2021届山东省菏泽市高考数学（一模）联考试卷（2021.03）（解析版）

2021年山东省菏泽市高考数学联考试卷（3月份）（一模）一、选择题（共8小题）.1．若z•（1+i）＝2i，则z的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i2．设集合A＝{x|x＜2或x＞3}，B＝{x|ex﹣1﹣1＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（3，+∞）3．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∀x∉R，x2≥0 B．∀x∈R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≥0 D．∃x∈R，x2＜04．2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差 C．第3天至第11天复工复产指数均超过80% D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量5．函数的图象大致为（）A． B． C． D．6．菏泽万达商场在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A． B． C． D．7．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年．某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）．设第x天时太阳直射点的纬度值为y，该科研小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足y＝23.4392911sin0.01720279x．则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近，应设定闰年的个数为（）（精确到1）参考数据≈182.6211．A．95 B．96 C．97 D．988．在等比数列{an}中．a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3）．若a1＞1，则（）A．a1＜a2 B．a2＜a3 C．a3＜a4 D．a1＜a4二、选择题（共4小题）.9．下列结论正确的是（）A． B．若a＜b＜0，则 C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1） D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则10．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在处取得极大值 B．f（x）有两个不同的零点 C． D．若在（0，+∞）上恒成立，则11．已知函数为函数的一条对称轴，且．若f（x）在上单调，则ω的取值可以是（）A． B． C． D．12．透明塑料制成的正方体密闭容器ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，注入体积为x（0＜x＜8）的液体．如图，将容器下底面的顶点A置于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（）A．液面始终与地面平行 B．x＝4时，液面始终呈平行四边形 C．当x∈（0，1）时，有液体的部分可呈正三棱锥 D．当液面与正方体的对角线AC1垂直时，液面面积最大值为三、填空题（共4小题）.13．（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为．14．设，为单位向量，且||＝1，则|2+|＝．15．在抛物线y2＝4x上任取一点A（不为原点），F为抛物线的焦点，连接AF并延长交抛物线于另一点B，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D．记线段CD的中点为T，则△ATB面积的最小值为．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝1，g（x）＝f（x﹣1）是奇函数，则f（2021）＝，．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝1，面积．再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长．（1）；（2）B＝C．18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn+2，数列{bn}满足b1＝2，（n+2）bn＝nbn+1，其中n∈N*．（1）分别求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为cn的等差数列，求数列{bncn}的前n项和Tn．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，C点在以AB为直径的圆上．（1）若PA＝AC，且E为PC的中点，证明：AE⊥PB；（2）若PA＝AC＝BC，求二面角C﹣BP﹣A的大小．20．随着生活质量的提升，家庭轿车保有量逐年递增，方便之余却加剧了交通拥堵和环保问题，绿色出行引领时尚，共享单车进驻城市．菏泽市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的经常使用共享单车的称为“单车族”，使用次数为5次或不足5次的称为“非单车族”．已知在“单车族”中有是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为400的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与能力列联表年轻人非年轻人合计单车族非单车族合计（2）若将（1）中的频率视为概率，从该市市民中随机任取3人，设其中既是“单车族”又是“非年轻人”的人数为随机变量X，求X的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表P（K2≥k0）0.150.100.050.00250.01k02.0722.7063.8415.0246.635其中，n＝a+b+c+d，K2＝（注：保留三位小数）．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆上；直线AF1交y轴于点B，且，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C1的方程；（2）直线l斜率存在，与椭圆C1交于D，E两点，且与椭圆有公共点，求△DOE面积的最大值．22．已知函数f（x）＝lnx﹣kx（k∈R），g（x）＝x（ex﹣2）．（1）若f（x）有唯一零点，求k的取值范围；（2）若g（x）﹣f（x）≥1恒成立，求k的取值范围．

参考答案一、选择题（共8小题）.1．若z•（1+i）＝2i，则z的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i解：因为z•（1+i）＝2i，所以，故z的虚部是1．故选：B．2．设集合A＝{x|x＜2或x＞3}，B＝{x|ex﹣1﹣1＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（3，+∞）解：∵A＝{x|x＜2或x＞3}，B＝{x|ex﹣1＜1}＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝（﹣∞，1）．故选：A．3．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∀x∉R，x2≥0 B．∀x∈R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≥0 D．∃x∈R，x2＜0解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．故选：D．4．2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差 C．第3天至第11天复工复产指数均超过80% D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量【解答】第8天比第7天的复工指数和复产指数均低，A错；这11天期间，复产指数的极差小于复工指数的极差：两者最高差不多，但最低的复工指数比复产指数低得多，B错；第3天至第11天复工复产指数均超过80%，C正确；第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量，D错误．故选：C．5．函数的图象大致为（）A． B． C． D．解：f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，f（1）＝＞0，排除A，当x→+∞时，y→0，排除D，故选：B．6．菏泽万达商场在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A． B． C． D．解：菏泽万达商场在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则基本事件总数n＝34＝81，其中他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数：m＝＝36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是P＝＝＝．故选：B．7．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年．某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）．设第x天时太阳直射点的纬度值为y，该科研小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足y＝23.4392911sin0.01720279x．则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近，应设定闰年的个数为（）（精确到1）参考数据≈182.6211．A．95 B．96 C．97 D．98解：∵T＝＝≈365.2422，∴一个回归年对应的天数为365.2422天，假设400年中应设定x个闰年，则平年有（400﹣x）个，∴366x+365（400﹣x）＝365.2422×400，解得x≈97，∴应设定97个闰年．故选：C．8．在等比数列{an}中．a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3）．若a1＞1，则（）A．a1＜a2 B．a2＜a3 C．a3＜a4 D．a1＜a4解：当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3＞ln（a1+a2+a3），不符合题意；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，a1+a2+a3＞a1，所以ln（a1+a2+a3）＞lna1＞0，不符合题意；故﹣1＜q＜0，所以a2＜a3．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分．共20分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得5分．有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列结论正确的是（）A． B．若a＜b＜0，则 C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1） D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则解：对于A，当x＜0时，x+≤﹣2，故错；对于B，当a＜b＜0时，，则，故正确；对于C，若x（x﹣2）＜0，则0＜x＜2，则log2x∈（﹣∞，1），故错；对于D，若a＞0，b＞0，a+b≤1，则有ab，即，故正确．故选：BD．10．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在处取得极大值 B．f（x）有两个不同的零点 C． D．若在（0，+∞）上恒成立，则解：①函数，所以＝（x＞0），令f′（x）＝0，即2lnx＝1，解得x＝，当时，f′（x）＞0，故函数在（0，）上为单调递增函数．当x时，f′（x）＜0，故函数为单调递减函数．所以函数在x＝时取得极大值，故A正确，②由于当x＝1时，f（1）＝0，当时，f′（x）＞0，故函数在（0，）上为单调递减函数，当x时，f′（x）＜0，故函数为单调递增函数，且＞0．所以函数f（x）没有零点．故B错误．③由于当x时，f′（x）＜0，故函数为单调递减函数．所以，由于＝，＝所以﹣，由于π2＞2π，所以，即，故C正确．④由于，故，由于函数在（0，+∞）上恒成立，所以，设，则，令g′（x）＝0，解得，所以函数单调递增，函数单调递减，所以．故，故D正确．故选：ACD．11．已知函数为函数的一条对称轴，且．若f（x）在上单调，则ω的取值可以是（）A． B． C． D．解：函数为函数的一条对称轴，∴+φ＝kπ+，k∈Z．∵＝2sin（+φ），即sin（+φ）＝，故+φ＝2nπ+，或+φ＝2nπ+，n∈Z，∵f（x）在上单调，∴•≥﹣+，∴ω≤8．若+φ＝kπ+，+φ＝2nπ+，k∈Z，n∈Z，求得ω＝﹣8（2n﹣k），结合ω≤8，可得ω＝（n＝1，k＝2）．若+φ＝kπ+，+φ＝2nπ+，k∈Z，n∈Z，求得ω＝﹣8（2n﹣k）﹣，结合ω≤8，可得ω＝（n＝0，k＝1），故选：BC．12．透明塑料制成的正方体密闭容器ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，注入体积为x（0＜x＜8）的液体．如图，将容器下底面的顶点A置于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（）A．液面始终与地面平行 B．x＝4时，液面始终呈平行四边形 C．当x∈（0，1）时，有液体的部分可呈正三棱锥 D．当液面与正方体的对角线AC1垂直时，液面面积最大值为解：液面始终是水平面，与场地是平行的，故选项A正确；当x＝4时，体积是正方体的一半，如液面正好过棱A1B1，B1B，BC，CD，DD1，D1A1的中点，此时液面是正六边形，不是平行四边形，故选项B错误；液面过AA1，AB，AD的中点时，此时，有液体的部分是正三棱锥，故选项C正确；当液面与正方体的对角线AC垂直时，液面面积的最大时就是选项B中所列举的正六边形（此时液体条件是正方体体积的一半），面积为，故选项D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为30．【解答】解法一：（x2+x+y）5可看作5个（x2+x+y）相乘，从中选2个y，有种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有•种选法；∴x5y2的系数为•＝30；解法二：∵（x2+x+y）5＝[（x2+x）+y]5，其展开式的通项公式为Tr+1＝•（x2+x）5﹣r•yr，令r＝2，得（x2+x）3的通项公式为•（x2）3﹣m•xm＝•x6﹣m，再令6﹣m＝5，得m＝1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为•＝30．故答案为：30．14．设，为单位向量，且||＝1，则|2+|＝．解：∵，，∴＝，∴，∴＝．故答案为：．15．在抛物线y2＝4x上任取一点A（不为原点），F为抛物线的焦点，连接AF并延长交抛物线于另一点B，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D．记线段CD的中点为T，则△ATB面积的最小值为4．解：由抛物线的方程可得焦点F的坐标为（1，0），设直线AB的方程为x＝ky+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4ky﹣4＝0，△＝16k2+16＞0恒成立，所以y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4，因为点T为CD的中点，所以CT＝DT＝CD，由抛物线的性质可得AC＝AF，BD＝BF，所以S△ATB＝S梯形ACDB﹣S△ACT﹣S△BDT＝（AC+BD）•CD﹣AC•CT﹣BD•DT，即S△ATB＝CD•（AC+BD）＝CD•AB＝|y1﹣y2|••|y1﹣y2|，因为（y1﹣y2）2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝16（1+k2），所以S△ATB＝4（1+k2），令t＝（t≥1），令S△ATB＝f（t）＝4t3（t≥1），因为f（t）在[1，+∞）上单调递增，所以f（t）min＝f（1＝4，故△ATB的面积最小值为4．故答案为：4．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝1，g（x）＝f（x﹣1）是奇函数，则f（2021）＝0，﹣1．解：根据题意，g（x）＝f（x﹣1）是奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，则有f（﹣x）＝﹣f（﹣2+x），且f（1）＝0，又由f（x）是定义在R上的偶函数，即f（﹣x）＝f（x），则有f（x）＝﹣f（x﹣2），变形可得f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝0，又由f（x）＝﹣f（x﹣2），即f（x）+f（x﹣2）＝0，则有f（1）+f（3）＝0，f（2）+f（4）＝0，故[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0，则n×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]﹣f（4n）＝0﹣f（0）＝﹣1，故答案为：0，﹣1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝1，面积．再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长．（1）；（2）B＝C．解：（1）选，由正弦定理得，＝＝＝2，故a＝2sinA，c＝2sinC因为＝，故＝＝，所以c＝1，sinC＝，故C＝（舍去），从而△ABC为等腰三角形，A＝，a＝，此时三角形的周长2+；（2）选B＝C，所以b＝c＝1，＝＝sinA，故＝2，由正弦定理得，＝2，则sinB＝，从而B＝C＝，从而△ABC为等腰三角形，A＝，a＝，此时三角形的周长为2+．18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn+2，数列{bn}满足b1＝2，（n+2）bn＝nbn+1，其中n∈N*．（1）分别求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为cn的等差数列，求数列{bncn}的前n项和Tn．解：（1）∵an+1＝2Sn+2，∴an+2＝2Sn+1+2，两式相减整理得：an+2＝3an+1，∴等比数列{an}的公比q＝＝3，又当n＝1时，有a2＝2S1+2，即3a1＝2a1+2，解得：a1＝2，∴an＝2×3n﹣1，∵b1＝2，（n+2）bn＝nbn+1，∴＝，∴bn＝×××…×××b1＝×××…×××2＝n（n+1），n≥2，又当n＝1时，b1＝2也适合上式，∴bn＝n（n+1）；（2）由（1）可得：cn＝＝＝，∴bncn＝4n×3n﹣1，∴Tn＝4（1×30+2×31+3×32+…+n×3n﹣1），又3Tn＝4（1×31+2×32+…+n×3n），两式相减得：﹣2Tn＝4（1+3+32+…+3n﹣1﹣n×3n）＝4（﹣n×3n），整理得：Tn＝（2n﹣1）•3n+1．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，C点在以AB为直径的圆上．（1）若PA＝AC，且E为PC的中点，证明：AE⊥PB；（2）若PA＝AC＝BC，求二面角C﹣BP﹣A的大小．【解答】（1）证明：因为侧棱PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA，又C点在以AB为直径的圆上，所以BC⊥AC，又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面ABC，在平面ABC内过点A作垂直AC的直线为x轴，AC，AP所在的直线分别为y轴，z轴，以A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设PA＝a，设BC＝b，则A（0，0，0），B（b，a，0），C（0，a，0），P（0，0，a），E（0，，），所以＝（0，，），，故，所以，故AE⊥PB；（2）解：当PA＝AC，E为PC的中点时，AE⊥PC，则由（1）可知，AE⊥平面PBC，故可取平面PBC的一个法向量为，当PA＝AC＝BC＝a时，，设平面PAB的法向量为，则，即，令x＝1，则y＝﹣1，故，所以，由图可知，二面角C﹣BP﹣A为锐角，所以二面角C﹣BP﹣A的大小为60°．20．随着生活质量的提升，家庭轿车保有量逐年递增，方便之余却加剧了交通拥堵和环保问题，绿色出行引领时尚，共享单车进驻城市．菏泽市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的经常使用共享单车的称为“单车族”，使用次数为5次或不足5次的称为“非单车族”．已知在“单车族”中有是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为400的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与能力列联表年轻人非年轻人合计单车族非单车族合计（2）若将（1）中的频率视为概率，从该市市民中随机任取3人，设其中既是“单车族”又是“非年轻人”的人数为随机变量X，求X的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表P（K2≥k0）0.150.100.050.00250.01k02.0722.7063.8415.0246.635其中，n＝a+b+c+d，K2＝（注：保留三位小数）．解：（1）补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计单车族20040240非单车族12040160合计32080400∴K2＝≈4.167＞3.841，即有95%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．（2）由（1）的列联表可知，既是“单车族”又是“非年轻人”占样本总数的频率为×100%＝10%，即在抽取的用户中既是“单车族”又是“非年轻人”的概率为0.1，∵X～B（3，0.1），X＝0，1，2，3，∴P（X＝0）＝（1﹣0.1）3＝0.729，P（X＝1）＝×0.1×（1﹣0.1）2＝0.243，P（X＝2）＝×0.12×（1﹣0.1）＝0.027，P（X＝3）＝0.13＝0.001，∴X的分布列为：X0123P0.7290.2430.0270.001∴X的数学期望E（X）＝0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001＝0.3．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆上；直线AF1交y轴于点B，且，其中