2024-2025学年陕西省汉中市汉台区高二上册月考三数学检测试题（附解析）

2024-2025学年陕西省汉中市汉台区高二上学期第三次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．抛物线的准线方程是（）A． B．C． D．2．已知数列满足，则（）A．2 B． C． D．20243．已知空间向量，若，则实数的值为（）A． B． C． D．4．已知四面体中，为中点，若，则（

）A．3 B．2 C． D．5．设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．6．已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．7．19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有两个公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点．若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（

）A．的周长为B．存在点，使得C．若，则的面积为D．使得为等腰三角形的点共有4个10．设直线的交点为，则（）A．恒过定点0,2B．C．的最大值为D．点到直线的距离的最大值为511．已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（）A．直线与直线的夹角为B．直线与平面所成角的正弦值为C．点到平面的距离为D．三棱锥的外接球的半径为三、填空题（本大题共3小题）12．设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，抛物线上的点与点的距离为3，则抛物线方程为．13．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为．14．在数列中，，且，则．四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上．(1)求；(2)求数列的通项公式．16．已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长；(3)过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程.17．已知是等差数列的前n项和，且，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前100项和.18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，是的中点，作交于点.(1)求证：平面；(2)求的长；(3)求平面与平面夹角的余弦值.19．双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线过双曲线的右焦点，交双曲线于，两点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．

答案1．【正确答案】C【详解】由可得，故，且开口向下，故抛物线的准线方程是.故选：C.2．【正确答案】B【详解】由，可得，同理可得，所以数列是周期为3的数列，则.故选：B.3．【正确答案】A【详解】因为，所以，又，所以，解得，故选：A.4．【正确答案】D【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：，因为，所以，解得.故选：D.5．【正确答案】B【详解】时，倾斜角的范围是，当时，倾斜角的范围是，综上，倾斜角范围是．故选：B．6．【正确答案】C【详解】由已知得，又，，可得.则双曲线C的方程为.设，，则两式相减得，即.又因为点P恰好是弦的中点，所以，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.经检验满足题意故选：C7．【正确答案】C【详解】根据题意，椭圆的蒙日圆方程为，圆心为，半径为2，因为圆与只有两个交点，即两圆相交，，解得.所以的取值范围为.故选：C.8．【正确答案】C【详解】如图，由已知可得，，由椭圆定义可知，，所以，因为，所以，所以，所以或（舍去）.故选：C.9．【正确答案】AB【详解】对于，由题意，，，故周长为，所以A正确；对于B，当点位于上下顶点时，为直角，所以B正确.对于C，当时，如图：设，，则.所以，所以C错误；对于D，若是以为顶点的等腰三角形，点位于上下顶点；若是以为顶点的等腰三角形，则，此时满足条件的点有两个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有两个；故使得为等腰三角形的点共六个，所以D错误.故选：AB10．【正确答案】ABD【详解】对于选项A，因为直线，即，令，解得，所以恒过定点0,2，故A正确；对于选项B，因为直线满足，所以，故B正确；对于选项C，联立两直线方程，解得，所以，则，令，则，所以，且在上单调递增，当时，，所以，故C错误；对于选项D，由A可知，直线恒过定点0,2，则点到直线的距离的最大值即为点到定点0,2的距离，即，故D正确；故选：ABD11．【正确答案】ABD【详解】对于A，由点分别是棱的中点，所以，所以与的夹角为与的夹角即为正三角形，，故A正确；对于B，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设直线与平面所成的角为，则，与平面所成角的正弦值为，故B正确；对于C，，设平面的法向量不放设，则设点到平面的距离为，则，故C错误；对于D，的外接圆是以为直径的圆，设圆心为则，易得，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，故D正确；故选：ABD.12．【正确答案】．【详解】试题分析：由题意可知抛物线开口向右，设抛物线方程为，其焦点，准线．由抛物线的定义可知，解得．所以此抛物线方程为．考点：抛物线的定义，方程．13．【正确答案】作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.【详解】对于双曲线，则，，，如下图所示：设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则，所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为.关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.14．【正确答案】【详解】因为，所以，又，即为常数数列，所以，则，则.故15．【正确答案】(1)，，，(2)【详解】（1）由点均在函数的图象上，可得，则，，，.（2）由点均在函数的图象上，可得，当时，可得；当时，，经检验，当时不成立，所以数列的通项公式为.16．【正确答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题干条件求出即可得到椭圆标准方程；（2）联立直线和椭圆方程，直接利用弦长公式进行求解；（3）联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解.【详解】（1）依题意，，则，由为正三角形，则，故，于是，故椭圆的标准方程为：；（2）由（1）知，，故该直线为：，和椭圆联立：，整理可得，故，由弦长公式，（3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，），设直线为：，和椭圆方程联立得，，，则，故，由韦达定理可得：，，于是，，故，即，化简可得，解得，故直线为：17．【正确答案】(1)(2)200【详解】（1）设公差为d，结合题设有，解得，则故的通项公式为.（2），所以.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.由题意知：，，，则，.又平面，平面.（2）由题意知：，.设，则.，，即，展开有：，解得.故，则有；（3）由题意知：，设平面的法向量，有则，令，则，由（1）知，则平面的一个法向量为，设平面与平面所成的角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.19．【正确答案】(1)(2)存在，【详解】（1）由题意可知双曲线的渐近线方程为，因为一条渐近线的倾斜角为，所以，双曲线经过点，则，联立，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）由（