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欧拉方程第六节、欧拉方程

因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还没有一般的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的线性微分方程——欧拉方程，通过变量替换可以化为常系数的线性微分方程，因而容易求解.形如xny(n)+p1xn－1y(n－1)+…+pn－1xy′+pny=f(x)（6-33）的方程称为欧拉方程，其中p1，p2，…，pn为常数.欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同.当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=lnx，有第六节、欧拉方程

如果来用记号D表示对自变量t求导的运算d/dt，则上述结果可表示为xy′=Dy，一般的，有xky(k)=D(D－1)…(D－k+1)y.（6-34）当自变量x<0时，作变换x=－et，可得类似结果.将式（6-34）代入欧拉方程，则方程（6-33）化为以t为自变量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，回代t=lnx，即得到原方程的解.第六节、欧拉方程

求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解.解作变换x=et(设x>0),原方程化为D(D－1)y+Dy－y=e2t,即D2y－y=e2t或（6-35）方程（6-35）所对应的齐次方程为（6-36）其特征方程为r2－1=0,【例1】第六节、欧拉方程

特征根为r1,2=±1,所以齐次方程（6-36）的通解为Y=C1e－t+C2et=C1x+C2x.方程的特解形式为y=ae2t,代入原方程，得a=1/3,即y=1/3x2,所以欧拉方程的通解为

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