2025届高考数学二轮专题复习与测试专题2立体几何中的证明与计算课件

微专题2立体几何中的证明与计算大题考法1

PART01第一部分大题考法1平行、垂直关系的证明

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，BC⊥平面PAB，∠APB＝90°，PB＝BC，N为PC的中点．(1)若M为AB的中点，求证：MN∥平面APD；【证明】设AC∩BD＝G，连接NG，MG，因为底面ABCD为矩形，所以G是AC，BD的中点，又因为N为PC的中点，M为AB的中点，所以NG∥PA，MG∥AD.因为NG⊄平面APD，PA⊂平面APD，MG⊄平面APD，AD⊂平面APD，所以NG∥平面APD，MG∥平面APD.因为NG∩MG＝G，NG，MG⊂平面MNG，所以平面MNG∥平面APD.又因为MN⊂平面MNG，所以MN∥平面APD.(2)求证：平面BDN⊥平面PAC.【证明】因为BC⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以BC⊥PA，因为∠APB＝90°，所以BP⊥PA.因为BC∩BP＝B，BC，BP⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC.因为BN⊂平面PBC，所以BN⊥PA.因为PB＝BC，N为PC的中点，所以BN⊥PC.因为PC∩PA＝P，PC，PA⊂平面PAC，所以BN⊥平面PAC.又因为BN⊂平面BDN，所以平面BDN⊥平面PAC.平行关系及垂直关系的转化如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥DC，CB＝DC＝1.点E为棱PC的中点，点F为棱AB上一点，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD.证明：(1)AC⊥平面PBC；得∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面PBC.(2)EF∥平面PAD.大题考法2PART02第二部分(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；【解】证明：由于PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.因为AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，所以BC∥AD，因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.利用空间向量解答立体几何中空间角的问题的一般步骤是：(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系．(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量、平面的法向量．(3)将空间位置关系转化为向量关系．(4)根据定理、结论求出相应的角．(2024·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2.(1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD；(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．解：因为AB⊥平面PAD，PE⊂平面PAD，所以AB⊥PE，又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，PE两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，PE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，命题角度❷求距离

(2024·天津卷)如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．(1)求证D1N∥平面CB1M；(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；(3)求点B到平面CB1M的距离．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB＝BC＝BB1＝1.(1)求证：AC∥平面BA1C1；解：证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.因为AC⊄平面BA1C1，A1C1⊂平面BA1C1，所以AC∥平面BA1C1.(2)若AB⊥BC，求：①AA1与平面BA1C1所成角的正弦值；②直线AC到平面BA1C1的距离．解：因为BB1⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC，又AB⊥BC，所以AB，BC，BB1两两互相垂直．如图，以B为坐标原点，BA，BB1，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B1(0，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，1，0)，大题考法3PART03第三部分(1)证明：EF⊥PD；(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．(1)破解平面图形折叠问题的解题步骤：①看定与变：弄清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．②双图并用：在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．③用公式：利用两向量的夹角公式，点到面的距离公式等进行求解．④下结论：得出正确的结论．(2)破解空间中的探索性问题的解题步骤：①观图巧证明：找出点或线的位置关系，并用向量表示出来，然后加以证明．②假设存在：假设所求的点或参数存在．③构建方程(组)：利用参数表示相关的点，根据线、面满足的垂直、平行或角的关系，构建方程(组)求解．④得出结论：若能求出参数的值且符合限定的范围，则说明假设成立，即存在，否则不存在．解：证明：连接BD，记AC∩BD＝O，连接OP，由四边