波函数 薛定谔方程

波函数薛定谔方程波函数一、用来描述实物粒子德布罗意波的数学表达式称为波函数.对于一个自由粒子的波函数，可根据德布罗意物质波求得.与自由粒子对应的是单色平面波.在经典波动理论中，平面简谐波的波函数为用光波与物质波对比的方法可阐明波函数的物理意义.从波动的观点来看，光的衍射图样越明亮的区域，光的强度越大，说明接收的能量越多.若把光束看作一束光子流，按照爱因斯坦关系，则每个光子所携带的能量都相同，那么越明亮的地方就意味着到达的光子数目越多.换句话说，光通过双缝后之所以形成明暗变化的干涉条纹，是因为到达光屏上各点的光子数目不同，即每个光子到达光屏各点的概率不同.因为光强与光振动的振幅的平方成正比，所以光子在某处附近出现的概率与该处的光强成正比，即与该处光振动振幅的平方成正比.对于电子双缝干涉实验，通过与光的双缝实验类比，可以得出结论：电子分布越多的地方就是到达的电子数目越多的地方，电子分布越少的地方就是到达的电子数目越少的地方.也就是说，电子到达各点的概率是不同的.其他微观粒子也有类似的结论.综上所述，微观粒子的运动状态用波函数Ψ(r,t)描述，t时刻粒子在空间r处附近的体积元dV中出现的概率dW与该处波函数模的平方成正比，即薛定谔方程二、既然微观粒子的运动可以用波函数描述，那么波函数应该满足什么样的方程才能反映微观粒子的运动规律呢？对此，从一个简单的一维运动出发，引出薛定谔方程.薛定谔方程是描述微观粒子运动规律的基本方程.对于质量为m，动量为p，在势场V(x)中做一维运动的粒子，其非相对论总能量为薛定谔方程是描述微观粒子运动的一般方程，自然也可以描述自由粒子的运动，即式（15-36）应为薛定谔方程的一个解，由式（15-36）可得（15-37）由式（15-35）可得（1）这并不是薛定谔方程的证明，薛定谔方程是量子力学的基本假定，是对大量实验观测结果的概括，它和经典力学中的牛顿三定律一样，是不能被证明的.（2）式（15-40）实际上是单粒子薛定谔方程，其中Ψ(r,t)是单粒子波函数，V(r)也是单粒子感受到的势场。而对于大量微观粒子组成的系统，波函数应是总的波函数，势场也是总的势场，既包括整个系统所感受到的外部势场，也包括系统内部各粒子之间的相互作用势.定态薛定谔方程三、玻尔在解释氢原子光谱时就提出了定态的概念雏形.定态也是量子力学中最重要的概念之一，本节就从薛定谔方程出发，对定态的性质做一些概括性的讨论.若势能V(r)与时间无关，则可以设Ψ(r,t)=Ψ(r)f(t)（15-41）

把式（15-41）代入式（15-40）,得到两边同除以Ψ(r)f(t)，就可以分离变量，即在这种情况下，一方面，式（15-45）与时间无关，因此该方程称为定态薛定谔方程.相应的解就称为定态.另一方面，式（15-45）左边的方括号是体系的哈密顿算符，因此式（15-45）就是哈密顿算符的本征方程，即能量本征方程.这样，所谓定态，实际上就是能量本征态.在能量本征态下测量能量，则一定得到相应的本征值，即定态是具有确定能量的状态.而式（15-44）就是能量为E的定态的时间演化因子.可以看出，定态波函数也是要随着时间变化的，即上式是与时间无关的.也就是说，虽然定态波函数本身可以随着时间变化，但是粒子出现在空间各处的概率却与时间无关，所以定态的物理性质不随时间变化.这就是称之为定态的原因.若定态波函数能够满足归一化条件，即则在无限远处，定态波函数必然迅速趋于0，即粒子不可能出现在无穷远处，也就是粒子被限制在有限的范围内运动，这种状态就称为束缚态，否则就称为游离态.在经典情况下，粒子当然也不能出现在阱外，这一点与量子力学的解并无区别.若是经典粒子，在阱内各处的势场都为零，因此粒子在阱内均匀分布.在量子力学情况下，容易解得粒子出现在各处的概率并不相同，随着位置的变化而变化，即粒子分布是不均匀的.此外，在经典情况下，粒子的能量可以取任意的有限值，即粒子的能量是可以连续变化的，但在量子力学情况下，粒子的能量只能取一系列分立值，即能级是量子化的.图15-13所示为无限深方势阱中的波函数Ψ(x).图15-13无限深方势阱中的波函数图15-14无限深方势阱中的粒子分