__4=-----,

xx

令g'(x)=0,解得x=,，

4

当xw(oj)时，gr(x)>0,所以g(x)为增函数，

当xe(；,+oo)时，g'(x)<0,所以g(x)为减函数，

所以g(x)Wg(1)=ln‘—1+2=1—ln4<0,

44

所以g(^)=Ina-4a+2=Ina-(-2b)<0,即Ina<-2b.

故选：A

【点睛】

解题的关键是熟练掌握利用导函数求解函数极值，判断单调性的方法，并灵活应用，比

较两式大小，常用作差法或作商法，难点在于构造g(x)并求极大值，属中档题.

8.已知函数/(x)=xe、，g(x)=2x\n2x,^/(x1)=g(x2)=Gt>0,则则■的

试卷第6页，总229页

最大值为()

【答案】C

【分析】

首先由Xzin/=*上」11工2=，，玉演二f,再结合函数函数/(x)=x，e”的图象可知，

王=比乙，这样转化则■=¥，利用导数求函数人(。=叱的最大值.

【详解】

Xl

由题意得，xie=t,x2Inx2=/,即/In%=*"Jn%=，，令函数/(x)=x，e",

则八x)=(l+x)/,

所以，XV-1时，/(x)v0,负X)在(-00,-1)上单调递减，x>—1时，/'(T)>0,/(x)在

(-1,+00)上单调递增，

又当X£(-8,0)时，儿:)vo,XW(0,+8)时，加A0,作函数/(x)=)e*的图象如图所示.

由图可知，当Q0时，/(x)=z有唯一解，故凡=111工2，且%>0,

In,InzIn/inf1-Inr

:.—=——=7-.设〃(。=——，，>0则/(。=^^,令，“)=()解得片e,

X〉in工个if/

，/、1In/

得火£)在(0,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，；・〃⑴4%(«)=一,即----的最

ex{x2

大值为L

e

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形，

试卷第7页，总229页

k1

1"二’，并且由函数图象判断/（x）=/＞o,只有一个零点，所以王二皿吃，

[芭。=f

这样后面的问题迎刃而解.

二、多选题

9.已知函数/（X）的导函数为/'（X）,若/（X）（矿（x）＜2/（x）-x对X£（0,+8）恒

成立，则下列不等式中，一定成立的是（）

A./（）＞与B./⑴〈与

C./（0＜^4D..+；＜/⑴

【答案】BD

【分析】

先设g（x）="?一"，〃（%）=」鱼，xe（0,+oo）,对函数求导，根据题中条件，分

XX

别判断设g（x）和人（X）的单调性，进而可得出结果.

【详解】

设g（x）=，/l（x）=^^-,X€（0,4-00）,

XX

则g，（x）=[7'（』）-1k2一2力（%）-%|二M'（x）-2/（x）+x,

x4x3

〃，（幻=矿（制；/3

X

因为/（x）＜矿（x）＜2/0）-工对X£（0,+00）恒成立，

所以g'（x）＜°，〃'（X）＞O，所以g（x）在（0,+8）上单调递减，力。）在（°，+8）上单

调递增，

则g⑴〉g⑵,A（l）＜z?（2）,

即叫＞『，世（皿即殴+L/（I）＜©

I22212422

故选：BD.

【点睛】

本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.

试卷第8页，总229页

IO.已知函数y=/(x)在R上可导且/(0)=1,其导函数广(X)满足

(x+l)[/V)-/(x)]>0,对于函数g(x)=/l,下列结论正确的是()

A.函数g(x)在(YO,-1)上为增函数B.x=-l是函数g(x)的极小值点

C.函数g(x)必有2个零点D.e2f(e)>eef(2)

【答案】BD

【分析】

对函数g(x)求导，求出单调区间和极值，可判断选项A,B；根据极小值的大小可得函

数的零点个数，判断选项C；利用g(x)在(-1,+8)上为增函数，比较g(2)与g(e)的

大小关系，判断出选项D.

【详解】

函数g(x)=驾，则g，(x)=/'(x)—"x),

当时，r(x)-/(x)>0,故g(x)在(一1,48)上为增函数，A错误；

当时，故g(x)在单调递减，故x=T是函数g(x)

的极小值点，B正确；

若g(T)<°，则歹=g(x)有两个零点，

若g(—1)=0,则>=8(工)有一个零点，

若g(-l)>0,则丁=8(外没有零点，故C错误；

g(x)在(一1,+8)上为增函数，则g(2)<g(e),即〈竺1,化简得

e~ee

e2f(e)>eef(2),D正确；

故选：BD

【点睛】

本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单

调性比较大小，属于中档题.

11.若定义域为(0,+8)的函数/(X)的导函数八X)满足矿(x)+l>0,且/(1)=1,

则下列结论中成立的是()

试卷第9页，总229页

A./(e)>0B./^j<2

C.Vxe(l,e),/(x)>0D.玉£(l,e),+

【答案】ABC

【分析】

根据题意，设g(x)=/(x)+加:，求出其导数可得g'(x)=/'(》)+1>0,结合函数的导数

X

与函数单调性的关系分析可得g(x)在(0,+8)上为增函数，据此依次分析选项，综

合即可得答案.

【详解】

解：根据题意，若定义在(0,+8)的函数/(X)的导数/‘(X)满足MTt)+l>0,

则有/'(X)+'>0,则有[/(尤)+Inx]1>0,

x

设g(x)=/W+Inx,贝ijgf(x)=r(x)+,>0,贝|Jg(x)在(0,+oo)上为增函数,

x

依次分析选项：

对于A,e>l,则g(e)>g。)，即+则有/(e)>0,符合题意；

对于8,i<i,即/d)+/J=/d)—1<1，

eyeJeee

即有/d)<2,符合题意;

e

对于C,g(x)在(l,e)上为增函数，且g(l)=l,则有/(x)+/力>1,

贝i]/(x)>i一历x,又由则/(x)>0,符合题意；

对于O,当xw(l,e),WA：>->->0,此时有/(x)>/d),

xex

即f[x}+bix>f(-)+M(l),变形可得f(x)-f(-)+2lnx>0,

XXX

又由则0<加<1,则/(刈一/(1)+2>0恒成立，不符合题意；

x

故选：ABC.

【点睛】

本题考查利用导数分析函数的单调性，注意构造新函数，并利用导数分析函数的单调性.

12.定义在R上的函数/(x)满足：/(x)+r(x)>l,/(0)=4,则关于不等式

产/(力>/+3的表述正确的为()

试卷第10页，总229页

A.解集为(0,+8)B.解集为(YO,0)U(3,+00)

C.在[-2,2]上有解D.在[-2,2]上恒成立

【答案】AC

【分析】

构造函数g(x)=e[/(x)—l],求导后可推出g(x)在R上单调递增，由/(0)=4,

可得g(O)=3,原不等式等价于g(x)>g(O),从而可得不等式的解集，结合选项即

可得结论.

【详解】

令g(x)=e[/(x)-l]，xeR.则g'(x)=，|y(x)-l+,

・.・/(x)+r(x)>i,

・・・g'(x)>0恒成立，即g(x)在&上单调递增.

V/(0)=4,

.­.g(O)=eo[/(O)-l]=3,

不等式e"(x)〉/+3可化为er[/(x)-l]>3,等价于g(x)>g(O),

・・.0,即不等式式e*/(x)>/+3的解集为(0,+8),

则在卜2,2]上有解，故选项4c正确.

故选：AC.

【点晴】

关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关

键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

三、填空题

13.设/'(X)是函数/(x)在H的导函数，对VxwR,f(-x)+f(x)=x2,且“e[0,

□)，f\x)>x.若/(2-。)一/(。)..2-2*则实数。的取值范围为

【答案】(—8,1]

【分析】

可构造函数g(x)=/(x)-g/,由g(r)+g(x)=。，可得函数g(x)为奇函数.利用

试卷第II页，总229页

导数可得函数g(x)在R上是增函数，f(2-a)-f{a}..2-la,即g(2—a)..g(o),

可得2-a..a,由此解得。的范围.

【详解】

f(-x)+f(x)=x2,

令g(x)=/(x)—g/，

1,1,

•・,g(-x)+g(x)=/(-x)--x2+/(x)--x2=O,

・二函数g(x)为奇函数.

XG(0,+00)时，f\x)>X.

XG(0,4-00)时，g(x)=r(x)-x>0,

故函数g(x)在(0,+8)上是增函数，

故函数g(x)在(TO,0)上也是增函数，

由/(0)=0,可得g(x)在R上是增函数.

/(2-a)-/(a)..2-2a,等价于/仁—〃卜仁二也一/⑷一!，

24

即g(2-4)..g(4),

2-a...a,解得4,1.

故答案为：(-8，I

【点睛】

构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之

类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值

等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键：解这类不等

式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函

数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

14.已知不等式alnx-'+dx"对任意工£(0,1)恒成立，则实数。的最小值为

X

【答案】一。

【分析】

试卷第12页，总229页

1111

先将不等式夕-；之/-alnx变形为/Zx"—Inx"，

再构造函数/(x)=x-lnx(x>0),利用函数单调性可得，1之尸再分离参数转化

为

t7^-^^(0<x<l),然后求出函数〃(x)=xlnx(xw(O/))的最小值：即解出.

【详解】

由题意，不等式可变形为胸-』之一-alnx,

x

得，-Ine—Ax"-Inx"对任意"£(°』)恒成立.

设/(x)=x-lnx.

，］、11

则//之/(/)对任意xe(O,l)恒成立，f(x)=l--=—,

当0Vx<1时，f\x)<0,所以函数/(%)在(0,1)上单调递减，

当x>l时，/(%)>0,所以函数/(x)在(1,+oo)上单调递增.

当x«0,l)时，因为求实数。的最小值，

所以考虑。<0的情况，此时/>1，

因为函数/(X)在(1,-Ko)上单调递增，

所以要使/6>f(xa),只需1NX。，

\Z

两边取对数，得上Lzalnx,

X

由于X£(0,l),所以°之

令人(x)=xlnx(xe(O,l)),则〃(x)=lnx+l,

令/f(x)=0,得x=L

e

易得〃(x)在k上单调递减，在(：/)上单调递增，

所以Mx)min=dm=T,所以［意)=♦所以0之一《，

所以实数。的最小值为-e.

故答案为：一《

试卷第13页，总229页

【点睛】

关键点睛：求解不等式问题的关键：(1)适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需

要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边

具有相同的结构特点；(2)构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，

并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点

构造函数，并借助导数加以求解.

15.若工w[o,一时，关于x不等式or%""+21nx«0恒成立，则实数。的最大值是

ke)

【答案】2e

【分析】

对。分类讨论，当。40时，不等式显然恒成立.当。N0时，对不等式进行变形为

eavlnear<<2Inx'2,然后构造函数/(x)=xlnx,根据函数单调性化简不等式，最

后分离参数。，即可求出。的范围，进而求出。的最大值.

【详解】

当时，X不等式"3«奴+21nx《0显然恒成立.

kej

当a20时，=ax3eax+2Inx<0ax3em<-2Inx.

由于xw0,-1axe^<x~2Inx~2，即「.e"Ineax<x2Inx~2.

ke)

所以原不等式ax3eax+21nr<0恒成立，等价于Ina"<r-2Inr-2恒成立.

构造函数/(x)=xlnx,/*(x)=l+lnx.

易知fix｝在(0,3上单调递减，在(-,-KX))上单调递增.

ee

则原不等式等价于要证f(eax)<f(x-2).

因为要使实数。的最大，则应产丫工厂2

加，一2Inx/、—2Inx.1、.，/、—2(1—Inx)

即aV-----.记函数g(x)=------(0<x<-),则夕(x)=----------.

xxex

□A•八1，/、-2(1—Inx)

易知0<x<一，g(x)=----------<0.

ex

故函数女。)在(0,-)上单调递减，所以或x)<g(-)=2e.

ee

因此只需

试卷第14页，总229页

综上所述，实数。的最大值是2e.

故答案为：2e

【点睛】

(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.关键是分离参数，把所

求问题转化为求函数的最小值问题.

(2)若可导函数/㈤在指定的区间。上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为/8巨0(或

/(》)4))恒成立问题，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

(3)根据不等式构造函数，由函数的单调性化简所求的不等式是本题关键之步.

16.若关于X的不等式/-41!1124恒成立，则实数〃的取值范围为.

【答案】［0,可

【分析】

首先不等式变形为e'NQinex，经讨论不成立，当。20时，不等式变形为

ex>tzInexoexex>aexInex，通过设函数g(x)=xe”,转化为不等式

eg(x)Nag(lnex)恒成立，通过函数g(x)的单调性，和正负区间，讨论求。的取值范

围.

【详解】

解：ex-a\nx>aoex>a\nx+aoex>a\nex

若a<0,x—>0时，Inex——oo,ex—>1»**•«In—>+oo,

x

此时eNQInex不恒成立，・・.。N0,

ex>aInex<=>exex>aexInex，

令g(x)=xe",gf(x)=(x+l)er=0,x=-1，

时，gf(x)<0,xe(-l,+<»),gf(x)>0,

g(x)在单调递减，(-1,+0。)单调递增，・・・8(。.=8(-1)=-1，

e

eg(x)>ag(lnex),ln(ex)<0,g(x)>0,g(lnex)<0,原K等式恒成立；

试卷第15页，总229页

g)>0时，

g(lnex)e

1r—1

令/(x)=x-lnex，/(x)=1——=------=0,x=l,

xx

X£(0,l)时，//(X)<O,X€(l,+8)时，/f(x)>o,

・•・/(X)在(0,1)单调递减，在。,+0。)单调递增,

，/(X)min=/⑴=»***X>Inex»

Ag(x)>g(lnex),即21,/.-<1,：.0<a<e.

g(lnex)e

故答案为：［0,。］.

【点睛】

关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，第一个关健是说明。<0不恒

成立，第二个关键是a20时，不等式的变形e'Nalnex<=>exe*\aexlnex，构造函

数g(x)=xe',第三关键是证明等

g(lnex)

四、解答题

17.设函数/(x)=x,e1g(x)=E誓，

厂

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)设对于任意和^6支可，且再<修，都有葭再)-g(“)〈旦恒成立,求实

xx-x2x,x2

数机的取值范围.

【答案】(D/(X)的单调递减区间是(-8,-1)，单调递增区间是(一1,+8)；(11)［-1,+8).

【分析】

(I)对函数/W求导，然后计算/'(x)>0与/'(x)<0,即可得当调区间；(II)将

试卷第16页，总229页

g(*)_g(x2)〈与转化为g(xj+%,g(x2)+处,然后根据题意，设

玉一起王々玉X2

(p(x)=g(x)+—,可知函数次x)在口,句上单调递减,即得d(x)<0成立，然后参变

X

分离求解.

【详解】

(I)易知的定义域为R,

/(x)=(x+l)e\当x>—1时，/'(》)>0,「./(外在(-1,+8)上单调递增，

当X<-1时，/(X)<0,f(X)在(-8,-1)上单调递减.

・・・/(X)的单调递减区间是(-8「1)，单调递增区间是(-1,+CO).

(II)当XI/2c［l，e］，再<小时，.(石)―「卜2)〈与恒成立,即

x{-x2x1x2

g(xj+%>g(&)+上恒成立，设8(x)=g(x)+3=lz£l+竺二艺土1二2_,由题

XlX2XXXX

意可知，0(x)在［l,e］上单调递减，

即“(X)=一炉•x［(加+1)e［=(1(m+1)«0在［l,e］上恒成立；

X2X2

(1-x)ex-(/«+1)<0,..m+1>(1-x)ex»

设义x)=(\-x)ex,则h'(x)=-xex<0,「.以幻在［l,e］上单调递减，

•・〃(X)max=MD=0,.,.W+l>0,即〃22-1

【点睛】

(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，关键是分离参数左，

把所求问题转化为求函数的最小值问题.

(2)若可导函数/(x)在指定的区间。上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为

r(x)>0(或/'(x)W0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

18.已知函数/(x)=orTn工有两个零点玉，x2.

(1)求。的取值范围；

2

(2)求证：xtx2>e.

试卷第17页，总229页

(n

【答案】(1)0,-；(2)证明见解析.

kej

【分析】

(l)/(x)有两个零点=。=岭有两个相异实根，令G(x)=岭，利用导数研究其单

XX

调性，根据G(x)的最值和图象确定。的取值范围；

ax.=Inx.

(2)不妨设再＜/,将要证不等式转化为1叫+1叱＞2,由题意得＜.，两式相

ax2=lnx2

加减后再消去。得至Ihrq+ku:2关于Z=£的函数表达式，进一步转化为证明

箱＞2(/扁—1)，令.、品2(/—1")z)、利用导数研究其单调性进而可证明•

【详解】

(1)/(、)有两个零点="二也有两个相异实根.

x

令G(x)=^,则G'(x)二1-lnx

XX

由G'(x)>0得：0<x<e，由G'x)<0得：x>et

.•.G(x)在(0,e)单调递增，在(e,+8)单调递减，

GX=G<?=

••()max()^

又・・・G(1)=O,.,.当0cx<1时,G(x)<0,当x>l时,G(x)>0

当XT+OO时，G(x)—＞0,

「./(X)有两个零点时，实数。的取值范围为(0,£

ax.=Inx.

(2)不妨设xaw,由题意得〈,,

ax2=lnx2

,、lnx—In%)

2=

a(x1+x2)=1nxi+lnr2a[x2-xj=Inx,-InX],「•a=—-----

X2~Xl

2

要证:x,-x2＞e,只需证1nxi+欣2〉2.

试卷第18页，总229页

强+1

x+x=

]叫+lnx2=Q(X[+%)=—(i2)-...In—,

X2-Xli-lX\

令％=&•,r>l,只需证

xiV-U

•.”>1...包•>(),...只需证：2(—)

t-\/+

令尸⑺=血一^^(/>1),..•尸(/)=；一$=^^>0,

U+i)tu+i)z(r+i)

.­./”)在(1,用)递增，.•.F(r)>F(l)=0,

2(一)

「.Inf>成立.

(f+1)

综上所述，玉・%2>/成立.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理

能力及运算求解能力，属于常规题目.关键难点是（2）中的消元换元转化为

I2（-1）

lnz>）并构造函数，利用导数进行证明.

£+1

试卷第19页，总229页

导数中的构造问题

一、单选题

1.设/(X)(XER)是奇函数，/'(X)是/(x)的导函数,/(-2)=0.当—>0时,

/(“一/(》)>0,则使得〃x)>0成立的x的取值范围是()

A.(―2,0)U(0,2)B.(f\-2)U(2,+oo)

C.y,—2)u(0,2)D.(—2,0)52收)

2.已知函数/(x)=e*,g(x)=sinx+-x3-ax.对于任意玉，/且玉工吃，

6

/(X)-/㈤

都有>0,则实数4的取值范围是()

g(xj-g(x2)

A.a<0B.cr<0C.a<1D.a<\

3.设/(4)的定义在R上的函数，其导函数为/‘。)，且满足了(劝+矿工)>0,若。=>\1),

力=2〃2),c=3〃3),则()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

4.函数/(》)的定义域为R,〃-1)=2,对任意xwR,/'(x)>2,则/(x)>2x+4

的解集为().

A.R

B.(-oo,-l)

C.(—1,1)

D.(-l,+oo)

5.已知定义在(0,+u)上的函数满足矿(％)一/(x)vO,其中/'(x)是函数

/(x)的导函数，若/(加一2021)>(加一2021)/(1),则实数加的取值范围是()

A.(0,2021)B.(0,2022)C.(2021,+8)D.(2021,2022)

6.设函数/'(X)是奇函数的导函数,/(-1)=0,当x>0时，

矿(x)—〃x)<0,则使得/(x)>0成立的工的取值范围是()

试卷第20页，总229页

A.(OJ)U(l,-H»)B.(f-l)U(l,+oc)

C.(-oo,-l)u(0,l)D.(-l,0)U(l,+oo)

7.已知函数/(x)=ar2+bx-Inx伍>0,6wR),若对任意x>0,有⑴，

则()

A.Ina<-2bB.Ina>-2bC.In=-2bD.In>-2b

“\、In/

8.已知函数/(x)=xe',g(x)=2xln2x,若/&)=g(%)=/,f>0,则--的

最大值为()

1412

A.——B.—-C.—D.一

eeee

二、多选题

9.己知函数/(X)的导函数为尸(X),若/(X)W犷'(X)<2/(X)-X对X£(0,+8)恒

成立，则下列不等式中，一定成立的是()

A./⑴〉午B./⑴〈牛

c./(D<^4.《4”⑴

10.已知函数y=/(x)在R上可导且/(0)=1,其导函数/'(X)满足

(x+i)[ra)—/(x)]>o,对于函数g(%)=詈，下列结论正确的是()

A.函数g(x)在上为增函数B.x=-l是函数g(x)的极小值点

C.函数g(x)必有2个零点D.e2f(e)>eef(2)

U.若定义域为(0,+。)的函数/a)的导函数_ra)满足力口)+1>0,且/⑴=i,

则下列结论中成立的是()

A./(e)>0<2

e)

D.★/«-/^+2<0

C.Vxe(l,e),/(x)>0

12.定义在R上的函数/(x)满足:〃x)+r(x)>l,/(0)=4,则关于不等式

e*/(x)>，+3的表述正确的为()

试卷第21页，总229页

A.解集为(O,+8)B.解集为(~oo,0)U(3,+oo)

C.在［-2,2］上有解D.在［-2,2］上恒成立

三、填空题

13.设/'(X)是函数/(x)在R的导函数，对DxwR,/(-X)+/(A)=X2,且Vxe［O,

”)，f(x)>x.若/'(2-4)一/(。)..2-2。，则实数。的取值范围为

14.已知不等式alnx-工+1之/对任意工£(0,1)恒成立，则实数。的最小值为

x

15.若时，关于％不等式级3*+2inx«0恒成立，则实数。的最大值是

16.若关于x的不等式e'-olnxNa恒成立，则实数〃的取值范围为.

四、解答题

17.设函数/a)=x.e\g(x)二三答，

(I)求函数“X)的单调区间；

(II)设对于任意占户2e［l，e］，且王<》2,都有g*-g")<』-恒成立,求实

x,-x2x1x2

数〃7的取值范围.

18.已知函数/(x)=〃x-lnx有两个零点为，x2.

(1)求。的取值范围；

2

(2)求证：xxx2>e.

试卷第22页，总229页

等差数列与等比数列

I.在等比数列｛为｝中，若03=2,47=8,则4等于()

A.4B.-4C.±4D.5

答案A

解析•・•数列｛m｝为等比数列，且。3=2,幻=8,

.•・ag=a3F7=2X8=16,则。$=±4,

•・•等比数列奇数项的符号相同，.・・。5=4.

2.设Si为等差数列｛斯｝的前〃项和.若Ss=25,“3+44=8,则｛为｝的公差为()

A.-2B.-1C.1D.2

答案A

解析依题意，可得S5=酗±也=丝丝=25,

22

解得S=5,

又。3+。4=8,所以内=3,

所以公差d=a4—内=3—5=—2.

3.记S”为等比数列｛%｝的前〃项和.若牛一。3=12,46—。4=24,则&等于()

an

A.2W-1B.2—2厂“

C.2-2,rlD.2「"一1

答案B

解析方法一设等比数列｛五｝的公比为小

则1=口=曰=2.

as-a312

由as~ay=aiq4—a]q2=\2a\=12得m=1.

试卷第23页，总229页

所以S"=2"-1=2_2广”.

nl

an2~

方法二设等比数列｛斯｝的公比为夕，

门「。302一的=12,①

则，■八

(i4q一内=24,②

将夕=2代入①，解得仍=4.

所以0="：=1,下同方法一.

r

4.已知等差数列｛小｝和等比数列｛瓦｝的各项都是正数，且0=力，。"=加|.那么一定有

()

A.B.a62b6