高考数学模拟大题规范训练(26)含答案及解析

高三数学大题规范训练（26）15.已知函数.（1）若，求的极小值；（2）若是单调函数，求的取值范围.16.设数列前项的和为.（1）若是公差为的等差数列，且成等比数列，求；（2）若，求证：.17.某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品”（1）从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率；（2）从一箱产品中任取3件，记“一等品”件数为，求的分布列与数学期望.18.如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为.（1）求证：为的中点；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于.（1）求的方程；（2）设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左､右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：.

高三数学大题规范训练（26）15.已知函数.（1）若，求的极小值；（2）若是单调函数，求取值范围.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）求导后，借助导数可得其单调性，即可得其极小值；（2）求出导数后，分是单调递增函数与单调递减函数讨论即可得.【小问1详解】当时，，，令，由，则，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，故的极小值为；【小问2详解】，若在上单调递增，则恒成立，即对恒成立，则恒成立，又，故，若在上单调递减，则恒成立，即对恒成立，则恒成立，故，综上所述，的取值范围为.16.设数列的前项的和为.（1）若是公差为的等差数列，且成等比数列，求；（2）若，求证：.【答案】（1）或（2）证明见解答【解答】【分析】（1）由等差数列前n项和公式以及等比中项公式列出等量关系式并转化成首项和公差来表示即可求解.（2）先由，进而由累乘法结合求出即可由得解.【小问1详解】由题意知，故，解得，所以或.【小问2详解】因为①，所以②，所以由②①得，，所以时，，所以由得，所以，显然也符合上式，所以，所以.17.某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品”（1）从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率；（2）从一箱产品中任取3件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解答，数学期望【解答】【分析】（1）利用正态分布、条件概率公式计算可得答案；（2）求出的所有可能取值及相应的概率，利用期望公式可得答案.【小问1详解】，记事件为该产品为合格品，事件为该产品是一等品，，该产品是一等品的概率为；【小问2详解】的所有可能取值为，，，的分布列如下：0123的数学期望，或由的二项分布.18.如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为.（1）求证：为的中点；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）过作于点，利用面面垂直的性质定理得平面，值域线面垂直的判定定理性质定理可得答案；（2）设，利用求出，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.小问1详解】过作于点，由平面平面，平面平面平面，平面，又底面平面，，平面，所以底面平面，，又为的中点；【小问2详解】设，，，如图建系，，，设平面的一个法向量n=x,y,z，令，得，所以，设直线与平面所成角为，.19.已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于.（1）求的方程；（2）设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左､右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：.【答案】（1）（2）证明见详解【解答】【分析】（1）设，根据等轴双曲线概念得，利用点到直线的距离公式即可求解.（2）设，再由坐标得到直线的方程，继而可得坐标，设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得坐标，继而可得，即，即，即可求证.【小问1详解】设，为等轴双曲线上一点，，双曲线渐近线为，，，的方程为.【小问2详解】设，直线方程为，直线的方程为，，设过且与双曲线相切的直线为，联立，得，，即，设直线的斜率分别为，则，方程，，同理方程，，，，，，，.【小结