高考数学模拟大题规范训练(2)含答案及解析

高三数学大题规范训练（2）15.如图，四面体中，是的中点，，（1）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；（2）求点E到平面ACD的距离.16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的最小值．17.11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．（1）若每局比赛甲获胜概率，求该场比赛甲获胜的概率.（2）已知第一局目前比分为10∶10，求（ⅰ）再打两个球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率；18.如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线C的方程；（2）斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为0,2，若，求的范围.19.定义1进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式．如．定义2三角形数：形如，即的数叫做三角形数．（1）若是三角形数，试写出一个满足条件的的值；（2）若是完全平方数，求的值；（3）已知，设数列的前项和为，证明：当时，．

高三数学大题规范训练（2）15.如图，四面体中，是的中点，，（1）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；（2）求点E到平面ACD的距离.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；（2）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知，则直线OE与EM所成的角就是异面直线AB与CD所成的角，在中，，因为是直角斜边AC上的中线，则，可得，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.【小问2详解】设点E到平面ACD的距离为因为，即，在中，，可得，且，可得，所以点E到平面ACD的距离为16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的最小值．【答案】（1）答案见详解（2）【解答】【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【小问1详解】（），当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；当时，，；，，从而在上递增，在递减；综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，若，，所以恒成立，当时，，当时，，可知在内单调递增，在内单调递减，所以，解得：，可知的最小值为；若，，所以恒成立，当时，，当时，，可知在内单调递减，在内单调递增，所以在内无最大值，且当趋近于时，趋近于，不合题意；综上所述：的最小值为.17.11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．（1）若每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.（2）已知第一局目前比分为10∶10，求（ⅰ）再打两个球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率；【答案】（1）（2）（ⅰ）分布列见详解，；（ⅱ）【解答】【分析】（1）由五局三胜制的规则，可知的所有可能取值为，求出对应概率相加即可求得甲获胜的概率为；（2）（ⅰ）易知的所有可能取值为，根据条件概率公式可求得对应概率取值可得分布列和均值；（ⅱ）根据获胜规则求出第一局比赛甲获胜概率的表达式，解得.【小问1详解】因为甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立，所以的所有可能取值为，可得；故该场比赛甲获胜的概率P=PY=3【小问2详解】（ⅰ）依题意，的所有可能取值为设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，所以P(X=0)=P(A)⋅P(X=0|A)+P(AP(X=2)=P(A)⋅P(X=2|A)+P(A所以的分布列为012故的均值为EX=0×（ⅱ）设第一局比赛甲获胜事件，则PB|X=0=0,PB|X=1由（ⅰ）知，PX=0由全概率公式，得P解得PB=218.如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线C的方程；（2）斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为0,2，若，求的范围.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根据题意，得到笔尖留下的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，结合抛物线的定义，即可求得其轨迹方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，结合共线向量的坐标表示，得到，列出函数关系式，结合二次函数的性质得出不等式，即可求解.【小问1详解】由题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，所以笔尖留下的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，因为，，且，可得，由，可得点的横坐标为，又由抛物线的准线方程为，则，解得，所以曲线的轨迹方程为.【小问2详解】假设存在，使得，设，直线的方程为，联立方程组，整理得，且，则，则，可得，由，可得，即，所以，令，则，所以，且，即，解得或，所以存在，使得成立.【小结】方法小结：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.定义1进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式．如．定义2三角形数：形如，即的数叫做三角形数．（1）若是三角形数，试写出一个满足条件的的值；（2）若是完全平方数，求的值；（3）已知，设数列的前项和为，证明：当时，．【答案】（1）（2）（3）证明见解答【解答】【分析】（1）根据9进制的概念，先计算，然后把因数分解成的形式，观察可得的值.（2）