【八年级下册数学人教版】第十八章 平行四边形（10类题型突破）

第十八章平行四边形（10类题型突破）题型一利用平行四边形的性质求解例题：在平行四边形中，，则（

）A． B． C． D．变式训练1．如图，在平行四边形中，，，平分交边于点，则（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.52．如图，在四边形中，，E为的中点，若，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，则：①；②图中共有6对全等三角形；③若，，则；④；其中正确的结论有（）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为______．题型二判断能否构成平行四边形例题：能判定四边形是平行四边形的是（）A．， B．，C．， D．，变式训练1．如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形（

）A．， B．，C．， D．，2．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，3．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．C． D．题型三添一个条件成为平行四边形例题：已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．变式训练1．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，要使四边形BEDF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_______________．2．如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________．题型四利用平行四边形的性质与判定综合例题：如图，四边形中，垂直平分，垂足为点为四边形外一点，且，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)如果平分，，，求的长．变式训练1．如图，在中，，M、N分别是的中点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求的长．2．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．3．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，．(1)求证：；(2)求证：平分；(3)若，，求的面积．题型五利用矩形的性质求角度或线段长例题：如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．变式训练1．在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．2．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．3．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．(1)求证：；(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．4．如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．(1)若，，求的长．(2)求证：．题型六矩形的性质与判定综合问题例题：如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形．变式训练1．如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．(1)求证：；(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．2．如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．题型七利用菱形的性质求角度或线段长例题：如图，菱形中，已知，则的大小是____________．变式训练1．如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．2．如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．3．如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．4．如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为_____．5．如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积．题型八菱形的性质与判定综合问题例题：如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长；变式训练1．如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求的长．2．如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；②当______时，四边形是矩形，请说明理由．题型九利用正方形的性质求角度或线段长例题：如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．变式训练1．如图，正方形中，，则_____．2．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．3.如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．4．已知在矩形ABCD中，，，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，．(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求的面积；(2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且时，求的面积（用含a的代数式表述）；(3)在（2）的条件下，当的面积等于6时，求AH的长．题型十正方形的性质与判定综合问题例题：如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．(1)若正方形的边长为，且，求的长；(2)求证：．变式训练1．如图，点是正方形内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，的延长线相交于点E.若正方形的边长为10，．(1)求证：四边形是正方形；(2)求的长．2．如图，点E是正方形的边上不同于C，D的任意一点，延长至点F，使．分别过点E，F作的垂线，相交于点G．(1)如图1，连接，、与有何关系？请说明理由．(2)如图2，连接．若．①当点E是的中点时，____________；②当点E不是的中点时，的值与①相比，有变化吗？请说明理由．

第十八章平行四边形（10类题型突破）答案全解全析题型一利用平行四边形的性质求解例题：在平行四边形中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．【详解】解：如图：∵四边形是平行四边形，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．变式训练1．如图，在四边形中，，，平分交边于点，则（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质，可得，即可求解．【详解】解：在中，，，∴，又∵平分∴，∴，∴，∴，故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理．2．如图，在平行四边形中，，E为的中点，若，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据平行四边形的性质可得，再由直角三角形的性质可得，即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，E为的中点，，∴，∴．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．3．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，则：①；②图中共有6对全等三角形；③若，，则；④；其中正确的结论有（）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③【答案】B【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根据三角形三边关系得出的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，在和中，∴，∴，故①正确，由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：，，，，，共6对，故②正确；∵，∴，∴，∴，故③错误；∵，∴，故④正确；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质和三边关系的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为______．【答案】3【分析】先利用角平分线和平行四边形对边平行得到，进一步得到，从而可得．【详解】解：四边形为平行四边形，，，平分，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出．题型二判断能否构成平行四边形例题：能判定四边形是平行四边形的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．【详解】解：A、，，不能判定四边形为平行四边形；B、，，不能判定四边形为平行四边形；C、，，能判定四边形为平行四边形；D、，，不能判定四边形为平行四边形；故选：C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．变式训练1．如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；D、∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．2．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A．∵，∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；B．∵，∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；C．由，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意；D．∵，，∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．3．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④对角线互相平分的四边形是平行四边形．直接利用平行四边形的判定定理即可得出答案．【详解】解：A.当，四边形是平行四边形或等腰梯形，此选项不合题意．B.当，不能得到四边形是平行四边形，此选项不合题意．C.当，不能得到四边形是平行四边形，d此选项不合题意．D.当，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键．题型三添一个条件成为平行四边形例题：已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．【答案】ADCB（答案不惟一）．【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案．【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：ADCB，故答案为：ADCB（答案不惟一）．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．变式训练1．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，要使四边形BEDF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_______________．【答案】【分析】由平行四边形的性质可得到，要证明四边形BEDF是平行四边形，只需要即可．【详解】添加，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∵，∴四边形BEDF是平行四边形，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．2．如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________．【答案】BF=DE（答案不唯一）【分析】连接对角线AC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可．【详解】解：添加的条件为BF=DE，理由如下：证明：连接AC交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵BF=DE，∴BO-BF=DO-DE，即OF=OE，四边形AFCE为平行四边形，故答案为：BF=DE（答案不唯一）．【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．题型四利用平行四边形的性质与判定综合例题：如图，四边形中，垂直平分，垂足为点为四边形外一点，且，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)如果平分，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）分别证明，得出结论；（2）利用勾股定理求出，再利用等积法求出，即可得出结论．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴过作，∴，∴，∵垂直平分，则,∵，∴，∴．【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．变式训练1．如图，在中，，M、N分别是的中点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得、，根据M、N分别是AD、BC的中点可得，然后根据平行四边形的判定定理即可证明结论；（2）如图：连接ND，先说明是等边三角形的判定与性质，可得、，再根据三角形外角的性质，可得，最后根据勾股定理即可解答．【详解】（1）证明：∵是平行四边形，∴，．∵M、N分别是AD、BC的中点，∴．∵，∴四边形是平行四边形．（2）解：如图：连接ND，∵是平行四边形，∴．∵N是BC的中点，∴．∵，∴．∵，∴是等边三角形，∴，，∵是的外角，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得是等边三角形是解题的关键．2．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．【答案】(1)见解析(2)CN=2【分析】（1）证明DEBC，再证∠DMF=∠2，得DBEC，则四边形BCED是平行四边形，即可得出结论；（2）由（1）得：BC=DE=2，ECDB，再由平行线的性质得∠CNB=∠DBN，然后证∠CNB=∠CBN，则可由CN=BC求解．（1）证明：∵∠A=∠F，∴DEBC，∵∠1=∠2，∠1=∠DMF，∴∠DMF=∠2，∴DBEC，∴四边形BCED是平行四边形，（2）解：∵BN平分∠DBC，∴∠DBN=∠CBN，由（1）得：BC=DE=2，ECDB，∴∠CNB=∠DBN，∴∠CNB=∠CBN，∴CN=BC=2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，证明四边形BCED为平行四边形是解题的关键．3．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，．(1)求证：；(2)求证：平分；(3)若，，求的面积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，根据对顶角相等，，再根据点E是边的中点，即可求证；（2）通过证明为等腰三角形，即可求证；（3）由题意可得，的面积等于的面积，利用含角直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）证明：在中，，∴，∵点E是边的中点，∴，又∵，∴；（2）证明：由（1）可得，∴，即为的中线，，又∵，∴为等腰三角形，∴，∴，即平分；（3）解：由（2）可得平分；又∵∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴，由（1）可得，则，∴．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．题型五利用矩形的性质求角度或线段长例题：如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．【答案】或50度【分析】根据矩形的性质，得到，利用三角形外角求出，利用垂直可求出结果．【详解】∵四边形是矩形，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键．变式训练1．在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．【答案】45或135【分析】根据题意分当的平分线交线段于点E和当的平分线交线段外于点E，然后根据矩形的性质及角平分线的定义可进行求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵平分，∴，由题意可分：①当的平分线交线段于点E，如图所示：∴；②当的平分线交线段外于点E，如图所示：∴；综上所述：或；故答案为45或135．【点睛】本题主要考查矩形的性质及角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．2．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．【答案】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角的性质可得，再结合两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到，再利用等角对等边的性质得到，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：四边形是矩形，，，点是的中点，，，∵，，，，，，在中，，．．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出是解题的关键．3．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．(1)求证：；(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）根据平行四边形性质得出，推出，再由即可得出结论；（2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，即，∴，∵点是的中点，∴，在和中，，∴；（2）解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴，∵，∴，∵四边形为平行四边形，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质、证明是解题的关键．4．如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．(1)若，，求的长．(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）由已知可求得的长及，由勾股定理求得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得结果；（2）由矩形的性质及角平分线的意义易得，从而问题解决．【详解】（1）解：四边形是矩形，，，，；平分，，，∴；由勾股定理得，；（2）证明：四边形是矩形，，，，，、分别平分、，，，，，．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键．题型六矩形的性质与判定综合问题例题：如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．【详解】（1）证明：∵、，∴四边形是平行四边形，∴；（2）证明：∵，平分，∴，，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．变式训练1．如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．(1)求证：；(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)矩形，见解析【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，，再由得出，根据平行线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质定理进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得，，，再由，可得，进而可判定四边形是平行四边形，然后再证明即可得到四边形是矩形．【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∵，．∵，∴．∵，∴，，在与中，，∴（ASA）；∴，，在与中，∴（SAS）；（2）四边形是矩形，理由：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形是矩形．【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．2．如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知条件先证明四边形为平行四边形，再根据即可得证；（2）由平分，可求得，在中，，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，再求出，由已知进而即可求得即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，又∵，∴，即，∵，，四边形为平行四边形，又∵，∴平行四边形是矩形．（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，，，∴∴，∴，∴，∴，故答案为；．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟练以上知识点是解题的关键．题型七利用菱形的性质求角度或线段长例题：如图，菱形中，已知，则的大小是____________．【答案】或140度【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．【详解】解：∵菱形中，，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．变式训练1．如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．【答案】3【分析】利用含30角的直角三角形的性质求出，利用等角对等边求出，即可解决问题．【详解】解：四边形是菱形，，，，，，，，，，，在中，，，，故答案为：3．【点睛】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是综合运用上述知识解决问题．2．如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．【答案】【分析】根据菱形的性质，得到，，再根据垂直平分线性质，得到，从而得到，最后利用三角形外角性质即可求出的度数．【详解】解：连接，四边形是菱形，，，，，，垂直平分，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握菱形的基本性质是解题关键．3．如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．【答案】【分析】连接，则为等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出的长，由，可得出，进而可求出的长．【详解】解：连接，则为等边三角形，如图所示．是中点，，，，．又，，，即：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质，找出为等边三角形是解题的关键．4．如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为_____．【答案】【分析】取的中点H，连接，根据菱形的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，取的中点H，连接，∵四边形是菱形，，∴，∴，∵点H是的中点，点F是的中点，∴，∴，∵点E是的中点，点H是的中点，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．5．如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据菱形的性质，得，；根据于点，于点，则，即可；（2）根据菱形的性质，得，根据，，勾股定理，求出，即可求出菱形的面积．【详解】（1）证明，如下：∵四边形是菱形，∴，，∵于点，于点，∴，∴，∴．（2）∵四边形是菱形，∴，∵，，∴，∴，∴菱形的面积为：．【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知识．题型八菱形的性质与判定综合问题例题：如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长；【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）先证明得到进而证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；（2）先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；（2）解：∵四边形是菱形，∴，∴在中，由勾股定理得，∴，∵，点O为的中点，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．变式训练1．如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；（2）由菱形的性质可得，，，可求，，即可得出答案．【详解】（1）解：证明：，，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，．，平行四边形是矩形，．．平行四边形是菱形（2）由（1）得：四边形是矩形，四边形是菱形，，，，，，．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键．2．如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；②当______时，四边形是矩形，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①4；②7，理由见解析．【分析】（1）证明，推出，根据平行四边形的判定即可得出结论；（2）①当四边形是菱形时，证明是等边三角形，可得，进而可得的长度；②过A作于M，求出，可得，然后证明四边形是矩形，即可得到的长度．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵G是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：①当时，四边形是菱形，理由：∵，，，∴，，，当四边形是菱形时，有，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4；②当时，四边形是矩形，理由：过A作于M，∵，，∴，∴，当四边形是矩形时，有，∴，又∵，∴四边形是矩形，∴，故答案为：7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识，注意：菱形的四条边都相等，矩形的四个角都是直角．题型九利用正方形的性质求角度或线段长例题：如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．【答案】65【分析】由三角形的外角性质可知：要求，只要求，由正方形的轴对称性质可知：，即可求出．【详解】解：四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，，，，又是的外角，，故答案为：65．【点睛】本题综合考查正方形的对称性质和三角形外角性质，解题关键是利用正方形的对称性快速得出结论．变式训练1．如图，正方形中，，则_____．【答案】或度【分析】根据正方形的性质得出，根据已知条件可得，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是解题的关键．2．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．【答案】【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出是等腰三角形，从而求出的度数，进而求出的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形，∴，，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键．3.如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．【答案】【分析】延长、交、于、，由正方形的性质，得到，再由等腰三角形的性质及正方形的性质得到，，由勾股定理即可得出结论．【详解】解：如图，延长、交、于、．四边形为正方形，，，，则．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理．求出，的长是解答本题的关键．4．已知在矩形ABCD中，，，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，．(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求的面积；(2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且时，求的面积（用含a的代数式表述）；