核心考点01平面直角坐标系中的直线-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期(原卷版)

核心考点01平面直角坐标系中的直线目录考点一：确定直线位置的几何要素考点二：直线的倾斜角考点三：直线的斜率考点四：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系考点五:三点共线考点六：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系考点七：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系考点八：直线的点斜式方程考点九：直线的斜截式方程考点十:直线的两点式方程考点十一：直线的截距式方程考点十二：直线的一般式方程与直线的性质考点十三：直线的一般式方程与直线的平行关系考点十四：直线的一般式方程与直线的垂直关系考点十五：待定系数法求直线方程考点十六：两条直线的交点坐标考点十七：方程组解的个数与两直线的位置关系考点十八：过两条直线交点的直线系方程考点十九：与直线关于点、直线对称的直线方程考点二十：点到直线的距离公式考点二十一：两条平行直线间的距离考点二十二：与直线有关的动点轨迹方程考点考向考点考向一．确定直线位置的几何要素【概述】如何确定一条直线，其实相当于如何求出这条直线的表达式，一般满足以下几点直线便可确定，第一：两点确定一条直线，只要知道直线上的两个点即可；第二，已知直线的斜率和直线上的某一个点；第三，与某条已知直线有确切的关系，如关于某某直线对称，已知互相平行的直线彼此间的距离，求另一条直线．【实例解析】当我们知道确定直线的几何要素的时候，最终还是要用这些要素来求出直线的方程，下面以例题作为解说：例：若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c＝0，求直线的方程．解：设所求的直线的方程为bx﹣ay+m＝0，把原点的坐标代入解得m＝0，故所求的直线的方程为：bx﹣ay＝0．这个例题非常的好，既考查了两条直线垂直时斜率之积为﹣1，又考查已知斜率和直线上某点，求直线方程，其解题流程可以写成y﹣y0＝k（x﹣x0），然后把斜率k和已知点（x0，y0）带进去即可，可以说也是待定系数法．【考点分析】这个考点很基础，一般高考中占的分值不大，如果出题的话一般五分左右，但只要他可能会考，又比较容易，那么就有必要掌握好来．二．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且tanα随α的增大而增大．【命题方向】直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．（1）直接根据直线斜率求倾斜角（2）通过条件转换求直线倾斜角三．直线的斜率【考点归纳】1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα．2．斜率的求法（1）定义：k＝tanα（α≠）（2）斜率公式：k＝．3．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大．【命题方向】直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．常见题型：（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；（2）已知斜率求倾斜角的问题．（3）斜率在数形结合中的应用．四．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【知识点的知识】直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响：（1）直线在y轴上的截距大于0时：若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；（2）直线在y轴上的截距小于0时：若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；（3）当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直；（4）当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合．五．三点共线【三点共线】三点共线字面意思就很明确了，即三个点在同一条直线上．那么三点共线会有什么样的性质呢？如何判断三点共线呢？这里面常用的方法有两种：①这三点任意两点所确定的斜率相同；②向量法．六．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】两直线平行与倾斜角、斜率的关系：①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有：两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行．七．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【直线的关系】在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°．【特点】①当某条直线斜率不存在时，那么与它垂直的直线平行x轴；②当某条直线斜率存在时，设它的斜率为k（k≠0），那么与它垂直的直线的斜率为：﹣，即两条互相垂直的斜率之积为﹣1，符号表示为k1•k2＝﹣1．【知识点的认识】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系：①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直；②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直．l1⊥l2⇔k2＝﹣⇔k1•k2＝﹣1．八．直线的点斜式方程【知识点的认识】设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点．方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程．九．直线的斜截式方程【知识点的认识】1．直线在y轴上的截距一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离）2．直线的斜截式方程已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b．由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程．十．直线的两点式方程【知识点的认识】直线的两点式方程：经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．（x1≠x2，y1≠y2）#注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线．特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1；②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1．十一．直线的截距式方程【知识点的认识】直线的截距式方程：若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：．#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．十二．直线的一般式方程与直线的性质【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．【知识点的知识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．十三．直线的一般式方程与直线的平行关系【知识点的知识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．十四．直线的一般式方程与直线的垂直关系【知识点的知识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．十五．待定系数法求直线方程【知识点的知识】求直线方程的一般方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．（2）待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定A（x0，y0），可以利用直线的点斜式y﹣y0＝k（x﹣x0）求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．十六．两条直线的交点坐标【知识点的知识】两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．十七．方程组解的个数与两直线的位置关系【知识点的知识】两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．十八．过两条直线交点的直线系方程【知识点的知识】两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．十九．与直线关于点、直线对称的直线方程【知识点的知识】点与直线的对称问题：（l）点关于点对称（中点坐标公式）：点关于点成中心对称的对称中心恰是以这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a﹣x0，2b﹣y0）（2）点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．一般情形如下：设点P（x0，y0），关于直线y＝kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有可求出x′，y′．特殊地，点P（x0，y0）关于直线x＝a的对称点为P′（2a﹣x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y＝b的对称点为P′（x0，2b﹣y0）．（3）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行）：（4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：①若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；②若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；③a以l为轴旋转180°，一定与b重合．二十．点到直线的距离公式【知识点的知识】从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d＝．二十一．两条平行直线间的距离【概念】两平行线的距离就是指平行线上的点到另一条直线的最短距离，因为两直线平行，所以直线上的点到另一条平行线上的点的距离都相等，若设两条平行线的表达式为：ax+by+c＝0和ax+by+d＝0，其中c≠d，那么这两条直线的距离为：d＝二十二．与直线有关的动点轨迹方程【知识点的知识】1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．2、求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；（4）用坐标（x，y）表示这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．二十三．三角形的面积公式三角形的面积公式①已知三角形的底边长为a，高为h，则三角形面积S＝底×高÷2＝；②已知三角形的两边及其夹角，则三角形的面积公式：S＝absinC＝bcsinA＝casinB．③已知三角形的周长为l，内切圆半径为r，则三角形面积S＝；④已知三角形的三边长的乘积为L，外接圆半径为R，则三角形面积S＝；⑤已知三角形AOB中，向量＝，＝，则三角形的面积S＝•．此公式也适用于空间三角形求面积．⑥在平面直角坐标系中，△ABC的三顶点分别为：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），记K＝，则三角形的面积S＝|K|＝|x1y2+x2y3+x3y1﹣x1y3﹣x2y1﹣x3y2|；特别的，当C（0，0），此时S＝|x1y2﹣x2y1|．⑦海伦公式：△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，p＝（a+b+c），则三角形面积S＝．二十四．恒过定点的直线【概念】如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成．【直线表达式】假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m．考点精讲考点精讲一．确定直线位置的几何要素（共3小题）1．（2022春•黄浦区校级期中）如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四2．（2022春•杨浦区校级期中）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1） B． C． D．3．（2022春•杨浦区校级期中）已知ab＜0，bc＞0，则直线ax+by+c＝0通过（）象限．A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四二．直线的倾斜角（共4小题）4．（2022春•杨浦区校级期中）过定点（2，1）且倾斜角是直线x﹣y+1＝0的倾斜角的两倍的直线一般方程为．5．（2022春•黄浦区校级月考）直线l经过点（﹣2，0）和（1，），则直线l的倾斜角为．6．（2022春•嘉定区校级月考）经过两点A（1，t）、B（t+1，4）的直线的倾斜角为45°，则实数t＝．7．（2022春•嘉定区校级月考）已知直线的斜率，x≠0，则直线的倾斜角α的取值范围为．三．直线的斜率（共5小题）8．（2022春•杨浦区校级期中）设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是．9．（2022秋•闵行区校级期中）经过A（1，0），B（0，）两点的直线斜率为．10．（2022春•宝山区校级月考）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，三者的大小关系为．（由大到小排列）11．（2022春•金山区期中）已知两点A（3，2），B（﹣1，5），直线l：y＝kx﹣1与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围12．（2022•徐汇区校级开学）若直线l的倾斜角为120°则l的斜率是．四．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共3小题）13．（2019秋•长宁区期末）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k214．（2019春•青浦区期末）直线x﹣2y+1＝0的一个方向向量是（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）15．（2019春•浦东新区期中）直线3x+2y+m＝0与直线2x+3y﹣1＝0的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．重合 D．由m决定五．三点共线（共2小题）16．（2022秋•浦东新区校级月考）已知三点A（﹣3，﹣1），B（0，2），C（m，4）在同一直线上，则实数m的值为．17．（2022秋•嘉定区校级期中）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则的值等于．六．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共1小题）18．（2021秋•嘉定区校级期末）已知直线l1：（a﹣3）x+（4﹣a）y+1＝0与l2：2（a﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则a＝．七．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系（共2小题）19．（2022秋•宝山区校级期中）若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为．20．（2021秋•浦东新区校级期末）若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1），斜率为﹣的直线垂直，则实数a的值为．八．直线的点斜式方程（共2小题）21．（2022秋•浦东新区校级月考）已知直线l经过点P（1，2），倾斜角α的正弦值为，则l的点斜式方程为．22．（2022秋•闵行区校级月考）过点（1，2），且法向量为（3，﹣4）的直线的点法向式方程为九．直线的斜截式方程（共1小题）23．（2022春•黄浦区校级月考）已知直线在l在y轴上的截距为4，倾斜角为α，且sinα＝，则直线l的斜截式方程为．一十．直线的两点式方程（共2小题）24．（2022春•浦东新区校级期中）已知点A（1，0），B（0，1），则线段AB的方程是．25．（2021秋•宝山区校级期末）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是．一十一．直线的截距式方程（共5小题）26．（2022秋•浦东新区校级月考）若直线l：x﹣2y+m﹣1＝0在y轴上的截距为，则实数m的值为．27．（2022秋•浦东新区校级月考）过点M（3，﹣4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为．28．（2022秋•闵行区校级月考）求过点p（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．29．（2022秋•宝山区校级期中）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程；（2）求△AOB面积的最小值；（3）如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．30．（2022秋•浦东新区校级月考）直线l过点M（2，1）且分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）当△OAB的面积最小时，求直线l的方程；（Ⅱ）当|MA|•|MB|取最小值时，求直线l的方程．一十二．直线的一般式方程与直线的性质（共5小题）31．（2022秋•浦东新区校级月考）过两点A（1，3），B（﹣3，2）的直线的一般式方程是．32．（2022春•黄浦区校级月考）将直线l：y＝2x+1绕其与y轴的交点M逆时针旋转得直线l′，则l′与两坐标轴所围成的三角形面积大小为．33．（2022秋•宝山区校级期中）直线2x+3y﹣6＝0分别交x，y轴于A，B两点，点P在直线y＝﹣x﹣1上，则|PA|+|PB|的最小值是．34．（2022秋•浦东新区校级月考）已知两条直线l1：ax+y﹣a﹣2＝0，l2：2x﹣a2y+2a2﹣2＝0（a≥1）．（1）若直线l1与两坐标轴分别交于A、B两点，又l1过定点P，当a为何值时，|AP|2+|BP|2有最小值，并求此时l1的方程；（2）若a≥2，设l1、l2与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积S的最大值；（3）设a＝1，直线l1与x轴交于点A，l1、l2的交点为P，如图现因三角形OPA中的阴影部分受到损坏，经过点Q（1，1）的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线MN的斜率k≤0，求保留部分三角形面积的取值范围．35．（2022春•宝山区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c＝0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η＝（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1＝0分隔；（2）若直线y＝kx是曲线x2﹣4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．一十三．直线的一般式方程与直线的平行关系（共5小题）36．（2022秋•金山区期末）已知直线l1：3x﹣（a+2）y+6＝0，直线l2：ax+（2a﹣3）y+2＝0，则“a＝﹣9”是“l1∥l2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件37．（2022秋•浦东新区校级月考）已知直线l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l2：2x+（m+6）y＝8，若l1∥l2，则m的值是．38．（2022•徐汇区校级开学）已知直线L1：（a﹣3）x+（1﹣a）y﹣1＝0，L2：（a﹣1）x+（2a﹣3）y+1＝0，则当实数a＝时，L1∥L2．39．（2022•徐汇区二模）已知m∈R，若直线l1：mx+y+1＝0与直线l2：9x+my+2m+3＝0平行，则m＝．40．（2022秋•奉贤区校级月考）已知直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0交于点P．（1）直线l1经过点P，且平行于直线3x﹣4y+5＝0，求直线l1的方程；（2）直线l2经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l2的方程．（注：结果都写成直线方程的一般式）一十四．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共4小题）41．（2022秋•浦东新区校级月考）在△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且lgsinA+lgsinC＝2lgsinB，则直线xsin2A+ysinA＝a与直线xsin2B+ysinC＝c的位置关系为（）A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合42．（2022秋•浦东新区校级月考）直线l1：px+3y+1＝0与直线l2：6x﹣2y﹣5＝0垂直，则p的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．943．（2022秋•浦东新区校级期中）已知直线l过点（3，﹣1），且与向量垂直，则直线l的点法向式方程为．44．（2022秋•奉贤区校级月考）过点（﹣2，3）且与直线2x+y+1＝0垂直的直线l的方程是．一十五．待定系数法求直线方程（共2小题）45．（2022秋•闵行区校级月考）经过P（0，1）的直线l与两直线l1：x﹣3y+10＝0和l2：2x+y﹣8＝0分别交于P1、P2且满足，则直线l的方程为．46．（2022秋•闵行区校级月考）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，∠B的平分线BN所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．求：（1）顶点B的坐标；（2）直线BC的方程．一十六．两条直线的交点坐标（共2小题）47．（2022•虹口区二模）设a∈R，k∈R，三条直线l1：ax﹣y﹣2a+5＝0，l2：x+ay﹣3a﹣4＝0，l3：y＝kx，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为．48．（2022春•黄浦区校级月考）已知直线l1：4x+y＝0，l2：mx+y＝0，l3：2x﹣3my＝4，若它们不能围成三角形，则m的取值所构成的集合为．一十七．方程组解的个数与两直线的位置关系（共2小题）49．（2022秋•崇明区期末）已知方程组无解，则实数m的值等于．50．（2022•上海）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为．一十八．过两条直线交点的直线系方程（共1小题）51．（2020秋•浦东新区校级期中）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）若直线l的斜率为﹣2，求△AOB的面积；（2）若△AOB的面积S满足12≤S＜，求直线l的斜率k的取值范围；（3）如图，若点P分向量所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．一十九．与直线关于点、直线对称的直线方程（共4小题）52．（2022秋•奉贤区校级月考）有一光线从点A（﹣3，5）射到x轴以后，再反射到点B（2，15），则这条光线的入射光线所在直线的方程为．53．（2022春•黄浦区校级月考）一条光线经过点A（3，5）射到直线x+y+1＝0上，被反射后经过点B（2，1），则入射光线所在直线的方程为．54．（2022秋•浦东新区校级期中）已知点A（0，2），直线l1：x﹣y﹣1＝0，直线l2：x﹣2y+2＝0．（1）求点A关于直线l1的对称点B的坐标；（2）求直线l2关于直线l1的对称直线方程．55．（2021秋•浦东新区校级期末）一束光从光源C（1，2）射出，经x轴反射后（反射点为M），射到线段y＝﹣x+b，x∈[3，5]上N处．（1）若M（3，0），b＝7，求光从C出发，到达点N时所走过的路程；（2）若b＝8，求反射光的斜率的取值范围；（3）若b≥6，求光从C出发，到达点N时所走过的最短路程．二十．点到直线的距离公式（共2小题）56．（2022秋•闵行区校级期末）设直线l：ax+by+c＝0，其中a，2b，c成等差数列．过原点O作直线l的垂线，垂足为P，则P到直线4x﹣3y+7＝0距离的最大值为．57．（2022秋•嘉定区校级期末）已知A（1，3），B（5，7）．（1）求线段AB垂直平分线所在直线方程；（2）若直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，求l方程．二十一．两条平行直线间的距离（共2小题）58．（2022秋•静安区期末）若直线x+2y+3＝0与直线2x+my+10＝0平行，则这两条直线间的距离是．59．（2022春•崇明区校级期中）设常数a∈R，已知直线l1：（a+2）x+y+1＝0，l2：3x+ay+（4a﹣3）＝0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离．二十二．与直线有关的动点轨迹方程（共1小题）60．（2022秋•浦东新区校级月考）已知t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0）．（Ⅰ）直线PQ是否经过点M（6，1）？（Ⅱ）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上．①求证：顶点C一定在直线上；②求图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A，B，C，D的坐标．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习），已知函数恰有五个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）下列命题正确的个数为（

）（1）函数在定义域内单调递增；（2）函