不定积分概述

不定积分概述一、原函数的概念

由微分学知，若已知曲线方程y=f(x)，则可求出该曲线在任一点x处的切线的斜率k=f′(x).例如，曲线y=x2在点x处切线的斜率为k=2x.现在要解决其反问题：已知曲线上任意一点x处的切线的斜率，要求该曲线的方程.为此，引进原函数的概念.

设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对任意x∈I均有F′(x)=f(x)或dFx=fxdx,则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.例如，因为(sinx)′=cosx,故sinx是cosx的一个原函数.又如，当x>0时，(lnx)′=1/x，所以lnx是1/x在区间0,+∞上的一个原函数.对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将在下一章讨论，这里先介绍一个结论.定义1

一、原函数的概念定理1（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数f(x)在区间I上存在原函数F(x).由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函数在其定义区间上都存在原函数.如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什么关系呢？一、原函数的概念定理2若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意常数）是fx在区间I上的全体原函数.定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且它们彼此相差一个常数.事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则［F(x)－G(x)］′=F′(x)－G′(x)=f(x)－f(x)=0,即F(x)－G(x)=C(C为任意常数)，由此知道，若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则函数f(x)的全体原函数为F(x)+C(C为任意常数).一、原函数的概念求函数fx的原函数，实质上就是讨论它是由什么函数求导得来的.而若求得fx的一个原函数F(x)，其全体原函数即为F(x)+C.注意一、原函数的概念二、不定积分的概念定义2

若函数Fx是f(x)在区间I上的一个原函数,则函数f(x)的全体原函数F(x)+C称为fx在区间I上的不定积分,记为∫f(x)dx,即∫f(x)dx=F(x)+C，其中记号“∫”称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,C称为积分常数.一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一族函数.注意

由不定积分的定义知，求函数f(x)的不定积分，就是求f(x)的全体原函数，在∫fxdx中，积分号∫表示对函数f(x)进行求原函数的运算，故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运算.二、不定积分的概念

求∫exdx.

解

因为(ex)′=ex,所以∫exdx=ex+C.【例1】二、不定积分的概念

求∫1/xdx.

解

当x>0时,因为(lnx)′=1/x，所以∫1xdx=lnx+C;当x<0时,因为

,所以∫1/xdx=ln(－x)+C.综上可得，∫1/xdx=ln|x|+C.【例2】二、不定积分的概念三、不定积分的几何意义函数f(x)的一个原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线.因此，不定积分∫f(x)dx=F(x)+C对应的是一族积分曲线，称为f(x)的积分曲线族.这就是不定积分的几何意义.f(x)的积分曲线族有如下特点：（1）积分曲线族中的每一条曲线都可以由某一条确定的积分曲线沿y轴的方向上、下平行移动得到.（2）在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线，这些切线的斜率相等，从而使相应点的切线相互平行(见图4-1).三、不定积分的几何意义

已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的3倍，且曲线过点(0,1)，求此曲线.解设所求的曲线方程为y=f(x)，由导数的几