2021年江苏省高考数学考前压轴冲刺06 函数的性质问题（解答题）（解析版）

专题06函数的性质问题

考点预测

高考函数的性质常以基础题或中档题以上的题型出现，尤其对函数的零点的考察近几年常以压

轴题型出现.常用的结论如下：

1.一般地，对于定义在区间。上的函数y=f(%)

(1)若存在&e。，使得f(&)=殉,则称与是函数y=f(%)的一阶不动点，简称不动点；

(2)若存在&G。，使/Va。))=则称/是函数y=f(x)的二阶不动点，简称稳定点;

2.函数y=/(x)满足对定义域内任一实数x(其中。为常数)，

①〃力=/(工+々)，则y=/(力是以7=々为周期的周期函数；

②/(x+〃)=-/(x),则是以丁二加为周期的周期函数；

③/（尤+々）=±,则/(X)是以7=2〃为周期的周期函数;

@f(x+a)=f(x-a),则/(%)是以T=2〃为周期的周期函数;

⑤/(工+a)=:一坐,则/(X)是以T=2〃为周期的周期函数.

1+/W

⑥/(工+幻二一厂翌，则/(x)是以7=4〃为周期的周期函数.

1+/W

⑦/(工+幻=；+，(”,则是以7=4〃为周期的周期函数.

1-/W

⑧函数y=f(x)满足/(a+x)=/(a—x)若/(幻为奇函数，则其周期为7=4。，若/(x)为

偶函数，则其周期为丁二勿.

2-x

3.常见几个奇函数：y=logfl^nvc+^nvc)+lj9y=log'/\y=

典型例题

例1.已知定义在R上的函数/(x)=2x+k*2'xCkER).

(1)若/(外是奇函数，求函数y=/(x)V(2v)的零点；

(2)是否存在实数公使/(x)在(・8,-1)上调递减且在(2,+8)上单调递增？若存在，求出女的

取值范围；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由奇函数的定义可求得匕令y=f(x)+f(2x)=0即可求得零点；

(2)对k分类讨论，由复合函数的单调性及对勾函数的性质即可求解.

【解答】解：(1)因为/(x)是奇函数，所以/(・公=・/(%),

BP2X+^2X=-2r-Jt*2x,可得2=-1,

所以/(X)=2'-2x,

令y=f(4)=2厂2%2入-22=0,

即(2X-2-x)(l+2r+2'x)=0,

所以2、-2"=0,解得x=0,

即函数y=f(x)+f(2A-)的零点为X=0.

(2)当％W0时，函数/(%)=24小2］在R上单调递增，不符合题意；

当k>0时，令r=2\当.蚱(-8,-1)时，怎(o,£),当xG(2,+~)时，隹(4,+~),

因为/(X)在(・8,-1)上单调递减且在(2,+8)上单调递增，

所以g(Q=f+K在(0,《)上单调递减且在(4,+8)上单调递增，

t2

所以JRW4,

解得16,

故存在实数长［J，16］使/G)在(-8,-1)上单调递减且在(2,+8)上单调递增.

【知识点】奇偶性与单调性的综合

例2.已知定义域为R的函数f(x)［-9+bD-是奇函数.

2X1+a

(1)求4,。的值；

(2)若对任意的fCR,不等式/(户・2力4/(2户・々)VO恒成立，求A的取值范围.

【分析】(1)根据奇函数的性质，定义域包括0,则有/(0)=0,定义域为R,/(-1)=-/(1)即可求

得小〃的值.

(2)将f(r2-2。+f3-k)0变形为：/(?-2/)+<-/(2P-A),因为/(x)是奇函数，

-f(2D=-/(2-2产)，在利用/(x)减函数解不等式即可

【解答】解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0,

即1+b=0n[=I；

又:定义域为R，则有/(-I)=

经检验：f(x)是奇函数，满足题意.

所以小人的值分别为2,1.

易知/(X)在(-8,4-00)上为减函数；

又因是奇函数，

从而不等式：/(z2-2，)+f(2产-k)<0等价于，(产-2t)V-/(2产7)=f(k-2尸),

因/(外为减函数，/(?-2r)</(2・2尸)，

得：z2-2t>k-It2

即对一切片R有：3/2-2z-k>0,开口向上，

从而判别式△=4+122<0=攵<-

即我的取值范围是(-8,

【知识点】奇偶性与单调性的综合

3.己知函数/(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且/Ct)+g(x)-x+1.

(1)求函数/(x)与g(x)的解析式；

(2)设函数G(x)=/(x)+血(x)+11，若对任意实数x,G(x)>|恒成立，求实数。的取值范围.

【分析】(1)由函数的奇偶性的定义，可将X换为-X,解方程可得所求解析式；

(2)方法一、讨论时，x<\时，去绝对值，可得G(x)的解析式，再讨论二次函数的对

称轴与区间的关系，判断单调性，可得最小值，进而得到所求范围；

方法二、验证x=l时，不等式显然成立；当工会1时，运用参数分离和构造函数法，判断单调

性，求得最大值，可得所求范围.

【解答】解：(1)因为/(X)为偶函数，g(x)为奇函数，且/(%)+g(x)=f-x+l,①

所以/(-X)+g(-X)=f+x+l,即/(x)-g(x)=f+x+l,②

由翌①，得/a)=f+i,

由翌④，得g(x)=-x.

(2)方法一：由(1)得，G(x)=f(x)+a|g(x)+l|=/+a|x-1|+1.

因为对任意实数X,G(X))微恒成立.

当121时，^h(x)-x2+ax-a-Z-=(X+T-)2~^--a^9_,则〃(“)20恒成立.

乙乙JL4

若《<1，即。2・2,则当％=1时，h(x)取得最小值/，符合题意；

乙乙

21

若哈>1,即〃<・2,则当x=-£时，h(x)取得最小值V--a*.

乙乙3乙

2

由吟得-2-也<a<-2+72»所以-2-&<a<-2.

士乙

所以・2-圾.

121

当“VI时，i9：r(x)-x2-ax+a—z~=(x—I-)2~^7~+a^n,则「(x)20恒成立.

乙乙JL4

若尸,即皿则当呻寸，…)取得最小值专+G

由_)+a〉0,得2+J^.所以2—/^<a<2.

士乙

若,)1，即“22时，r(x)>r(l)-1,符合题意.

乙乙

所以a>2-后.

综上，实数。的取值范围是［2-&，。).

方法二：G(x)=x?+a|x-l1+1〉^■恒成立，即a|x-l|)焉-乂2恒成立.

乙乙

当工=1时，显然成立；

t2+2t-»4

当xK1时,a>im,令x-1=1,设h(/)=乙

t2+2t-»4

(/I/+2)»

当X＞1,即，＞0时，h（力=-

设小f2是(0，+8)上任意两个值，且力Vf2，

则h(/i)h(r2)

11211atn"!

-(tj++2)+(t-^—+2)=(t-t)-=(t-t)(—)，

19Z1124/t?24119Zt112219Ztj12

当OVfiVf2V返时，2/ifo＜l,f2-h＞0,他＞0,所以力（力）-力。2）V0,即〃（fl）V。S）;

2

当雪＜匕＜2时,2川2＞1，也-力＞0,32＞0,所以力（fl）-力（f2）＞0,即力（力）＞力（及），

所以函数力（Q在（0,返）上单调递增，在（返，+8）上单调递减.

22

所以当f=-,力G）在（0,+8）上取得最大值-2-加.

所以〃2・2-亚.

2

t+2t-^y1

当xVI,即fV0时，h(t)=------------二九母+2,

tzt

同理可证，函数力（f）在（-8,-返）上单调递增，在（-返，0）上单调递减.

22

所以当t=2g时，/?（［）在（-8,0）上取得最大值2-亚

2

所以心2-比.

综上，实数a的取值范围是［2-比，+8）.

【知识点】函数恒成立问题、奇偶性与单调性的综合

专项突破

1.已知函数/（x）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且/（x）+gCt）=fr+1.

(1)求函数/(x)与g(x)的解析式；

(2)设函数G(x)=/(x)+a|g(x)+1),若对任意实数x,G(x)〉,恒成立，求实数。的取值范围.

【分析】(1)由函数的奇偶性的定义，可将X换为-X,解方程可得所求解析式；

(2)方法一、讨论工21时，x<l时，去绝对值，可得G(x)的解析式，再讨论二次函数的对

称轴与区间的关系，判断单调性，可得最小值，进而得到所求范围；

方法二、验证”=1时，不等式显然成立；当xKl时，运用参数分离和构造函数法，判断单调

性，求得最大值，可得所求范围.

【解答】解：(1)因为/(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且/(幻+g(幻①

所以/(-x)+g(-x)=f+x+l,即/(x)-g(x)=f+x+l,②

由殁④，得/a)=/+1,

由^得ga)=r.

(2)方法一：由(1)得，G(x)=/(x)+a\g(x)+11=x1+a\x-11+1.

因为对任意实数x,G(x)〉得恒成立.

121

当时，设h(x)=x2+ax-a-5=(x+^*)2-今-"万，则〃(x)2。恒成立•

乙乙JL4

若《<1，即心-2,则当尸1时，h⑺取得最小值卷，符合题意；

21

若1，即“V-2,则当x=-1■时，〃(x)取得最小值~a~~2~~

由涓--残1〉0,得-2-料<a<-2m，所以-2-亚<a<-2.

所以・2-圾.

121

当'<1时'(x)-x2-ax+a—z;=(x—z-)则r(x)20恒成立.

乙乙JL4

若£*<1，即〃V2,则当时，r(X)取得最小值Q-+a

乙乙

2

由今+a］〉。，得2-&<a<2+比.所以2-正<a<2.

士乙

若方>1，即心2时，r(x)>r(l)-1,符合题意.

乙乙

所以a>2-&.

综上，实数a的取值范围是［2?历，Q).

方法二：G(x)=x?+a|x-l|+1>1■恒成立，即a|x-l|〉a-乂2恒成立.

乙乙

当x=l时，显然成立；

122cl

—xt+21+

当时，―7T，令x・l=r,设力(。=-----j-r-^~

lx-11111

t2+2t-»4

当x>l,即f>0时，h(r)=-乙(r+-^+2),

2t

设A，，2是(O，+8)上任意两个值，且f［Vf2,

则h(ri)h(r2)

11t9—ti211t9—1

-(ti^^2)+(t2诘+2)=(t2-ti)-^L=(t2-ti)()，

1z11441J1511T241z1J11£；

当ov〃vr2V返时,2他VLf2・h>0,32>0,所以〃(力)-/z(/2)<0,即V%(f2)；

2

当雪时,2幻2>1，f2f>0,。另>0,所以刀(fl)-A(fe)>0,即/?")>h(b).

所以函数/?(r)在(0,返)上单调递增，在(返，+8)上单调递减.

22

所以当，=-乂^时，h(r)在(0,+8)上取得最大值-2-加.

所以心-2-加

当xVl,即，<0时，h(t)=---------------=t-»^+2*

tzt

同理可证，函数a")在(-8,-返)上单调递增，在(-返，0)上单调递减.

22

所以当t=必时，。在(・8,0)上取得最大值2-的.

2

所以・比.

综上，实数。的取值范围是[2-行，+8).

【知识点】函数恒成立问题、奇偶性与单调性的综合

2.已知定义域为R的函数/(幻="-(卜1)(。>0且aWl)是奇函数.

(1)求实数2的值；

(2)若f(1)<0,求不等式/(f+戊)H/(4-X)V0对AWR恒成立时，的取值范围.

【分析】(1)由题意可得/(0)=0,解方程可得&,检验可得结论；

(2)运用指数函数的单调性，判断奇函数/(x)="・一'在R上单调递减，将原不等式转化

为(L1)x+4>0恒成立，再由判别式小于0,解不等式可得所求范围.

【解答】解：(1):/a)是定义域为R的奇函数，

:.f(0)=o°-a-1)=0,

：.k=2,

经检验：k=2时，/(x)(a>0且aWl)是奇函数.故&=2；

(2)/(x)=ax-ax(a>0,且a#l),

因为f(1)<0,所以〃-[■<(),又〃>0,且所以

a

而y=〃在R上单调递减，在R上单调递增，

故判断/(x)"在R上单调递减，

不等式化为/(f+fx)</(x-4),所以f+/x>x・4.

所以r+Ct-1）x+4>0恒成立，

可得△=0-1）2-16<0,

解得-3<r<5.

【知识点】函数恒成立问题、奇偶性与单调性的综合

3.已知函数/CO=lg旦.

x+1

（1）判定并证明了（x）的奇偶性和单调性；

（2）求不等式，（F（x））+f（fe2）>0的解集；

（3）函数g（x）=2-"（。>0,aWl）,若存在即，x2e[0,1）,使得/（用）=g成立，求实数。的

取值范围.

【分析】（1）结合奇偶性及单调性的定义进行检验即可：

（2）结合（1）中奇函数先进行转化，然后利用单调性即可求解：

（3）由存在方，M30,1），使得f（X|）=g（X2）成立，则当即6[0,1）,可得g（X）与/（X）

的值域一定存在交集，结合单调性及指数函数的性质可求.

【解答】解：（1）函数/（x）在（-1,1）上为单调递减的奇函数，

由舁>0可得，-IVxVl,

1+X

1+v1-

/（r）=k1=・业1Y=寸3），

1-x1+x

故函数/（x）为奇函数，

设-1V»VX2<1,

1-Xil-x2(1-Xi)(l+x2)

则75)-/(x2)=/,不-7*不=依(匚X2)(4xp’

V-l<Xl<X2<b

.\0<1-X2<1-Xl<2tl+X2>i+X|>0,

(1-Xj)(l+x2)(1-Xj)(l+x2)

(1-X2)(1+xJ)।"(1-X2)(1+Xj)

.V(X1)>f(X2)即/(x)在(-1,1)上单调递减，

(2)由/(/(x))>0可得/(/(x))>-fdg2)=f(-1^2),

,r-Kf(x)<l

•f(x)<-lg2

-l<lg旨<1

1+x

・•-11，

F<lg万

**101+x2*

解可得［"〈xC白，

OJL1

故不等式的解集为(得，yr)；

oXX

(3)由存在XI，X2G［0,1),使得/(xi)=g(X2)成立，则当x£［0,1),f(x)的值域(-8,

0］，

：.g(x)与/(x)的值域一定存在交集，

当OVaVl时，g(x)=2-砂在［0,1)上单调递增，值域［1,2-a),此时g(x)与/(x)的

值域不存在交集，

当白>1时，g(x)=2-〃在［0,I)上单调递减，值域(2-a,1］,

：,2-a<0即。>2,

综上，a的范围(2,+°°).

【知识点】奇偶性与单调性的综合

4.已知函数f(x)="乎是定义在［-1,1］上的奇函数，且f⑴4

ax^+12

(1)判断/(外在［-1,1］上的单调性，并用定义证明.

(2)设g(x)=kx+5-2k,若对任意的可口-1,1］,总存在也40,1］,使得/(K)Wg(%2)成立，求实

数上的取值范围.

【分析】(1)由已知结合奇函数性质可知/(0)=0,/(I)=£，代入可求小b,任取-l&xiVxzWl,

然后结合单调性定义，利用作差法比较f(即)与f(X2)的大小，从而可证，

(2)由题意可转化为/(X)皿rWg(X),皿，然后结合函数的单调性进行求解即可.

【解答】解：(1)因为f(x);是定义在［-1，1］上的奇函数，且f(l)=4，

ax"+l

所以7(0)=b=0,/(1)=—

所以b=0,a=l,f(x)=-^—,

x'+l

fCx)在［・LI］上是增函数，证明如下：

任取-1WxiVxzWl,

2

(l+x2)xJ-x2(1+x/)

XiX2

则/(汨)-y(xo)=-----y-------；

1+Xi1+xJ(1+X[2)(1+X[2)

x1x2(x2-x1)+(x1-X2)(x2-xP(x1x2-l)

22

(1+x,)(1+X2)(1+X［2)(1+x/)

Xw1X

因为-1WYIVQVI，

所以X2-X|>0，X1X2-IVO，

所以f5)-f(X2)<0,即/5)<f(X2)，

所以f(X)在［-1.1］上是增速数，

(2)因为若对任意的x£［-1,1］,总存在彳210，1］，使得f(闲)Wg(X2)成立，

所以f(X)maxWg(X)niaxf

由(1)知，/(X)在［-1,1］上单调递增，/(x)ma.x=f(1)=春

当220时，g(x)=依+5-24在［0,1］上单调递增,

故g(x)max=g(I)=5-匕

所以g(X)nuiX=g(1)=5-A,

所以£<5-k，即&W,，

乙乙

所以0<k<£>

当女VO时，g(x)=履+5-22在[0,1]上单调递减，

所以g(x)max=g(0)=5-2k,

所以我<5-2k，

所以即&V0,

综上，44£.

【知识点】函数恒成立问题、奇偶性与单调性的综合

5.已知函数/(x)=0^-bx-2(小力€R且aKO),g(x)=Ax+4.

(1)若f(1)=0,且函数f(x)的值域为(-8,0],求f(x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，当1曰・2,2]时，h(x)="x)+g(x)时单调函数，求实数k的取值范围；

(3)当以=1,be[O,4]时，若对于任意.rW[O,3],不等式，(x)|Wg(x)恒成立，求实数&的取值范围.

【分析】(1)由函数/(AO的值域为(-8,0],得a<0,A=0,再结合f(l)=0,从而求得a,b的值，

进而求得函数f(x)的解析式；

(2)函数f(x)的对称轴不在区间[-2,2]内即可；

x2-bX-24kx+4

(3)将不等式/a)|Wg(x)恒成立转化为不等式组，2对于任意xHO,3],

x，-kx-2>-kx-4

be[O,4]恒成立，看成以b为主元，再分别研究两个不等式恒成立问题.

【解答】解：(1)函数f(x)=ax2-bx-2,/(I)=0,即a-)-2=0,即。=a-2,

函数f(x)的值域为(-8,0],可得f(x)的最大值为0,且。<0,

即有。2+8a=0,即(a-2)2+8a=0,解得。=-2,b=-4,

可得f(x)=-2JT+4X-2；

(2)当友［・2,2］时,hCx)=f(x)+g(x)=-2?+4x-2+kx+4=-2r+(4+攵)x+2,

由h(x)为单调函数，可得华22或华W-2,

44

解得女24或女W-12；

(3)当。=1时，/(x)=JT-bx-2,\f(x)|Wg(x)-Zzx-2区区+4=-履-4S/-左

(~x)b+x2-kx-640

-2WH+4,

(-x)b+x2+kx+2>0

Y2-bx-2^^kx+4

<2对于仔意x曰0.3bhG［O.4］恒成立..

x，-bx-2〉-kx-4

Hn(-x)b+x2-kx-6Vo,_.

即,对于任意xE［O,3］,bE［O,4］怛成立，

.(-x)b+x2+kx+2>0

所以卜Jx-64°对于任意xe［O,3］恒成立，

,x^+(k-4)x+2>0

先考虑f-h-6W0对x€［O,3］恒成立，可得0-0-6W0,9-3A-6WO,即有221；

再考虑一+(…)x+220对彳［0,3］恒成立，

可得x=O时，不等式f+a-4)X+22O显然成立；

当OVxW3时，-k+4Wx+2,由x+2在(0,V2)递减，在(圾，引递增，可得户2的最小

XXX

值为2亚，则-Z+4W2后，

可得224-20，

综上可得人的范围是［4-2亚，+8).

【知识点】函数恒成立问题、函数解析式的求解及常用方法、奇偶性与单调性的综合

2x+

6.设。ER,函数/(x)=工^a.

2X-a

(1)若4=1,求证：函数/Ct)为奇函数；

(2)若〃<0,判断并证明函数/Cx)的单调性；

(3)若。#0,函数f(x)在区间［%,〃］(〃?<〃)上的取值范围是［上，—］(kER)t求区的范围.

2m2na

?x+19-x+11+9X

【分析】(1)当。=1时，函数f(%)=--^根据函数奇偶性得了(・x)―^=^^=-/(外,

2X-12-x-l1-2X

进而得出结论.

(2)当aVO时，函数/(x)=工上的定义域为R,通过单调性的定义法的五步①取值对任

2x-a

意的X|,—WR,且KlV_V2，②做差f(K|)f(A,2)③变形

“为).二日=1211一山=-2a(2、2•),④定号-2a(2-2•)<0,

2X1-a2叼-a(2丐一)(2^-a)(2%-a)(2^-a)

⑤下结论.

(3)因为mV”，—<—,所以2V0,分a>0,4Vo两种情况讨论函数/(x)在区间［如

2m2n

n］(mV心上的取值范围是［三，弋］(依R),进而得出结论.

【解答】解：(1)当4=1时，函数/(X)=--

2X-1

因为21-1W0,所以xWO,

9-x+ll+2x

从而对任意的x#0,f(-x)=-——-=±^—=-f(x),

2-x-l1-2X

2X+1

所以f(x)='--(x#0)为奇函数.

2X-1

(2)当aVO时，因为2、>0,所以21・。>0,

x

9+a

所以函数f（x）的定义域为R.

2x-a

9x

结论：函数/（x）=幺-+a-（a<0）为R上的单调递增函数.

2x-a

证明：设对任意的加，X2GR,且X]VX2，

则/（xi）-/（也）=2F_2'+a

XaX'

21-a2'-a

_（2々+&）（2々-&）-（2七+a）（2%二）

（2%-a）（2、2-a）

,x-x,、

_2a（2-2•）

>X...X,、'

（21-a）（22-a）

因为XIVM，所以2乂2>2乂1,即2。_2%>0，

又因为2%・〃>0,2x2-^>0,aVO,

所以2a（2七-2乂：）〈0,

>X.、/Xc、

（21-a）（22-a）

于是f5）</（X2），即证.

（3）因为mV",所以2",V2”，从而」」〉一L,

2m2n

由[上，—J,知上〈上，所以2V0,

nn

2m22m2

因为aWO,所以aVO或a>0.

2x

1°当a〈O时，由（2）知，函数/（x）=二"+工a为/?上单调递增函数.

2x-a

因为函数/(x)在区间的，n](m<n)上的取值范围是[-£，—J,(&WR)

2m2n

2%ak

f(m)v.—

2m-a211

所以s,，即‘

f(n)=—2%a二k

2n2n-a-2n

从而关于x的方程■二区有两个互异实数根.

2x-a2X

令，=2、则f>0,所以方程F+(a-A)t+ak=O,(a,AVO)有两个互异实数根

-3A>0

2lr1-

(a-k)2-4ak>0,从而0<二<3-2亚.

ak>0

o

2°当。>0时，函数/(X)=1+a在区间(-8,logza),(Iog2〃，+8)上均单调递减.

2x-a

若[〃?，〃]G(log2m+8),则/(x)>|,于是--->0,这，ZV0矛盾，故舍去.

2M

g+ak公

f(m)=—

2n，-a2

若[M,川片-°°>10g2t/)»则/(X)VI,于是，,即

f(n)=聋■上②

2m2n-a2m

2n(2n+a)=k(2就-a)

所以，，两式相减整理得，(〃-外(2“-2”)=0,

2B(2n+a)=k(2n-a)

又"V2"，故2"-2m>0,从而a-k=0,因为a>0,所以K=_].

a

【知识点】奇偶性与单调性的综合

7.已知函数/(X)=W+2|x-a|-4,(其中a为常数)

(1)若4=2,写出函数/(x)的单调递增区间(不需写过程)；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并给出理由；

(3)若对任意实数x,不等式/(x)恒成立，求实数。的取值范围.

【分析】(1)利用。=2,直接写出函数/(x)=f+2|x-2|-4的递增区间.

(2)。=0时，判断函数的奇偶性，当时，通过特殊值/(2)#±/(-2),说明/(%)为

非奇非偶函数：

(3)设g(x)=(x+1)2-2a-(x2a),h(x)=(x-1)2+2a-5,(x<a)通过

①对于g(x)当a<-1时，当a2-1时，求解g〃而(x),②对于h(x),当a<1时，当

1时，求解htnin(x),推出fm；„(x)=h„,in(x)=h(I)=2a-5.由2-52-1,解得。22,

得到实数。的取值范围即可.

【解答】解：(1)。=2,函数/(x)=^-2|x-2|-4,所以，递增区间为：(1,+8)；

(2)当4=0时，f(x)=X2+2|X|-4,/./(x)=f(-x).*./(x)为偶函数；

当aK0时，f(2)=2|2-d|,/(-2)=2|a+2|,

：.f(2)(-2)・0G)为非奇非偶函数；

(3)转化为求函数(x)的最小值，

设g(x)=(x+1)2-2a-5，(x2a),h(x)=(x-1)2+2a-5>(x<a)

2

①对于g(X)=(x+1)-2a-5t

2

当aV・l时，g.(x)=g(7)=-2a-5；当-1时，gmin(x)=g(a)=a-4

②对于h(x)=(x-1)2+2a-5,(xVq)

2

当aVI时，hain(x)=h(a)=a-4>当。21时，hmin(x)=h(1)=2a-5

①当a<-1时，a2-4-(-2a-5)=a2+2fl+I=(a+1)2^0,

••frnin(x)—gmin(X)=g(-1)=-2。-5,由-52-1,解得“W-2满足；

②当TWaVl时,f.(x)=a2-^

由炉-42・1,解得a<-加或不满足；

③当时，a2-4-（2a-5）=a2-2a+l=（a-1）2^0,

（x）=h„lin（x）=h（1）=2a・5,由2。-527,解得〃22,满足题意.

所以实数。的取值范围是：。<・2或。22.

【知识点】函数恒成立问题、奇偶性与单调性的综合

4

8.已知函数/CO=x+—.

x

（I）证明：函数/（外是奇函数；

（II）判断函数/（%）在区间（2,+8）上的单调性，并用定义证明；

4

（IH）若对Vx£[2,4],都有x+3号,〃恒成立，求m的取值范围.

x

【分析】（I）根据函数奇偶性的定义证明即可；

（II）根据函数的单调性的定义证明即可；

（III）根据函数的单调性求出/（工）的最大值，从而求出机的范围.

【解答】解：（I）函数/（X）的定义域为{x|xXO）,

VxGfxk^O）,都有7£{X|XH0）,

44

且f（-x）=-x=-（A+-）=-/（%）,

XX

所以，函数/（X）为奇函数；

（II）判断：f（X）在区间（2,+8）上单调递增.

证明：Vx）»xiE（2,+°°）,且xi〈X2，

4d

有f（XI）-f（X2）=（X1+----）-（X2+-----）

X1x2

44

=（Xi-X2）+（-------------）

X1x2

=-------（X|X2-4）

X1X

12

V2<X）<X2，

/.X|X2>4,X[X2-4>0»X1-X2<0，

X1-X2

/.-------（X\X2-4）<0,即F（X1）V/（X2），

X1X

12

・•・函数/（x）在区间（2,+8）上是增函数；

（III）由（II）可知，函数/（x）在区间[2,4]上是增函数，

所以f（X）inax=f（4）=5,

因为对VxW[2,4],都有x+二《小恒成立，

X

所以f（X）rnax^m,

即m25.

【知识点】函数恒成立问题、奇偶性与单调性的综合

9.已知定义域为R的函数f（x）二即旦■是奇函数.

2X+1

（I）求加的值；

（II）用定义证明f（幻在R上为减函数；

（HI）若对于任意的实数力不等式/（产-2。4/（2产-左）V0恒成立，求实数2的取值范围.

【分析】（I）由/（0）=号=0可得m值；

（II）VXl，X2ER,且X|VX2,可得f（及）-/（Xi）的表达式，确定其范围即可说明_/•（“）在R

上为减函数；

（III）