函数的单调性

函数的单调性第四节、函数的单调性

已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性.本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性的简便且具有一般性的方法.

首先从函数y=f(x)的图形上进行直观的分析.如图3-6所示，函数y=f(x)的图形在区间(a,b)内沿x轴的正向上升，除点(ξ,f(ξ))的切线平行于x轴外，曲线上其余点处的切线与x轴的夹角均为锐角，即曲线y=f(x)在区间(a,b)内除个别点外,曲线上其余各点切线的斜率为正.第四节、函数的单调性

如图3-7所示，函数y=f(x)的图形在区间(a,b)内沿x轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x轴的夹角均为钝角，即曲线y=f(x)在区间(a,b)内除个别点外切线的斜率为负.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？为此，给出如下定理.第四节、函数的单调性定理设函数y=f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导.（1）若在(a,b)内f′(x)>0，则函数y=f(x)在［a,b］上单调增加.（2）若在(a,b)内f′(x)<0，则函数y=f(x)在［a,b］上单调减少.定理第四节、函数的单调性

证明任取两点x1,x2∈(a,b)，设x1<x2，由拉格朗日中值定理知，存在ξ(x1<ξ<x2)，使得f(x2)－f(x1)=f′(ξ)(x2－x1).（1）若在(a,b)内，f′(x)>0，则f′(ξ)>0，所以f(x2)>f(x1),即y=f(x)在［a,b］上单调增加.（2）若在(a,b)内，f′(x)<0，则f′(ξ)<0，所以f(x2)<f(x1),即y=f(x)在［a,b］上单调减少.第四节、函数的单调性（1）将此定理中的闭区间换成其他各种区间(包括无穷区间)，结论仍成立.（2）函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用导数在一点处的符号来判别函数在一个区间上的单调性，区间内个别点导数为零并不影响函数在该区间上的单调性.例如，函数y=x3在其定义域(－∞,+∞)内是单调增加的，但其导数y′=3x2在x=0处为零.也就是说，将定理中的f′x>0与f′x<0换成f′x≥0与f′x≤0（等号只在个别点处成立），定理的结论仍成立.注意第四节、函数的单调性

讨论函数f(x)=x－ln(1+x)在区间［0,+∞)上的单调性.

解

函数f(x)=x－ln(1+x)在区间［0,+∞)上连续，在(0,+∞)内可导，且有由本节定理知，函数f(x)=x－ln(1+x)在区间［0,+∞)上单调增加.如果函数在其定义域的某个区间内是单调的，则称该区间为函数的单调区间.称导数为零的点为函数的驻点.【例1】第四节、函数的单调性根据本节定理不难验证，函数y=x2及y=x在(－∞,0］内单调减少，在［0,+∞)内单调增加.分别考察这两个函数在单调区间分界点处的导数，可以发现，y=x2在点x=0处的导数为0，y=x点x=0处不可导（即导数不存在）.一般地，函数y=f(x)在单调区间的分界点处，要么导数等于0，要么导数不存在.由此，可按下述步骤来讨论函数fx的单调性：（1）求出函数的定义域.（2）求出函数的单调区间的所有可能的分界点，即函数的驻点和f′x不存在的点.（3）用分界点将定义域分成若干小区间.（4）判断在各小区间内f′x的符号，然后确定函数在每个小区间中的单调性.第四节、函数的单调性

讨论函数f(x)=2x2－lnx的单调性.解函数的定义域为0,+∞.令f′(x)=0,其驻点x=1/2.它将定义域分成两个区间(0,1/2],[1/2,+∞).在区间(0,1/2)内,f′(x)<0,则f(x)在(0,1/2]上单调减少;在(1/2,+∞)内,f′(x)>0,则f(x)在[1/2,+∞)上单调增加.【