2022届高考数学基础总复习提升之专题突破详解专题17创新数列含解析

专题17创新数列

一.命题类型

2特殊数列

4.数学文化与数列的应用

知识要点及方法

1.递推数列的概念

如果数列的第1项(或前/项)，且任一项4与它的前一项(或前假设干项)间的关系

可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的；由递推公式确

定的数列叫做递推数列.

2.数列的递推关系求通项

一般有二种途杼：一是归纳、猜测,二是转化化归为等差、等比数列：二是逐项迭

代.

递推数列求通项的特征归纳：

(1)累加法：an+1—an=f(n).

(2)累乘法：—=f(n).

an

(3)化归法：(常见)an+】=Aa+B(AWO,AWl)=an+i+入=A(an+入)；an+2=pafl+t+

qan=a„+2+人心+尸(p+入)*3+1+入aj；an+i=panH-pn+l^^TT=^;-l-l.

(4)归纳法：计算a2,a3,a」呈现关于项数2,3,4的规律特征.

(5)迭代法：an+】=pa«或a0+I=a:或an+】=pan+f(n)等.

3.求数列前〃项和的根本方法

(1)公式求和法

(2)裂项相消求和法

数列(为｝满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和.

(3)倒序相加法

如果一个数列｛4｝的前〃项中首末两端等“距离〃的两项的和相等或等于同一个常数，

那么求这个数列的前〃项的和即可用倒序相加法，如等差数列前〃项的和公式就是用此法推

导的.

(4)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这

个数列的前〃项和即可用此法来求，如等比数列的前〃项和公式就是用此法推导的.

(5)分组转化求和法

一个数列的通项公式是由假设干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，那么求

和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.

(6)并项求和法

一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，那么称为并项求和.形如a=(一类

222222

型,可采用两项合并求解.例如，Sn=100-99+98-97+-+2-1=(100+99)+(98

+97)+…+(2+1)=5050.

1.数列综合问题中应用的数学思想

(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集

或其有限子集｛1,2,〃｝上的函数.

(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列根本量的方程.

(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究.

(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类匕联想思想、归纳猜测

思想等.

2.解答数列应用题的步骤

(1)审题一一仔细阅读材料，认真理解题意.

(2)建模一一将条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列

的特征、要求是什么.

(3)求解一一求出该问题的数学解.

(4)复原一一将所求结果复原到原实际问题中.

3.数学应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或

减少)的量就是公差.

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，

这个固定的数就是公比.

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化

时，应考虑是必与的递推关系，还是S与之间的递推关系.

二.命题类型分析及防陷阱措施

例1.设函数/(x)是定义在(0,斗8)上的单调函数，且对于任意正数苍y有

/(孙)="x)+/(y)，=假设一个各项均为正数的数列｛q｝满足

/⑸)=/(q)+/(a.+l)-l(〃£N)其中S”是数列｛4｝的前八项和，那么数列｛〃〃｝

中第18项48二()

A.——B.9C.18D.36

36

【答案】C

【解析】•••对任意的正数xy均有,(利)=/(尤)+/(乃且又・.・4>0且

/⑸)=/⑷+/g+1)-1=/(/)+/(/+1)+/(]);/(%)=/[(。：+。力：，又•・,/(%)

是定义在(0»网上的单调增函数，..^=1(^2+^)①，当月=1时，6=；(才+巧)，

二才一e二01.・6>0:q=1,当“22时，..S41=」(分『+②，①-②可得

2

2%=2S*-253=G+4-。3-4"i>-'*(4+)(4-4-1-1)=。，

丫aM>0...a/l-att_1=l(n>2]｛%｝为等差数列/=l»d=1,二4=",=18,故选C.

【方法规律总结】此题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前〃项和之间的关系以及

公式4=*-，1(〃之2)的应用，属于难题.S〃求4的一般步骤：11)当〃=1时，由

4=号求q的值；(2)当〃22时，由4=S〃-S“_「求得知的表达式；(3)检验生的值

是否满足(2)中的表达式，假设不满足那么分段表示可；(4)写出与的完整表达式

练习1.设函数/(X)是定义在(0,+8)上的单调函数，且对于任意正数x,y有

/(Xy)=/(X)+/(y),假设一个各项均为正数的数列｛4｝满足

/(S”)=/(4)+/(a,+l)—l(〃wN*),其中S”是数列｛%｝的前〃项和，那么数列｛/｝

中第18项《8=0

A.—B.9C.18D.36

36

【答案】C

【解析】・・・f(Sn)=f(an)+f(an+l)-l=f[lan(a0+l)]:函数f(x)是定义域在(0,+oo)

2

上的单调函数，数列(aj各项为正数・・・Sn=1&(an+l)①当n=l时，可得必=1；当nN2时，

2

S-1=—Sn-l(an-l+1)(^),

n2

Q)-②可得a尸一an(an+l)一一an-l(an-l+1)(3n+an-l)(须一@<1「1)=0Van>0»*,•3n—3n-l—1=0

22

即an-an-i=l，数列｛a』为等差数列，ai=l,d=l；；・&=1+(nT)Xl=n即须』所以。同=18

应选Co

练习2.尸(x)=f(xI11是R上的奇函数，

\2)

4=/(0)+/(£)+/[：|+…+/(、1)+/⑴(〃£N)那么数列｛(｝的通项公式

为0.

2

A.an=nB.an-2nC.an=/:+1D.an-n-2w+3

【答案】C

【解析】・・・尸（力=/卜+；）-1是奇函数,・•・呜HT=°，令x4

令Ff-lj=/(o)-l.・・・〃0)+〃1)=2,・・・q=〃())+〃l)=2,

+

+1=2,：.an=2+2x—=z?+l（n€^）,

\n）\n）n

应选C

练习3.设等差数列｛（｝的前〃项和为S“，（4-1）3+2016（4-1）=1,

（。刘3一1）3+2016（々2013-1）=一1，那么以下结论正确的选项是0

A.$20[6=-2016,。2013>B.$2016=2016,42013>°4

C$20]6=—2016,々2013<“4D.5|=2016,

206<a4

【答案】1）

所以—亚如也316（…）=202b

22

因为-1）=T,F（〃4-1）=1，F（X）在斤上单调递增，

所以。4一1>%013一1，即4>〃2013，

应选：D.

练习4.数列4，3，…M”是正整数1，2,…，〃的任一排列，且同时满足以下两个条件：

①4=1；②当〃之2时，|4-4+[归2（i=l,2,…7一1）.

记这样的数列个数为/（〃）.

（I）写出/（2）,f（3）,/（4）的值：

（II）证明/（2018）不能被4整除.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：⑴依题意，易得：/（2）=1,/（3）=2,/（4）=4；（2）把满足条件

①@的数列称为〃〃个数的首项最小数列，由于q=l,故/=2或3.分成三类情况，利用

条件逐一进行验证即可.

试题解析：

（I）解：/（2）=1,〃3）=2J（4）=4.

（II）证明：把满足条件①②的数列称为〃项的首项最小数列.

对于〃个数的首项最小数列，由于％=1,故4=2或3.

(1)假设％=2,那么生一…,凡一1构成〃一1项的首项最小数列，其个数为

f(〃T；

⑵假设。2=3,4=2,那么必有4=4，故2-3,。$-3,…,。“-3构成〃—3项的首项

最小数列，其个数为/(〃—3)；

(3)假设。2=3,那么%=4或6=5.设是这数列中第一个出现的偶数，那么前女项

应该是1,3,・・・,2攵一1,。川是21或21一2,即4与。川是相邻整数.

由条件②，这数列在%M后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在之后，故

后的各项都小于它.

这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.

综上，有递推关系：/(〃)=/(〃-1)+/(〃-3)+1,n>5.

由此递推关系和(I)可得，“2)J(3),・・・J(2018)各数被4除的余数依次为：

1,1,2,0,2,1,2,1,3,2,0,0,3,0,1,1,2,0,…

它们构成14为周期的数列，X2018=14x144+2,

所以“2018)被4除的余数与/(2)被4除的余数相同，都是1,

故『(2018)不能被4整除.

2特殊数列

例2.数歹U%=9］(竽［-|粤)］那么0刈,一定是

A.奇数B.偶数C.小数D.无理数

【答案】A

【解析】因为4=乎|上乎'-m5J所以

4=1,%=1,。3=2,4=3,%=5,…，那么数列｛4｝从第3项开始,每一项均为其前两项的

和，因为前两项均为1,是奇数,所以从第三项开始,第3〃项均为偶数，第3/7+1项均为奇数,第

3〃*2项均为奇数,所以〃2017一定是奇数•

【方法规律总结】:由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略

（1）常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的

数列）等方法.

（2）具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各

项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或

寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用（-1?，左£乂处理.

练习1数列满足牛，吟，牛…噤=募（〃£"），那么％o=（）

B.e40C.e3D.e3

【答案】C

【解析】••号号

93〃2

.Intz,1吟1吟

369

3川,

Ina,=----------(n>

应选C.

练习2..设S”为数列｛（｝的前,!项和，为〃-41=3-2〃-（222）,且3%=23.记7；为

数列,一!—1的前〃项和，假设W〃eN*,7；＜/n,那么加的最小值为0

U+S"

1-1八2入

A.—B.—C.—D.1

323

【答案】A

【解析】由2a„-&一1=3・2"S22),得,

>n1

Fh2an-a„-i=32(n22),且3ai=2a：

可得2a2-ai=6,即2al=6,得ai=3.

，数列｛2-1｝是以上为首项，以一为公比的等比数列，

X24

那么祟-2=或"（心，+）='--+

(11A2)2(1—21

/.S=1+-4-.….+—r4-(2+22+23+―+2n)=-+-----------=2*2n-21'

n"I22W_,)[।1-2

2

1___________11

a“+S”-2|-〃22"+2?"一

•・,对Vn£N*,Km,

・・・m的最小值为

3

故答案为A。

【方法总结】：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了

等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比方这个

题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和0比研究单

调性，直接研究表达式的单调性。

例3.数列｛勺｝吗=1，4用=丁普，那么叫=。

A.-----B.—C.-----或1D.一

2442

【答案】B

【解析】由条件可知〃向=乌匚，两边去倒数得一L='+」-nJ-!-1是等差数列，故

%+2all+l2（an]

n+\22

—=l+(zi—I)—=,故得%=

/')2F4

故答案选B.

【方法总结】已知数列4+1=%,要求通项，可以两边取倒数，得到[工是等差数列，已知％=1

4+2

可以求出工=1,再根据等差数列的性质求出数列的通项公式，—=l+(w-l)i=^,再取倒数可

%422

2

以求出4二丁乙，代入n=7,求得结果即可.

练习1.数列｛。〃｝定义为4>0,«„+1=^„+—匕£N”

(1)假设q=-----(〃>0),求------H-------1---1------的值;

1+2cl2+q2+2+q。

(2)当〃>0时，定义数列出｝,4=4伙212),6,田=一1+"西，是否存在正整

数使得内+4=。+：/+后五一1.如果存在，求出一组亿力，如果不存

在，说明理由.

【答案】(1)2；(2)答案见解析

【解析】试题分析：

(1)由题意可得一!一二」——裂项求和有」一+」一+…+」一的值是2；

%+2%an+]2+42+见2+4。

(2)结合所给的递推关系讨论可得存在一组«,/)=(4-11,"9)满足题意.

试题解析：

八、._((+2)。“1_2

⑴Cl.,=---------,---=------r--

2%(4+2)4

所以---=-----------

*44+2

1+2a

所以------1--------------F…-I-------------=------------

2+42+生2+%0a,%

12)由2M=-1+历西

得么+i+i=JTT荔，两边平方

1)

所以4=2+1+］此I

当4=%时，由«=b?+；比知/=%+gb；

又4=%7+gd.|，数列｛4｝递增，所以％=4T

类似地，力3=ak-2，…2=ak-t+\

p12

又々+5。=《2

所以。1+产生*=%+42

存在正整数仃(心j),R-i+l=12/一，+1=10

存在一组(，,/)=仅一11/一9)

练习2.在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数

的乘积记为An,令4=log2An,/teN*.

(1)数列｛3｝的通项公式为%=；

(2)Tn=tan«2•tanq+tantz4-taniz6d---Ftan«2w-tan«2/J+2=__________.

n+2tan(n+2)-tanl

【答案】生士;一——1-----

2tanl

【解析】⑴设在数1和2之间插入〃个正数，使得这乂+2个数构成递增等比数列｛%｝

那么伪=1,2+2=2=1X/+L即/川=2,q为此等比数列的公比

故数列｛丹｝的通项公式为q=当

⑵由⑴可得%=lOg24=等，又

tan+2)-tan2+

=—---』------n,neN

tanl

tan(/:4-2)-tan2

故答案为一——2-------n

tan1

练习3.两个等差数列｛4｝和也｝的前〃项和分别为A“和纥，且今=［箸

£1=

itA

%为整数的正整数〃的取值集合为.

a

【答案】9；{2,3,5,11}

【解析】试题分析：

由等差数列的性质和求和公式可得％=&二=—,可得〃的取值。

试题解析：

即〃+1=3或〃+1=4或〃+1=6或〃+1=12,从而〃=2,3,5,11,即集合为{235,11}

故去为整数的正整数〃的取值集合为{2,3,5,11}

4.数学文化与数列的应用

例4某化工厂从今年一月起，假设不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同

时将受到环保部门的处分，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元.如果从今年一月起投

资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面也可

以大大降低原料本钱.据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入

g(〃)是生产时间〃个月的二次函数g(k)=〃2+如(女是常数)，且前3个月的累计生产净

收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同.同时，该厂不

但不受处分，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.

(1)求前8个月的累计生产净收入g(8)的值；

12)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.

【答案】⑴g⑻=g(5)+3xlO9=852；⑵经过9个月投资开始见效。

【解析】试题分析：(1)根据g13)得到k,再计算g(5)和g(5)-g(4),而g(8)

=g(5)+3[g(5)-g(4)],从而得到结果；

(2)求出投资前后前n个月的总收入，列不等式解出n的范围即可.

试题解析

(1)据题意g(3)=32+34=309,解得1=100,

第5个月的净收入为g(5)_g(4)=109万元，

所以，g(8)=g(5)+3xlO9=852万元

n2+1OOn,(n<5)

⑵15)+(〃-5)[g(5)-g(4)].(〃>5)

n2+100n,(n<5)

即g(〃)={

109〃一20,(n>5)

要想投资开始见效，必须且只需

/\3n+n(n-\)x2

^(7i)-500+100>70n--2

即g(〃)+〃2-68/7-400>0.

当〃=1,2,3,4,5时，〃2+100〃+/_68〃-400>0,

即〃(〃+16)>200不成立；

当〃>5时，109〃-20+/-68〃-400>0,即〃(〃+41)>420,

验算得，〃之9时，n(n+41)>420

所以，经过9个月投资开始见效。

练习1.用分期付款的方式购置某家用电器■件，价格为1150元，购置当天先付150元，

以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%,按复利计算.假

设交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电

实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保存4个有效数字)

参考数据:(1+1%)"=1.208,(1+1%)30=1.220,(1+1%)2|=1.232.

【答案】详见解析.

【解析】试题分析:购置当天先付款后，所欠款数可求，用20个月还清，月利率为1%,按

复利计息，分期付款的总款数，是等比数列的前20项和，求出可得买这件家电实际付款数,

以及每个月应还款数.

试题解析：

由题易得x(l+l%)I"+*(1+1%)1fl+…+x(l+l%)+x=1000(1+1%)⑶,

(1+1AJ

即x・a=1000X(1+1%)20,

1000XJX■

所以x=C1+1W*-1g55.45,即每月还款55.45元.

所以买这件家电实际付款55.45X20+150=1259（元），每月还款55.45元.

练习2.吴敬？九章算法比类大全？中描述：远望魏巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八

十一，请问塔顶几盏灯？()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】设塔顶为盏灯，那么，Q1）=381,解得q=3.应选C.

练习3.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的（如图），其中

O^=W=A2Ay=..=,记。4，。&，。4,…，。4的长度构成的数列为

N",〃V8）,那么｛〃〃｝的通项公式8）

【答案】4=册

练习4.“中国剩余定理"又称“孙子定理1852年，英国来华传教士伟烈亚力将?孙子

算经?中“物不知数〃问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801

年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理中国

剩余定理"讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数

中，能被3除余1且被5整除余】的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛《,｝,那么

此数列的项数为.

【答案】135

【解析】试题分析：将题目转化为q-1即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数即

。“一1=154（&=0,1,2…），当2=134,152=2010,当2=135时，15A>2016,

故％=0,1,2…,134,数列共有135项.

例5.对于给定的正整数屋如果各项均为正数的数列｛为｝满足：对在意正整数〃5>k）,

…%。向-4+1。m=。产总成立,那么称｛4｝是“0（攵）数列".

（1）假设｛4｝是各项均为正数的等比数列，判断｛4｝是否为“Q（2）数列〃，并说明

理由；

（2）假设｛4｝既是“Q（2）数列"，又是“Q（3）数列"，求证：｛4｝是等比数列.

【答案】（1）见解析；（2）见解析。

【解析】试题分析：（1）假设瓜）是各项均为正数的等比数列，由等比数列的性质可得：

=，尸•,尸•4,-6尸=（巧尸/=即可:证明•

⑵｛凡｝既是“0（2）数列”，又是“。（3）数列”，可得

川4+遂川=。；•可得=4_1/1对于任意n€N*（n\4）都成立.即

可证明.

试题解析：（1）｛4｝是“。（2）数列〃，理由如下：

因为｛4｝是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为q.

当〃>2时，有J*%。*=々a""吗尸••〃闯向=（4。"）4=

所以｛《,｝是“0（2）数列〃.

（2）因为｛q｝既是“。（2）数列〃，又是“Q（3）数列〃，

4

所以V〃>2，an_2an_｝an^an+2=a,,,①

6

V〃>3,an_3an_2an_xan+xan+1an^=a,,.②

由①得，V〃>1,a“_AA+2%.3=a〃+：，③

XM>3，4.34.2勺4川=。"•④

44

③X④・②得，V〃>3,.2="T/.

因为数列｛4｝各项均为正数，所以D〃>3,

所以数列｛a.｝从第3项起成等比数列，不妨设公比为/.

①中，令〃=4得，a,%%%=。：，所以出=3.

q

4

①中，令〃=3得，ai^a4a5=a3,所以6='.

q

所以数列｛为｝是公比为/的等比数列.

练习1记〃项正项数列为4,%，……其前n项积为7；,定义电色•第……Tn)为"相

对叠乘积"，如果有2021项的正项数列q,%,……4oi3的“相对叠乘积"为2021,那么有

2021项的数列10,q,电,......电0小的“相对叠乘积"为()

A.2021B.2021C.3042D.4027

【答案】D

【方法规律总结】：此题属阅读型试题，考查利用对数的运算法那么解决问题的能力及学生

的阅读理解能力，解题时要认真审题，注意准确理解“叠乘积”的概念，利用对数的运算法

2O2l

那么可得lg[10(10Ti)(10T2)(10T3)-(10L)]=lglO+lg(TrL-L)即得解.

练习2.数列A=｛q,%,…v%<…va〃,〃N2)具有性质P：对任意i,

j(l<Z<j<n),与9■两数至少有一个属于A.

ai

(I)分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质有,并说明理由.

(II)求证:4=1.

(III)求证：”彳+…％

〃丁+靖+…+靖

【答案】(1)具有性质P(2)见解析(3)见解析

【解析】试题分析：11)直接根据定义进行判断：由于3x4与g均不属于数集｛1,3,4｝,所

以｛1,3,4｝不具有性质尸，而肯定时需全面检验：由于1x2,1x3,1x6,2x3,

；,|，1，9,都属于数集｛1,2,3,6｝,所以｛1,2,3,6｝具有性质P.⑵取极端位置的

数：“与工中至少有一个属于4,而44任A,所以1=MEA,即证4=1.13)从

数列单调性上寻找条件：&wA(Z=l,2,…〃)，所以%=1,2=出，…，二%…

《凡％-4

&=4，代入即得结论

%

试题解析：(I)由于3x4与专均不属于数集｛1,3,4｝,所以该数集不具有性质产，

由于1x2,1x3,1x6,2x3,都属

231236

所以该数集具有性质P.

(II)因为A={q,g,%…为}具有性质尸，

所以4C"与—中至少有一个属于A，

由于1Wq<%<…%，所以。〃%>。〃，故〃任A,

从而1=&WA,所以q=l.

(III)因为1=4<。2<…<〃〃，所以故以凡品A(&=2,3.

由4具有性质尸可知组£A(Z=1,2,…〃)，

又因为殳〈乌-

%%出4

所以­=1，—―=a),,,•»—=»

-

anan_xa.ax

q+〃2+…+%+/，

〃+用+…可

练习3.用国表示不超过x的最大整数,例如[3]=3,[1,2]=1,[-1,3]=-2.数列{%}

满足4=1,%+1=。：+々“，那么4+%+...+?016=.

4+1。2+1。2016+1

【答案】2015

例6.一同学在电脑中打出如下假设干个

圈：0・0。・000・000。・。0000・…

假设将此假设干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈，那么在前120个圈中的•的个

数是()

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【解析】试题分析：由图像可得，二0%=2q=3,%=4…

二图像所示的圈可以用首项为2,公差为1的等差数列表示，

cn(n-T)d

S=na.i--------------120

二前120个圈中的•的个数即为2,

,-.Sa=^5=120

2,解得万=16,

二前120个圈中的•有1=15个，

应选D.

练习1..等差数列｛a｝中，4=7,&=16将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：

那么此数阵中第20行从左到右的第10个数是________.

【答案】598

q+2d=7a.=1

【解析】等差数列｛&｝中，%=7,4=16,.•.｛.

q+5d=16a=3

而第1行有1个数，第2行有2个数，依此类推第19行有19个数那么第19行的最后一个

数是数列的第1+2+…+19=190项，那么此数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第

200项，，400=1+199X3=598故答案为：598

点睛：此题主要考杳了等差数列的通项公式，解题的关键是先根据等差数列中的两项求出数

列的通项，然后弄清数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第几项，根据通项公式

即求解.

练习2.观察如下规律:

111111111111111111111111

,L,该组数据的前

3,3,3,5,5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,7,9,9,9,9*9,9,9,9,9

2025项和为

【答案】45

【解析】项数N=l+3+5+…+2nT=/=2025,n=45,相同数凑成一组和为1,共45个1,所以

(111、1111

5=1+一+—+—+•••+(—+—)=45,填45.

U33)88998899

练习3.如下图的数阵中，用A(鬼〃)表示第机行的第〃个数，那么以此规律4(8,2)为

【答案】—

122

112

例7.数列｛4｝的首项为2,前〃项的和为S”，且--------=-------〃£N*).

%―4S”-1

(1)求的的值;

(2)设勿二」一,求数列也｝的通项公式；

《用一%

(3)是否存在正整数〃，使得％巨为整数，假设存在求出〃，假设不存在说明理由.

141

【答案】(1)凡=一；(2)h=n一一；(3),1=1

■34n

【解析】试题分析：⑴令n=l可得生=廿；⑵由'———=—^―,得

’3anj4s“-1

44+i4s“一1

所以4s“-1=2《£川，所以4s-―1=2凡+4+2,两式相减整理可得

%+「％为+2一%+1

—--------出一=1,即％-2=1,故得数列也｝是等差数列；⑶结合(2)可

〃aa

”+2-4+1n+l-n

2/_八F”，4n+ll«12

求得4=一(4〃.1),那么口生=------=1+-----,然后根据4〃-123,且4〃一1为

7

〃3、an4/?-14/7-1

12的约数可求得〃=1。

试题解析：

14

(1)易得。2二石

(2)由'———=得%Lf=，—

4%4S.—1aflan+]4s,一1

所以4S”-1=24为+i①.

71+1

所以4s“+「］=2凡+同”+2②,

为+2一q+1

由②■①，得2。用="〃+得〃’2——如包

因为4+1工°，所以2=—^

所以1+—%-------%—=2,即一%--------%—=1,

%+2-4+14+1一％为+2-《用/+1一%

即然H—〃=1，所以数列｛a｝是公差为1的等差数列.

因为A=£%=；，所以数列｛么｝的通项公式为〃=〃—J.

(3)由(2)知，——=n--,所以4a=」7+1=如2,

4

4,7_1加一1

4

所以“川=-^-，所以数列[一人]是常数列.

4(/z+l)-l4/?-1[4n-1J

由“二,所以《二2(4〃—1).

那么=制t11=1+—1^-,

an4〃-14〃一1

注意到4〃一123,且4〃-1为12的约数，所以4〃-1=3,4,6,12,由〃wN*知

n=\.

例8.数列｛《,｝、抄〃｝,其中，%=；,数列｛4｝满足

(〃+1)4,(〃22,〃£N"),数列也｝满足白=2也+]=22.

(1)求数列｛〃“｝、｛々｝的通项公式：

(2)是否存在自然数加，使得对于任意“EN”,〃之2,有1+,+,+…丝心恒成

ab2bn4

立？假设存在，求出机的最小值;

(3)假设数列｛c.｝满足c“=｛〃屋，求数列匕｝的前〃顶和7；.

一伪偶数

-+4.+3+32"--),〃为奇数

【答案】⑴勿=2"；⑵存在，皿=16；⑶(=｛/^

匚也+々2"-1),〃为偶数

43、7

【解析】试题分析：

(1)根据题设条件用累乘法能够求出数列0｝的通项公式.E=2,b*2A可知瓜｝是首项为2,公比为2的

等比数列，由此能求出｛bj的通项公式.(2)b.=2二假设存在自然数m,满足条件，先求出

1+5+3+…+2=1+:+3+-+[=2-2<2,将问题转化成与之2可求得相的取值范围；

4442222*2*4

(3)分n是奇数、n是偶数两种情况求出然后写成分段函数的形式。

试题解析：

(1)由(〃+,即=

又q=L所以〃“=%•%!_•吐…"生6

aaa

2n-\n-2n-3。24

n—\n-2n-3211_1

n+inn-\432〃(〃+l)

当〃=1时，上式成立，

因为4=2力向=2b",所以｛4｝是首项为2,公比为2的等比数列，

故％=2”・

(2)由⑴知2=2”,那么

.111,111cl

1+——+——+…+——=1+—+—+...+—=2-----.

2

向b2bn22V2〃

假设存在自然数加，使得对于任意〃£N：〃N2,有1+,+-!-+…+-!-<竺心恒成立，

“b2bn4

即2—」-〈叱色恒成立，由忙022,解得加216.

2"44

"2—8.,

所以存在自然数团，使得对于任意〃wN*,〃22,有1+2+!+…+5<-----怛成r立,

b1仇bfl4

此时，〃2的最小值为16.

（3）当〃为奇数时,

41-4*2

〃〃

2+---+---1-+11-〃2+4〃+3+gQ.Tf;

2--------2----------1-44

当〃为偶数时,

41-42

2+〃n

—.—।-----------"+2"+g(2"-1).

221-44

n2+4wI3

---------------十/（2小_1）,〃为奇数

4

因此（=｛

字+热-）'〃为偶数

例9.设数列｛见｝的前〃项和为S“，S〃7=pSn+q"、g为常数，〃wM）,又q=2,

%=1，%=q_3P.

⑴求,、g的值;

⑵求数列｛为｝的通项公式;

使3

⑶是否存在正整数加、n,<-成---立---？假设存在，求出所有符合条件的有

S/「m2W+1

序实数对（用,〃）；假设不存在，说明理由.

1

【答案】(1)p=—»q=2；(2)a=

2n2n~2'

（3）存在符合条件的所有有序实数对：（1,1）、（2,1）、（2,2）、（3,2）、（3,3）、（3,4）.

试题解析:

1

3=2p+qP%

（1）由题意，知13+q-3P=3p+q,解之得lq=2

1

⑵由⑴知,Sn.l=2Sn+2,①

1

当n22时，S„=2Sn-i+2,②

1

①■②得，a^.F2an(n22),

又加二项“所以数列｛aj是首项为2,公比为E的等比数歹人

]

所以2n-2.

2(1去)

「2n

4(1

2n乙2m

〈上4(1」)小石2-(4-W)-4<^L

由Sn+1，2m+l,得2n+1,即2n(4F)-22m+l,

1—?-----------2>,

2n(4F)-22血+1即2以4/)-22m+l,

因为2"+l>0,所以2"(4-m)>2,

所以mV4,且2V2"14-m)<2nH+4,①

因为m£N*,所以m=l或2或3。

当m=l时，由①得，2V2nX3V8,所以n=l：

当m=2时，由①得，2V2nX2V12,所以n=l或2；

当m=3时，由①得，2<2”<20,所以n=2或3或4,

综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(m,n)为：(1,1),(2,1),(2,2),[3,2),

(3,3),(3,4).

练习1.记等差数列｛4｝的前〃项和为S”.

(1)求证：数列｛，，是等差数列；

(2)假设4=1,对任意〃均有J%,底,£二是公差为1的等差数列，

求使、吟口为整数的正整数k的取值集合；

/八、r,a/yh+"+…+h,+h

(3)记a=a/(〃>0),求证：」~Z-----i工」一n