高二【数学(人教A版)】椭圆应用(2)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA037学科数学年级高二学期第一学期课题椭圆应用（2）教科书书名：高中数学人教A版选择性必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学人员姓名单位授课教师姚未然北京市一七一中学教育集团指导教师雷晓莉东城区教师研修中心教学目标（一）教学内容椭圆标准方程及其简单几何性质的综合运用．（二）教学目标能类比用直线的方程与圆的方程研究直线与圆的位置关系，用直线的方程与椭圆的标准方程研究直线与椭圆的位置关系，进一步体会用方程研究曲线的方法．（三）教学重点与难点重点与难点：研究直线与椭圆的关系．教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟（一）温故知新通过复习直线与圆的位置关系，以及常用的判断方法，温习已学知识，同时为后面类比提出直线与椭圆的位置关系做铺垫．教师创设问题情境，学生回忆直线与圆的位置关系相交、相切、相离，判断方法有几何方法--判断圆心距与半径关系以及联立方程求根的个数（代数方法）．几何方法：相离、相切、相交.代数方法：方程组无解相离、有唯一解相切、有两组解相交.18分钟（二）例题讲解问题1类比直线和圆，直线与椭圆有哪些位置关系？相信同学们都不能发现，直线与椭圆有三种位置关系：相离、相切、相交；与之对应，直线与椭圆的公共点个数可能是零个、一个、两个.追问1：我们能否类比圆用几何方法去研究直线与椭圆的位置关系呢？显然，由于圆的对称性，可以通过圆心距与半径关系来研究，但椭圆不具备这么好的几何性质，因此，我们要选择代数方法来研究它们之间的位置关系.例如图，已知直线：4x－5y＋m＝0和椭圆C：.m为何值时，直线与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？（4）m＝0时，直线与椭圆相交于A，B两点，求线段AB的长．问题2如何判断直线与椭圆的公共点个数？直线l与椭圆C的公共点的个数与方程组解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答．解：由方程组先将直线和椭圆方程变形，得消去y，得25x2＋8mx＋m2－225＝0.①方程①的根的判别式Δ＝64m2－4×25×（m2－225）＝36×（252-m2）.由Δ＝0，得m1＝25，m2＝－25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．由Δ>0，得-25<m<25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．由Δ<0，得m<－25，或m>25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．问题3m＝0时，直线与椭圆相交于A，B两点，如何求线段AB的长？解：设直线上两点，m＝0时，直线的方程为4x－5y＝0，我们把它与椭圆的方程联立，由方程组解之得解得点A，B两点坐标分别为（3，2.4）和（-3，-2.4），我们可以用到两点的距离公式：．问题4除了用两点间距离公式，同学们还有没有其他方法来求解线段AB的长呢？注意到A，B两点都在直线上，因此我们可以利用与之间关系，使得要研究4个未知量的问题转化为两个未知量的问题，基于上述分析这个问题我们还可以这样求解：追问：推导这里，同学们发现了什么呢？相信大家都发现了弦长与我们熟悉的韦达定理有关，进一步地用一般的形式来推导消去y得，当时，由韦达定理可得这样可以不用求出具体的两个点坐标，即可得到弦长的表达式：借助这个推导结果，我们可以得到线段AB的长：．师生活动：类比直线和圆的位置关系，理解直线与椭圆的三种位置关系．先通过学生独立思考、生生讨论、师生交流，明确解题的思路与方法，然后师生一起解决问题，最后比较研究直线和椭圆的关系与研究直线和圆的关系方法的异同．设计意图：使学生更好地掌握通过方程研究曲线问题的基本思路与方法．3分钟（三）总结提升1.直线与椭圆的位置关系及判定方法：通过联立直线与椭圆的方程，判断解的个数来研究它们之间的位置关系.2.直线与椭圆相交时，两交点之间的距离：弦长公式|AB|=3分钟（四）布置作业1.经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，求AB的长．2.已知椭圆，直线：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点：（1）它到直线的距离最小？最小距离是多少？（2）它到直线的