高考数学导数题型归纳文科

2、不等式恒成立常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值——用分离变量时要特别注意是否需分类讨论

（＞0,=0,＜0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）——（已知谁的范围就把谁作

为主元）；

（请同学们参看2010省统测2）

例1：设函数y=/（x）在区间D上的导数为r（x）,r（x）在区间D上的导数为#（x）,

若在区间D上，g（x）＜。恒成立，则称函数y=在区间D上为“凸函数”，已知实

Mr曰W/r.XIYIX3x-

数m是常数，f（x）=-...—

（1）若y=/（x）在区间［0,3］上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足帆42的任何一个实数加，函数/（%）在区间①力）上都为“凸函数”，

求〃的最大值.

例2：设函数/*）=」丁+2々一3办+优0＜。＜］/£氏）

（I）求函数f（分的单调区间和极值；

（II）若对任意的工£［〃+1,〃+2］,不等式/（刈〈〃恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

第三种：构造函数求最值

题型特征：/（%）＞80）恒成立=〃（幻=/3-8。）＞0恒成立；从而转化为第一、二

种题型

例3；已知函数/（幻=V+〃2图象上一点pg）处的切线斜率为-3,

（I）求他人的值；

（II）当xe［-l,4］时,求“X）的值域；

（m）当代［1,4］时,不等式f（x）«g（%）恒成立,求实数t的取值范围。

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1:转化为或在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2:利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让

所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚

两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知QWR,函数/（%）=、/+£^1/+（4〃+I».

（I）如果函数或%）=（*）是偶函数，求的极大值和极小值；

（II）如果函数/（X）是（-8,+8）上的单调函数，求。的取值范围.

例5、已知函数/。）」“3+2.（2-4）/+（1_03之0）.

32

（1）求的单调区间；

(II)若/(X)在［o,1］上单调递增，求a的取值范围。子集思想

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)(或与X轴)的交点=====即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的

大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小

值与0的关系；

第三步：解不等式(组)即可；

例6、已知函数/⑴=/一出了一,g(%)=g_履，且/(工)在区间(2,+8)上为增函数.

(1)求实数Z的取值范围；

(2)若函数/(%)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数攵的取值范围.

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数f(x)=ax3+—x2-2x+c

2

(1)若x=-l是/(/)的极值点且/(X)的图像过原点，求/⑸的极值；

(2)若g(x)=g版2一%+(在(1)的条件下，是否存在实数如使得函数或x)的图

像与函数一。)的图像恒有含工=-1的三个不同交点？若存在,求出实数〃的取值范围;

否则说明理由。

题2:切线的条数问题==以切点/为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数/。)=加+东+CR在点7处取得极小值-4,使其导数r(x)>0的

工的取值范围为(1,3),求:(1)/(x)的解析式；(2)若过点P(-l,㈤可作曲线y=f(x)

的三条切线，求实数〃?的取值范围.

题3:已知f(x)在给定区间上的极值点个数贝!］有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8、

例9、已知函数/(幻，13+夫2,(”44工0)(1)求八幻的单调区间；(2)令g*)=

-x4+f(x)(xGR)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.

4

其它例题：

1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R上的函数

f(x)=ax3-2ax2+/?>0)在区间上的最大值是5,最小值是一11.

(I)求函数Ax)的解析式；

(II)若/时，((工)+比w0恒成立，求实数工的取值范围.

2、(根分布与线性规划例子)

2

(1)已知函数/(x)=§/+"2+bx+c

(I)若函数八元)在1=1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线

3x+y=0平行，求/*)的解析式；

(II)当/⑴在x«0,1)取得极大值且在"(1,2)取得极小值时，设点

MS-2,a十1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部

分，求直线L的方程.

解：(I).由(。)=2工2+2ar+b,函数/(无)在工=1时有极值，

/•+2=0

V/(0)=1:.c=\

又•:/*)在(。，1)处的切线与直线3x+y=0平行，

.・.广(0)=6=—3故a=-

*

♦•

21

/(x)=—x3+~x2-3x+l..................................1分

(ID解法一：Sf(x)=2x2+2ax+b及/(x)在工c(0,1)取得极大值且在xw(l,2)

取得极小值，

7X0)>0b>0

：•r⑴<。即2a+8+2<0令M(x,y),则

/⑵>04a+力+8>0

x=b-2

y=a+\

x+2>0

・・.pyT.•

2y+x+2<0故点M所在平面区域S为如图△ABC,

[b=x+2

4y+x+6>0

易得A(—2,0),B(-2,-1),C(2,-2),0(0,-1),E(0,

S^ABC=2

同时DE为AABC的中位线，3蚪=；S四边形”

:,所求一条直线L的方程为：x=o

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分，设直线

L方程为)=丘，它与AC,BC分别交于F、G,贝!Jk>0,S四边形DEGF=1

2；=2二。得点F的横坐标为:2

由xF=---------

6

由＜八得点G的横坐标为:------------

4y十；v十6—0°4左十1

[aA]9

••$四边形DEGF=S^OGE~SROFD=-x-x---------------xlx---------=1即16公+2攵-5=0

2244+122后+1

5

解得：J或k,=----(舍去)故这时直线方程为：y=^x

8

综上，所求直线方程为：x=0或

1

y=2x.12分

(II)解法二：由八幻=2尤2+2以+6及f(x)在工€(0,1)取得极大值且在XE(1,2)

取得极小值,

r(o)>ob>0

即ha+Z?+2<0令M(x,y),则一"\

・•・r(i)<o

\y=a+\

r⑵>。4〃+b+8>0

x+2>0

•a=y~1・•・，2y+x+2<0故点M所在平面区域S为如图△ABC,

b=x+2,八

[4y+x+6>0

易得A(—2,0),8(—2,-1),C(2,-2),0(0,-1),E(0,-1),5^BC=2

同时DE为aABC的中位线，SSEC=；S四边形MM・・・所求一条直线L的方程为:

另一种情况由于直线BO方程为：y=设直线B0与AC交于H,

由T

得直线L与AC交点为:

2y+x+2=0

c1101

5ADEC=2X2X2=2,

c1…1C11

SM0H=-x2xl--x2x-=-

•••所求直线方程为：…或尸为

3、(根的个数问题)已知函数f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d(a>0)的图象如图所

Zj\o

(I)求c、d的值；

(n)若函数f(x)的图象在点(2J(2))处的切线方程为

3X+y-ll=0,求函数f(x)的解析式；

(HI)若x0=5,方程f(x)=8a有三个不同的根，求实数a的

取值范围。

解：由题知：f，,(x)=3ax2+2bx+c-3a-2b

(I)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3),且广(1)=0

fd=3ft/=3

得40<=>'

3〃+2b+c—3。—2b=0[c=0

(II)依题意尸⑵=-3且F(2)=5

12。+4〃-3。-2/?=-3版殂

\解得a=1,A=-6

[8。+48-8-4〃+3=5

所以f{x}=A3-6f+9x+3

(ID)依题意f(x)=a^+b^-(3a+2b)x+3(a>0)

/z(x)=3ax+2bx-3a-2b由/r(5)=Onb=-9a①

若方程F(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)<8a<f

(1)②

由①②得-25a+3<8a<7a+3=、VaV3

所以当《VaV3时，方程F(x)=8a有三个不同的根。.......12分

4、(根的个数问题)已知函数/(x)=#_办2_工+[(4wR)

(1)若函数/(%)在x=X，x=G处取得极值，且归-到=2,求〃的值及/⑴的单

调区间;

(2)若。讨论曲线/⑴与g(x)=gf-(2〃+1)犬+?(-2。工1)的交点个数.

226

解：(1)f(x)=X2-2(1X-1

。二02分

令八幻>0得xv-1南>1

令/'(x)<0得一Ivxvl

・•・/")的单调递增区间为(-8,-1),(1,内)，单调递减区间为.......5分

2

(2)由题f(x)=g(x)得I/-AX2-x+l=—x_(2a+l)x+—

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即一/一(。+—)x2+lax+—=0

326

令9(x)=-d-(a