2025高考数学二轮复习-专题4 立体几何-第2讲 空间位置关系的判断与证明【课件】

第2讲空间位置关系的判断与证明专题四2025内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.直线、平面平行的判定与性质(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒β⊥α.(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.3.定义法求空间角求空间角的大小,一般是根据相关角(异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角)的定义,把空间角转化为平面角来求解.关键能力•学案突破突破点一空间线面位置关系的判断与证明命题角度1有关线面位置关系的命题的真假判断[例1-1]设α,β是空间两个不同平面,a,b,c是空间三条不同直线,下列命题为真命题的是(

)A.若α∥β,b∥α,则b∥βB.若a与b相交,a∥α,b∥β,则α与β相交C.若α⊥β,a∥α,则a⊥βD.若α⊥β,α∩β=a,b⊂α,b⊥a,c⊥β,则b∥cD解析

对于A选项,若α∥β,b∥α,则b∥β或b⊂β,故A中命题为假命题.对于B选项,若直线a与b相交,a∥α,b∥β,则α与β相交或平行,故B中命题为假命题.对于C选项,若α⊥β,a∥α,则a与β的位置关系不确定,故C中命题为假命题.对于D选项,若α⊥β,α∩β=a,b⊂α,b⊥a,则b⊥β,又c⊥β,所以b∥c,故D中命题为真命题.故选D.名师点析判断与空间位置关系有关的命题真假的3种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助反证法,当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾,进而作出判断.(3)借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行判断.对点练1(2024·天津,6)若m,n为两条直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是(

)A.若m∥α,n∥α,则m⊥nB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m∥α,n⊥α,则m⊥nD.若m∥α,n⊥α,则m与n相交C解析

对于A,B,若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A,B错误;对于C,D,若m∥α,n⊥α,则m⊥n,且m与n可能相交,也可能异面,故C正确,D错误.命题角度2空间几何体中线面位置关系的判断[例1-2](2022·全国乙,理7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(

)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1DA解析

如图,对于A,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.在正方体ABCD

-A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF⊂平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正确.对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD.假设平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1⊄平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC⊄平面B1EF,EF⊂平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,显然不成立,∴假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直.故B错误.对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,∴平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误.名师点析空间几何体中线面位置关系的判断方法(1)明确空间几何体的结构特征,明确其中已有的平行、垂直关系.(2)熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理,并能灵活运用.对点练2如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则(

)

A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1A解析

如图,连接AD1,则AD1经过点M,且M为AD1的中点.又N为BD1的中点,所以MN∥AB.又MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.易知AB不垂直于平面BDD1B1,所以MN不垂直于平面BDD1B1.在正方体ABCD

-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,∵A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.又四边形ADD1A1为正方形,∴A1D⊥AD1.又AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABD1,∴直线A1D与直线D1B垂直.易知直线A1D与直线D1B异面.故选A.突破点二空间角的定义求法[例2-1]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(

)D[例2-2](2022·全国甲,理7)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则(

)A.AB=2AD B.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC=CB1

D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°D名师点析用定义法求空间角的基本步骤(1)作:根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的定义,在空间图形中作出相应的角.(2)证:证明作出的角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角.(3)求:在三角形中,计算所作出的角,通常要用勾股定理、余弦定理等.对点练3(1)如图,圆台OO1的上底面半径为O1A1=1,下底面半径为OA=2,母线长AA1=2,过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C,则异面直线OO1与A1C所成角的大小为(

)A.30°

B.45°

C.60°

D.90°B解析

如图,在直角梯形OO1A1A中,∵B为OA的中点,OA=2,∴O1A1=OB=AB=1,连接A1B,易知四边形OO1A1B为矩形,∴OO1∥A1B,∴∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角.在Rt△AA1B中,AA1=2,AB=1,在Rt△A1BC中,∵BC=A1B,∴∠BA1C=45°.故选B.(2)(2021·山东济南二模)已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍,则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为

.

突破点三立体几何中的动态问题[例3]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下3个结论:①三棱锥D-BPC1的体积为定值;②异面直线C1P与CB1所成的角为定值;③二面角P-BC1-D的大小为定值.其中正确结论有(

)A.0个

B.1个

C.2个

D.3个D

名师点析立体几何中的动态问题及解法(1)立体几何中的动态问题主要包括空间动点轨迹的判断,求面积、体积及角的取值范围,判断位置关系等问题.(2)立体几何中的动态问题的解法:①根据已知的定义、定理、性质等推断出动点的轨迹;②注意转化法的应用;③注意动态问题中不变的量与位置关系.对点练4(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为AA1的中点,AB=4,BC=3,BB1=8,点M在面AA1B1B内运动,则下列说法正确的是(

)A.存在点M,使BM∥CPC.存在点M(异于点P),使P,M,C,D1四点共面D.若点M到面ABCD的距离与它到点A1的距离相等,则点M的轨迹是抛物线的一部分BCD解析

对于A,假设存在点M,使BM∥CP,因为BM⊂平面ABB1A1,CP⊄平面ABB1A1,所以CP∥平面ABB1A1,与CP∩平面ABB1A1=P矛盾,所以A错误.对于B,如图,连接AC,因为AB=4,BC=3,AB⊥BC,所以AC=5.因为P为AA1的中点,AA1=BB1=8,所以PA=4,所以B正确.对于C,如图,取AB的中点N,连接PN,A1