2025年教科新版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年教科新版高一数学上册月考试卷47考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、函数f（x）＝x∈{1,2,3}，则f（x）的值域是（）A.[0，＋∞）B.[1，＋∞）C.{1，}D.R2、通过下列程序：若输入a=333，k=5，则输出的b为（）

A.2313（5）

B.3132（5）

C.93（5）

D.93（10）

3、若函数f（x）=-x2+2ax与g（x）=log（1-a2）（2x-1）在区间[1；2]上都是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.（-1；0）∪（0，1）

B.（-1；0）∪（0，1]

C.（0；1）

D.（0；1]

4、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就匀速跑步，等跑累了再匀速走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）（A）（B）（C）(D)5、【题文】设函数的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，则（）A.B.C.Ａ＝ＢD.A⊆B6、已知且与垂直，则实数λ的值为（）A.B.C.D.17、根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是(

)

A.a=8b=16A=30鈭�

有两解B.b=18c=20B=60鈭�

有一解C.a=5c=2A=90鈭�

无解D.a=30b=25A=150鈭�

有一解评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边且a=5，b=12，c=13，点I是△ABC的内心，若则λ=____．9、已知则f（x）=____．10、函数的定义域是___________11、【题文】方程表示一个圆，则的取值范围是____.12、【题文】函数

则f(2012)=____13、若xlog23=1，则3x+9x的值为____14、已知直线l过点A（0，2）和B（-3m2+12m+13）（m∈R），则直线l的倾斜角的取值范围为______．评卷人得分三、计算题(共9题，共18分)15、x，y，z为正实数，且满足xyz=1，x+=5，y+=29，则z+的值为____．16、（2008•宁波校级自主招生）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=15°，且AE=AD，则∠CDE=____°．17、分解因式：（1-x2）（1-y2）-4xy=____．18、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1的切线交⊙O2于E，连接EB并延长交⊙O1于C，直线CA交⊙O2于点D．

（1）当A；D不重合时；求证：AE=DE

（2）当D与A重合时，且BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．19、已知扇形的圆心角为150°，半径为2cm，扇形的面积是____cm2．20、写出不等式组的整数解是____．21、已知x，y，z为实数，满足，那么x2+y2+z2的最小值是____22、已知关于x的方程|x|=ax-a有正根且没有负根，求a的取值范围．23、计算：（2）﹣（﹣2016）0﹣（）+（）﹣2．评卷人得分四、解答题(共4题，共24分)24、已知函数

（1）求f（x）的最小正周期．

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b；c，且f（C）=1，c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．

25、【题文】如图，直四棱柱中，E为CD上一点，

（1）证明：BE⊥平面

（2）求点到平面的距离。26、【题文】已知集合表示和中所有不同值的个数.

（I）已知集合

（II）若集合

（III）求的最小值.27、设偶函数f(x)=cos(娄脨蠅x鈭�娄脮)

其中娄脴>00鈮�娄脮<2娄脨

．

(1)

求娄脮

的值；

(2)

若函数f(x)

在(0,3)

上单调递减；当娄脴

取得最小值时，求f(1)+f(2)++f(2017)

的值；

(3)

在(2)

的条件下，若g(x)=鈭�2f2(x鈭�32)鈭�f(x+32)

且对任意的x1x2隆脢[鈭�32蟺,112蟺]8|g(x1)鈭�g(x2)|鈮�3m+3

恒成立，求m

的取值范围．评卷人得分五、证明题(共3题，共18分)28、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．29、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．30、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分六、综合题(共4题，共32分)31、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．32、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．33、如图，矩形ABCD中，AD＜AB，P、Q分别为AD、BC的中点．N为DC上的一点，△AND沿直线AN对折点D恰好与PQ上的M点重合．若AD、AB分别为方程x2-6x+8=0的两根．

（1）求△AMN的外接圆的直径；

（2）四边形ADNM有内切圆吗？有则求出内切圆的面积，没有请说明理由．34、已知直线l1：x-y+2=0；l2：x+y-4=0，两条直线的交点为A，点B在l1上，点C在l2上，且，当B，C变化时，求过A，B，C三点的动圆形成的区域的面积大小为____．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】试题分析：根据函数的概念，一个自变量有唯一的函数值与其对应，又所以f（x）的值域{1，}。考点：函数的概念及值域的求法。【解析】【答案】C2、A【分析】

此程序功能是一个将十进制数333转化为五进制数；由进位制转化规则得。

由图；因为333÷5得商是66，余数是3

66÷5得商是13；余数是1

13÷5得商是2；余数是3

2÷5得商是0；余数2

故累加变量b=3×10+1×101+3×102+2×103=2313（5）

即所得的五进制数是2313（5）

故选A．

【解析】【答案】从程序运行过程知，此运算是第一次循环，求出数a除以k的余数，用余数乘以10i加到累积变量b中，第二次循环求出a除以k的商除以数k的余数，以该余数乘以10i；将运算的结果加到累加变量中去，以此类推，一直执行到商为0时退出循环体．输出累加变量的值．此为除5取余法进行进位制的转换．

3、A【分析】

∵f（x）=-x2+2ax的图象是开口朝下；以x=a为对称轴的抛物线；

f（x）=-x2+2ax在区间[1；2]上是减函数，∴a≤1①；

因为g（x）=log（1-a2）（2x-1）在区间[1；2]上是减函数，t=2x-1单调递增；

所以y=单调递减；且t=2x-1＞0在[1，2]上恒成立；

故有解得-1＜a＜0或0＜a＜1②；

综①②；得-1＜a＜0或0＜a＜1，即实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．

故选A．

【解析】【答案】f（x）=-x2+2ax在区间[1；2]上是减函数，得[1，2]为其减区间的子集，从而得a的一个限制条件；

g（x）=log（1-a2）（2x-1）在区间[1，2]上是减函数，t=2x-1单调递增，根据复合函数单调性的判定方法，知y=单调递减；且t=2x-1＞0在[1，2]上恒成立；

由此得a的另一限制条件；取其交集即可．

4、D【分析】因为根据题意：某学生开始时匀速跑步前进，再匀速步行余下的路程；路程逐步减少为0．故路程s先快速减小，再较慢减小，最后为0．分析可得答案为D．故选D【解析】【答案】D5、D【分析】【解析】

试题分析：A,B分别表示方程f(x)="x,"f(f(x))=x的解构成的集合。

令f(x)=x,则有集合A,B中均有无数多元素，C对；

令f(x)=则C对；

令f(x)=-x+1，则有所以A对；

综上所述；A⊆B，应选D。

考点：本题主要考查函数的概念；集合的概念及运算。

点评：简单题，抽象函数问题，可借助于“特殊方法”，定义符合条件的f(x)进行验证，以作出判断。【解析】【答案】D6、C【分析】解：因为所以

又且与垂直；

所以=

=12λ-18=0；

所以．

故选C．

由所以然后根据与垂直；展开后由其数量积等于0可求解λ的值．

本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了计算能力，是基础题．【解析】【答案】C7、D【分析】解：A

项中sinB=ba?sinA=1

隆脿B=娄脨2

故三角形一个解，A

项说法错误．

B

项中sinC=cbsinB=539

隆脽0<C<娄脨

故C有锐角和钝角两种解．

C

项中b=25鈭�4=21

故有解．

D

项中sinB=ba?sinA=512隆脽A=150鈭�

隆脿B

一定为锐角；有一个解．

故选：D

．

利用正弦定理分别对ABCD

选项进行验证．

本题主要考查了正弦定理的应用.

对三角形中角的正弦的值，一定对角进行讨论．【解析】D

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】

如图所示，

C（0；0），A（12，0），B（0，5）．

∴．

∴=∴=（）．

设内切圆的半径为r，则=2；∴I（2，2）．

∴．

∵∴解得．

故答案为．

【解析】【答案】通过建立直角坐标系，设内切圆的半径为r，可得即可得到点I的坐标；利用向量的有关计算即可得出．

9、略

【分析】

∵

设t≥-1；

则x=（t+1）2；

∴f（t）=（t+1）2-1=t2+2t；t≥-1．

∴f（x）=f（x）=x2+2x（x≥-1）．

故答案为：x2+2x（x≥-1）．

【解析】【答案】由设t≥-1，则x=（t+1）2；由此能求出f（x）．

10、略

【分析】【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：解（一）因为方程可化为所以要使能表示一个圆.则故填解（二）根据圆的一般式的条件可知故填

考点：1.圆的一般方程.2.圆的标准方程.3.含参的方程成为圆的方程的条件.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】-213、6【分析】【解答】解：∵xlog23=1，∴x=log32．

∴3x==2；

9x=（3x）2=4．

则3x+9x=2+4=6．

故答案为：6．

【分析】xlog23=1，可得x=log32．再利用对数恒等式与指数幂的运算性质即可得出．14、略

【分析】解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．

则tanθ==（m+2）2+．

∴θ∈[0°，30°]∪（90°，180°）．

故答案为：[0°，30°]∪（90°，180°）．

设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．可得tanθ==（m+2）2+．即可得出．

本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、三角函数求值、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】[0°，30°]∪（90°，180°）三、计算题(共9题，共18分)15、略

【分析】【分析】由于（x+）（y+）（z+）=（x+y+z）+xyz++（++）=2+（x+）+（y+）+（z+），然后利用已知条件即可求解．【解析】【解答】解：（x+）（y+）（z+）

=（x+y+z）+xyz++（++）

=2+（x+）+（y+）+（z+）；

∴5×29×（z+）=36+（z+）；

即z+=．

故答案为：．16、略

【分析】【分析】根据等腰三角形性质推出∠1=∠2，∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠1+∠3=∠B+15°，∠2=∠C+∠3，推出2∠3=15°即可．【解析】【解答】解：∵AD=AE，AC=AB，

∴∠1=∠2；∠B=∠C；

∵∠1+∠3=∠B+∠BAD=∠B+15°；

∠2=∠1=∠C+∠3；

∴∠C+∠3+∠3=∠B+15°；

2∠3=15°；

∴∠3=7.5°；

即∠CDE=7.5°；

故答案为：7.5°．17、略

【分析】【分析】首先求出（1-x2）（1-y2）结果为1-x2-y2+x2y2，然后变为1-2xy+x2y2-x2-y2-2xy，接着利用完全平方公式分解因式即可求解．【解析】【解答】解：（1-x2）（1-y2）-4xy

=1-x2-y2+x2y2-4xy

=1-2xy+x2y2-x2-y2-2xy

=（xy-1）2-（x+y）2

=（xy-1+x+y）（xy-1-x-y）．

故答案为：（xy-1+x+y）（xy-1-x-y）．18、略

【分析】【分析】（1）通过证角相等来证边相等．连接AB，那么ABED就是圆O2的内接四边形，根据内接四边形的性质，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得证，我们发现∠EAD的对顶角正好是圆O1的弦切角；因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根据等角对等边也就得出本题要求的结论了；

（2）DA重合时，CA与圆O2只有一个交点，即相切．那么CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径（和切线垂直弦必过圆心），根据切割线定理AC2=CB•CE，即可得出AC=4，即圆O1的直径是4．【解析】【解答】解：（1）证明：连接AB，在EA的延长线上取一点F，作⊙O1的直径AM；连接CM；

则∠ACM=90°；

∴∠M+∠CAM=90°；

∵AE切⊙O1于A；

∴∠FAM=∠EAM=90°；

∴∠FAC+∠CAM=90°；

∴∠FAC=∠M=∠ABC，

即∠FAC=∠ABC；

∵∠FAC=∠DAE；

∴∠ABC=∠DAE；

而∠ABC是⊙O2的内接四边形ABED的外角；

∴∠ABC=∠D；

∴∠DAE=∠D；

∴EA=ED．

（2）当D与A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点；

∴直线AC与⊙O2相切；

∴CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径；

∴由切割线定理得：AC2=BC•CE；

∴AC=4．

答：⊙O1直径是4．19、略

【分析】【分析】根据扇形的面积=，直接进行计算即可解答．【解析】【解答】解：根据扇形的面积公式；得

S扇==π（cm2）．

故答案为．20、略

【分析】【分析】先解两个不等式，再求不等式组的解集，从而得出正整数解．【解析】【解答】解：；

解①得；x≤1；

解②得；x＞-2；

不等式组的解集为-2＜x≤1；

∴不等式组的整数解为-1；0，1．

故答案为-1，0，1．21、略

【分析】【分析】通过方程组进行消元，让yz都用含x的代数式表示，再代入x2+y2+z2，根据二次函数的最值问题得出答案即可．【解析】【解答】解：；

①×2+②；得x+y=5，则y=5-x③；

①+2×②；得x+z=4，则z=4-x④；

把③④代入x2+y2+z2得；

x2+（5-x）2+（4-x）2

=3x2-18x+41

=3（x-3）2+14；

∴x2+y2+z2的最小值是14；

故答案为14．22、略

【分析】【分析】根据绝对值的性质和方程|x|=ax-a有正根且没有负根，确定a的取值范围．【解析】【解答】解：∵关于x的方程|x|=ax-a有正根且没有负根；

∴x＞0；则x=ax-a；

∴x=．

∴＞0

解得，a＞1．23、解：==【分析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．四、解答题(共4题，共24分)24、略

【分析】

=cos-cos2x+sin2x

=2sin（2x-）；

（1）∵ω=2，∴T==π；

（2）由f（C）=2sin（2C-）=1；且C为锐角；

∴C=

又sinB=2sinA，根据正弦定理得：b=2a；又c=2；

根据余弦定理c2=a2+b2-2ab•cosC得：a2=

则△ABC的面积S=ab•sinC=a2=．

【解析】【答案】把函数解析式第一项利用积化和差公式化简后；提取2，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数；

（1）找出解析式中ω的值，代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期；

（2）由f（C）=1，把x=C代入函数解析式，根据C为锐角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，同时利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，再由c及cosC的值，利用余弦定理求出a2的值，最后由a，b及sinC的值表示出三角形ABC的面积，把求出a2的值代入即可求出三角形的面积S．

25、略

【分析】【解析】（1）在直角梯形ABCD中；

分别在直角三角形中得。

考点：该题主要考查空间平行关系和垂直关系的概念、定理、点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、逻辑思维能力和计算能力.【解析】【答案】（1）见解析（2）26、略

【分析】【解析】（I）由2+4=6；2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14；

得

由2+4=6；2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24；

得4分。

（II）证明：因为

因此9分。

（III）解：不妨设可得。

故对这样的集合【解析】【答案】（I）（II）见解析（III）2n-327、略

【分析】

(1)

利用三角函数的奇偶性；求得娄脮

的值，可得函数的解析式．

(2)

利用余弦函数的周期性；可得f(x)

的周期性，从而求得f(1)+f(2)++f(2017)

的值．

(2)

正弦函数的定义域和值域求得f(x)

的值域，利用二次函数的性质，求得g(x)

的最大值，再根据此最大值小于或等于3m+3

求得m

的范围．

本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，二次函数的性质，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．【解析】解：(1)隆脽

偶函数f(x)=cos(娄脨蠅x鈭�娄脮)

其中娄脴>00鈮�娄脮<2娄脨隆脿娄脮=娄脨

．

(2)

由(1)

可得f(x)=鈭�cos(娄脨蠅x)

函数f(x)

在(0,3)

上单调递减；

隆脿娄脨蠅鈰�3鈮�娄脨

求得娄脴鈮�3

故娄脴

的最小值为3

此时，f(x)=鈭�cos(娄脨3x)

的最小正周期为2娄脨娄脨3=6

且f(1)+f(2)++f(6)=鈭�12+(12)+1+(12)+(鈭�12)+(鈭�1)=0

f(1)+f(2)++f(2017)=336?[f(1)+f(2)++f(6)]+f(2017)

=336?0+f(1)=鈭�12

．

(3)

在(2)

的条件下，g(x)=鈭�2f2(x鈭�32)鈭�f(x+32)=鈭�2?cos2[娄脨3(x鈭�32)]+cos娄脨3(x+32)

=鈭�2sin2娄脨3x鈭�sin娄脨3x

隆脽

对任意的x1,x2隆脢[鈭�32蟺,112蟺]隆脿娄脨3x1娄脨3x2隆脢[鈭�12,116]

隆脿sin娄脨3x隆脢[鈭�sin12,1]

故g(x)=鈭�2sin2娄脨3x鈭�sin娄脨3x=鈭�2(sin娄脨3x+14)2+18

当sin娄脨3x=鈭�14

时，g(x)

取得最大值为18

当sin娄脨3x=1

时；g(x)

取得最小值为鈭�3

．

再根据8|g(x1)鈭�g(x2)|鈮�3m+3

恒成立，可得|g(x1)鈭�g(x2)|

的最大值为18+3=258

故有8?258鈮�3m+3

求得m鈮�2233

．五、证明题(共3题，共18分)28、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．29、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．30、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．六、综合题(共4题，共32分)31、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=；故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．【解析】【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h；

∴=，=；

又∵点D为边AB的黄金分割点；

∴=；

∴=；

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE；

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等；

∴S△DEC=S△FCE；

设直线EF与CD交于点G；

∴S△DEG=S△FCG；

∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF；

S△BDC=S四边形BEFC；．

又∵=；

∴=；

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．32、略

【分析】【分析】（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．

（2