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n阶行列式

n阶行列式注意观察二阶行列式（1-5）与三阶行列式（1-6），可以看出：（1）二阶行列式的展开式是2！项乘积的代数和；三阶行列式的展开式是3！项乘积的代数和.（2）二阶和三阶行列式展开式中每一个乘积项中的元素都取自不同的行和不同的列.（3）当行列式展开式中乘积项元素的行标按自然数列排列时，若元素的列标为奇排列，则该乘积项取负号；元素的列标为偶排列时，该乘积项取正号．

n阶行列式作为二阶、三阶行列式的推广，我们类似地给出n阶行列式的定义．定义1-6由排成n行n列的n2个元素aij（i，j=1，2，…，n）组成的记号

（1-7）称为n阶行列式，其中j1j2…jn为n级排列，

表示对所有的n级排列求和．

n阶行列式容易看出，n阶行列式表示一个数值，这个数值是n！项的代数和，每一项是取自行列式中不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2…anjn，该项的符号在j1j2…jn为奇排列时取负号，为偶排列时取正号．

n阶行列式当n=2，3时，这样定义的二阶和三阶行列式与之前用对角线法则定义的结果是一致的．当n=1时，一阶行列式为|a11|=a11，注意不要与绝对值符号混淆．根据二阶、三阶行列式的定义，我们发现式（1-10）还可以写成如下形式：

n阶行列式

n阶行列式

n阶行列式上式表明，一个三阶行列式等于它的第1行各个元素与其相应的代数余子式（都是二阶行列式）的乘积之和，这就意味着三阶行列式可化为二阶行列式来计算．利用这个特点可以类似定义四阶行列式、五阶行列式……以此类推，可以给出n阶行列式的另一种定义．

n阶行列式定义1-7由排成n行n列的n2个数组成的n阶行列式记作当n=1时，D=|a11|=a11

.当n≥2时，假设n-1阶行列式已经定义，那么n阶行列式（1-9）所表达的算式为（1-9）（1-10）

n阶行列式其中A1j为元素a1j的代数余子式，j=1，2，…，n．式（1-10）称为行列式按第1行展开．若记n阶矩阵则n阶行列式（1-9

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