2024年新东方初中数学初二年级寒假第4讲 图形的平移与旋转含答案

2024年新东方初中数学初二年级寒假第4讲图形的

平移与旋转（难）含答案第4节图形的平移与旋转

目标层级图

课前检测

I.把点A（2,及）向上平移2贝个单位得到点A'坐标为（）

A.（2,-72）B.（2,V2）C.（2,-3&）D.（2,3夜）

2.如图，在中，/AC5=90°,NA=35°,将△A3C绕点。逆时针旋转a角到△

4'B'C'的位置，A'力恰好经过点B,则旋转角a的度数为.

3.下列生活现象中，属于平移现象的是（）

A.急刹车时汽车在地面滑行

B.足球在草地上跳动

C.投影片的文字经投影转换到屏幕上

D.钟摆的摆动

4.如图，。为等边三角形八BC内一点，PC=3,%=4,PB=5,求/APC的度数.

A

课中讲解

一.平移的概念与性质

平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动成为

平移.平移不改变图形的形状和大小.

平移的性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条

直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且用等，对应角相等.

A.2B.3C.4D.5

过关检测

1.已知点A的坐标为(1,3),点4向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度.则点

A的对应点的坐标为()

A.(5,3)B.(-1,-2)C.(-I,-1)D.(0,-1)

2.如图，点A、8的坐标分别为(1,2)、(4,0),将AAOB沿x轴向右平移，得到△CDE,

已知。8=1,则点C的坐标为.

三.旋转的概念与性质

旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形

运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大

小.

旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任

意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.

例1.如图，将△A8C绕点C顺时针旋转90°得到△££＞（7.若点、A,D,£在同一条直线上,

NAC8=20。，则N4OC的度数是（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

过关检测

1.如图,在RtAA8c中，ZB=90°,AB=BC=4,将AABC绕点。逆时针旋转60°，得

到△MNC,则BM的长足

B

2.如图，等腰直角三角形CDE的腰C£＞在08上，ZECD=45°,将三角形COE

绕点C逆时针旋转75°,点五的对应点N恰好落在04上，则空的值为

CD

四.旋转的作图（格点下）

例1.如图，△48C三个顶点的坐标分别为月（2,4）,8（1,1）,C（4,3）.

（1）请画出△A8C关于x轴对称的△AliG，并写出点Ai的坐标;

（2）请画出△/18c统点6逆时针旋转90"后的△八23c2；

（3）求出（2）中。点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和IT）；

（4）求M（2）△/128c2的面积是多少.

过关检测

1.如图，平面宜角坐标系中，△A8C的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位1）网格

的格点上.

（1）△ABC的形状是（直接写答案）；

（2）平移△A8C,若人对应的点4坐标为（3,-1）,画出向G；

（3）画出△ABC绕点8顺时针旋转90°的△8A2C2并求出旋转过程中△ABC扫过的面

积.（结果保留TT）

五.解密旋转全等的构造

例1.如图，E、尸分别是正方形A8CO的边8C、CD上一点,且BE+DF=EF,则/£4斤=

_______度.

D

过关检测

1.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，/XBOC是等腰三角形，且/8。。=120度.以。

为顶点作一个60°角，使其两边分别交A8于点M,交AC于点M连接MN.

(1)求证：MN=〃M+NC：

(2)求的周长为多少？

2.已知：如图，点P是等边三角形A8C内一点，％=2,尸8=G,PC=1,求N80C的度数.

A

3.(1)阅读理解

利用旋转变换解决数学问题是•种常用的方法.如图1,点尸是等边三角形A8C内一点，

网=1,PR=6,PC=2.求N8PC的度数.

为利用已知条件，不妨把ABPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C,连接尸P',则P?

的长为;

在△心P'中，易证/B4P'=90“，且/尸P'A的度数为,综上口」得N8PC的度数

为;

(2)类比迁移

如图2,点P是等腰RtZkAAC内一点，ZACfi=90°,M=2,PB=,PC=\.求/APC

的度数；

(3)拓展应用

如图3,在四边形ABC。中，BC=5,CO=8,AB=AC=-AD,ZBAC=2ZADC,请直接

2

写Hl8。的长.

六.中心对称图形及性质

概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们对称中心.如图，AABC与△A'B'C'

成中心对称，点O是它们的对称中心.

性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平方.

例1.下列美丽的图案中，是中心对称图形的个数是（）

X®80

A.1个B.2个C.3个D.4个

过关检测

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.如图，已知△A/5C和△人斤。关于点。成中心对称，则下列结论错误的是（）

A.ZABC=ZA'B'CB.ZAOB=ZA'OB'

C.AB=A'B'D.OA=OB'

学习任务

1.已知平面直角坐标系中点P（・3,4）.将它沿），轴方向向.上平移3个单位所得点的坐标

是（）

A.(-3,1)B.(-3,7)C.(0,4)D.(-6,4)

2.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

3.如图，将△ABC向右平移得到△OER已知A,D两点的距离为1,CE=2,则B/的长为

（）

C.3D.2

4.两个全等的三角尺重叠放在aACB的位置，将其中•个三角尺绕着点。按逆时针方向旋

转至4DCE的位置，使点A恰好落在边上，AB与CE相交于点F.已知NACB=NDCE

=90°,NB=30°,AB=Scnu则CF=cm.

5.如图，等腰RtZXABC中，BA=BC,N4BC=90°,点。在4c上，将△48。绕点8沿顺

时针方向旋转90°后,得到人向凡

(1)求NOCE的度数;(2)若AB=4,CD=3AD,求OE的长.

第4节图形的平移与旋转

目标层级图

*1S)可〜

的转

第一部分：首先学习了图形平移的概念，可以举一些生活中常见的例子如，坐

电梯等，让学生能够更加清楚的理解到平移现象，然后通过例子去带学生研究

出平移的性质，图形的形状和大小都不改变。

第二部分：引入平面直角坐标系下点坐标的平移，需要解释清楚上下左右平移

分别对应的坐标变化情况，同时如果是任意的移动，可以转化成上下左右来进

行移动，从而达到简便的目的

第三部分：旋转的概念，也需要举一些实际生活案例进行引入，比如：汽车的

方向盘、钟表指针的旋转、汤秋千等，然后跟学生一起研究旋转的性质，一般

考试不经常考旋转的概率判定，更多的是考察图形的旋转，对应的线段相等，

角度相等，去求一些边长或关系或者角度问题，也有一定的难度；

第四部分：旋转网格作图题：这部分首先还是必须梳理图形，特别是三角形关

于x轴、y轴、原点的对称图形的画法，其次也要讲清楚图形绕着原点（主）或

不是原点（次）旋转90。或者180。的图形的画法，然后对应成绩好的学生还

要讲解某条边在旋转过程中扫过的图形面积（扇形的面积公式或推导方法）；

第五部分：旋转在全等图形中的运用，这部分主要从“半角模型”和“奔驰模

型”两种模型进行讲解，首先需要给学生解释清楚半角和奔驰的模型判定方法，

然后会正确的画出旋转之后的图形构造出全等图形，从而实现边和角的转化；

特别是奔驰模型，建议新老师一定要提前梳理清楚；

第六部分：中心对称，这部分内容比较简单，也不是一个重难点考点，所以带

学生梳理清楚中心对称的定义及能够简单进行运用即可。

课前检测

1.把点A(2,V2)向上平移2亚个单位得到点4坐标为()

A.(2,-V2>B.(2,V2)C.(2,-3^2)D.(2,3加)

【答案】。

【解答】解：将点A(2,V2)向上平移2亚个单位，得到点A',则4'的坐标为

(-2,3&),

故选：

2.如图，在RtZXACB中，/ACB=90°,NA=35°,将AABC绕点。逆时针旋转a角到△

4'C的位置，A'B'恰好经过点从则旋转角。的度数为70。.

【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：•・•在Rt^ACB中，N4C8=90°,NA=35°,

・・・N48C=55",

•・,将△ABC绕点C逆时针旋转a角到△/!'B'C的位置,

・・・N8'=ZABC=55°,NB'CA'=ZACB=90°，

CB=CB',

：,/CBB'=/B'=55°,

AZa=70°,

故答案为：70°.

【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质.注意掌握旋转前后图形的

对应关系是解此题的关键.

3.下列生活现象中，属于平移现象的是（）

A.急刹车时汽车在地面滑行

B.足球在草地上跳动

C.投影片的文字经投影转换到屏幕上

D.钟摆的摆动

【答案】4

【解答】解：A.急刹车时汽车在地面滑行，是平移现象：

8.足球在草地上跳动，方向变化，不符合平移的定义，不属于平移；

C.投影片的文字经投影转换到屏幕上，大小发生了变化，不符合平移的定义，不属于

平移；

D.钟摆的摆动，不沿直线运动，是旋转运动，不属于平移.

故选：A.

4.如图，P为等边三角形A8C内一点，PC=3,%=4,尸3=5,求NAPC的度数.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：将ABCP绕点。顺时针旋转60°得△ACQ,连接PQ.再过4作C尸的延

长线的垂线A。，垂足为。，

:,AQ=PB=5,CQ=PC,NPCQ=60°，

•••△PCQ是等边三角形，

：・PQ=PC=3,NQPC=60°,

在△心。中，•・•必=4,AQ=5,PQ=3,

：.AQ2=PA1+PQ1,

：.ZAPQ=90°,

・•・ZAPC=ZAPQ+ZQPC=150°.

B

课中讲解

一.平移的概念与性质

平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动成为

平移.平移不改变图形的形状和大小.

平移的性质；一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条

直线上）且相等；对•应线段平行（或在一条直线上）且用等，对应角相等.

例1.下列现象中是平移的是（）（平移的定义判定）

A.翻开书中的每一页纸张

B.飞碟的快速转动

C.将一张纸沿它的中线折叠

D.电梯的上下移动

【答案】。

【解答】解：A不是沿某一直线方向移动，不属于平移.4不是沿某一直线方向移动,

不属于平移.。新图形与原图形的形状和大小不同，不属于平移.因此C错误.

故选：D.

过关检测

1.下列现象属于数学中的平移的是（）（平移的定义判定）

A.树叶从树上随风飘落

B.升降电梯由一楼升到顶楼

C.汽车方向盘的转动

D.“神舟”号卫星绕地球运动

【答案】B

【解答】解：A、树叶从树上随风飘落不属于平移，故此选项不合题意；

以升降电梯由一楼升到顶楼属于平移，故此选项符合题意;

C、汽车方向盘的转动属于旋转，故此选项不合题意；

。、“神舟”号卫星绕地球运动属于旋转，故此选项不合题意；

故选：B.

2.下列运动属于平移的是()(平移的定义判定)

A.电风扇扇叶的转动

B.石头从山顶滚到山脚的运动

C.电梯从一楼运动到三楼

D.荡秋千

【答案】C

【解答】解：A.电风扇扇叶的转动不是平移，故A选项不符合题意；

B.石头从山顶滚到山脚的运动不是平移，故8选项不符合题意；

C.电梯从一楼运动到三楼是平移，故C选项符合题意；

D.荡秋千不是平移，故。选项不符合题意；

故选：C.

二.坐标系下点的平移

例1.将点尸(1,2)向左平移3个单位后的坐标是()(点的平移)

A.(-2,2)B.(1,-1)C.(I,5)D.(-L-1)

【答案】A

【解答】解：点P（l,2）向左平移3个长度单位后，坐标为（1-3,2）,即（-2,2）.

故选:A.

例2.如图，A”的坐标为（2,0）,（0,1）,若将线段A8平移至4S，则的值为（）

（线段的平移，也可以转化成点的平移）

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可.

【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2,可得8点向上平移了1个单位，

由A点平移前后的横坐标分别是为2、3,可得A点向右平移了1个单位，

由此得线段A8的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，

所以点A、3均按此规律平移，

由此可得a=0+l=I,〃=0+1=1,

故a+b=2.

故选：A.

【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的

平移与图形I：某点的平移相同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐

标上移加，下移减.

过关检测

1.已知点A的坐标为(1,3),点A向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度.则点

A的对应点的坐标为()(平移的定义判定)

A.(5,3)B.(-1,-2)C.(-1,-1)D.(0,-1)

【答案】见试题解答内容

【解答】解：点4(1,3)向左平移1个单位，再向下平移4个单位所得的对应点的坐

标为(1-1,3-4),即对应点的坐标是(0,-1).

故选：D.

2.如图，点A、4的坐标分别为(1,2)、(4,0),将△A06沿x轴向右平移，得到△CDE,

己知。8=1,则点C的坐标为(4,2).(图形的平移，利用平移的性质求解)

【分析】利用。3=1,B(4,0),得出△AO8沿x轴向右平移了3个单位长度，再

利用平移中点的变化规律求解即可.

【解答】解：•・•点A、B的坐标分别为(1,2)、(4,0),将△408沿x轴向右平移，

得到△(?£>£：,DB=1,

・•・0。=3,

•••△AO8沿x轴向右平移了3个单位长度,

・••点C的坐标为：（4,2）.

故答案为：（4,2）.

【点评】此题主要考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图

形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；

纵坐标上移加，下移减.

三.旋转的概念与性质

旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形

运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大

小.

旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任

意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.

例1.如图，将△/WC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点4,E在同一条直线上,

4CB=20°,则N/WC的度数是（）（旋转的性质，对应边不变，从而出现等腰三

角形）

E

3

BC

A.55°B.60°C.65°D.70°

【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可.

【解答】解：•・•将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EQC.

・・.N£）CE=NAC8=20°,ZBCD=ZACE=W,AC=CE,

・・・NC4O=45°,NACO=90°-20°=70°,

AZADC=180°-450・70°=65°,

故选：C.

【点评】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三舛形内先和解答.

过关检测

1.如图，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=BC=4,将&4BC绕点C逆时针旋转60°,得

到△MNC,则的长是，点+2&_.（解析给的方法是证明AC_LBM,设交点为O,

去分别求BO和OM的长度求和；对于成绩比较好的学生可以补充15°的直角三角形的

三边关系，从而过点M作BC的垂线与点H,求出CH和HM的长度，然后利用勾股定

理求解）

R'A

【分析】如图，连接AM,由题意得：CA=CM,NACM=60°,得到为等

边三角形根据AB=8C,CM=AM,得出垂直平分AC,于是求出OM

=CM・sin60°,最终得到答案8M=B0+0M=2企+2%.

【解答】解：如图，连接AM,

由题意得：CA=CM,NACM=60°,

・•・△ACM为等边三角形，

„=CM,NM4C=NMC4=N4MC=60°；

VZABC=90Q,A8=BC=4,

.MC=4&，CM=4五

'：AB=BC,CM=AM,

・・.BM垂直平分AC,

：,B0=—AC=2^OA/=CM・sin60。=2%，

2

二BM=BO+OM=2A/2+2加，

故答案是：2点+2加.

【点评】本题考查了图形的变换-旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判

定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键.

2.如图，OALOB,等腰直角三角形CDE的腰在08上，ZECD=45°,将三角形石

绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在（M上，则匹的值为返.

CD-2一

（本题考察旋转的性质，对应的边相等，得到NC和CE相等，可以设出CD的长，求出CE的

长，求出NNCO=60°,再求出OC,进而可以比，对于题目有角度的时候，一定要注意特殊的

角，是解题的关键）

【分析】根据旋转得出NNCE=75°,求出NNCO,设OC=m则CN=2a,根据

△CMN也是等腰直角三角形设CM=MN=x,由勾股定理得出F+f=(2〃)2,求出工

=心，得出。。=亚小代入求出即可.

【解答】解：•・•将三角形CQE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在

0A上,

AZEGV=75°,

VZECD=45°,

・・・NNCO=180°-75°-45°=60°,

*：AOLOB,

・・・NAO8=90°,

・・・/ONC=30°,

设OC=a,则CN=2a,

•・•等腰直角三角形。CE旋转到△CMN,

•••△CMN也是等腰直角三角形，

设CM=MN=x,则由勾股定理得：『+/=(2a)2

x=^J-2a,

即CO=CM=伤,

•0C_a

**CDV2a

故答案为：坐.

2

【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，

旋转性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考杳学生综合运用性质进行推理和计算

的能力，题目比较好，但有一定的难度.

四.旋转的作图（格点下）

例1.如图，△48C三个顶点的坐标分别为A（2,4）,8（1,1）,C（4,3）.

（1）请画出关于x轴对称的△ABG，并写出点4的坐标；（图形对称）

（2）请画出△ABC绕点8逆时针旋转90°后的△/hBCz;（图形的旋转）

（3）求出（2）中。点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和n）；（扇形面

积，可以补充扇形面积公式和弧长公式）

（4）求出（2）△zhBC2的面积是多少.（图形的面积，常用割补法，利用四边形来

减三角形）

【分析】（1）根据关于x轴时称的点的坐标特征，写出点A、B、。的对应点4、

用、G的坐标，然后描点即可得到△A8iG；

（2）利用网格特点和旋转的性质，画舟点A.C的对应点4、C2,则可得到△43C2；

（3）C点旋转到Q点所经过的路径是以8点为圆心，BC为半径,圆心角为90°

的弧，然后根据弧长公式计算即可；

（4）利用一个矩形的面积分别减去二个三角形的面枳可计算出△A2AC2的面积.

【解答】解：（I）如图，山iG为所作，点4的坐标为（2,-4）；

（2）如图,△4BC2为所作;

（3）4c=422+32=^1^，

所以C点旋转到C2点所经过的路径长=处上返=返大

1802

1117

（4）ZXA田G的面积=3X3--XIX2--XIX3-—X2X3=—.

■2222

【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于

旋转角，而应线段也相等，由此可以通过作相等的隹，在角的边上截取相等的线段的方

法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.也考查了轴对称变换.

过关检测

I.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位I）网格

的格点上.

（1）ZkABC的形状是一等腰直角二角形（直接写答案）；

（2）平移△A8C,若A对应的点4坐标为（3,-1）,画出△4B1G;

（3）画出△ABC绕点8顺时针旋转90°的△BA2c2并求出旋转过程中AABC扫过

的面积.（结果保留死）

【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理即可判断；

（2）分别作出三顶点平移的对应点，再顺次连接可得答案；

（3）作出点A,C绕点8顺时针旋转90°的对应点，再顺次连接可得，旋转过程

中三角形扫过的面枳是三角形面枳与扇形的面枳和，据此列式计算.

【解答】解：（1）VAB2=l2+22=5,4C2=l2+22=5,BC2=I2+32=10,

：.AB2+AC2=BC2,且A8=AC,

•••△ABC是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形：

（2）如图,△AIBIG即为所求.

（3）如图，△胡2。2即为所求,

BC=NI2+32=775,BA=y]I2+22=

△布扫过的面积。X泥x在+9°x兀X（6）2=2L.

23602

【点评】本题考查了作图-旋转变换：解题的关键是掌握轴对称变换与旋转变换的

定义及其性质，扇形的面积公式等知识点.

五.解密旋转全等的构造

例1.如图，E、尸分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且8f+DF=";则NE4F=

45度.（半角旋转：分为两种，例题是半角完全包含在大角内部，还有一种部分包含的，

需要老师提前找一个例题，带学生清楚的熟练两种不同的情况）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图：延长到G,使。G=BE,则尸G=EF,

'AB=AD

在aABE和aAOG中，NB=/ADG，

BE=DG

A^ABE^AADG(SAS),

：,AE=AG

又・・・4斤=4/，GF=EF

・•・AAGF^AAEF

AZEAF=ZGAF=-X90°=45°.

2

过关检测

I.如图，△48C是边长为3的等边三角形，ABOC是等腰三角形，且NB/）C=120度.以。

为顶点作一个60°角，使其两边分别交A8于点M,交AC于点M连接MM

（1）求证：MN=BM+NC；（半角模型证线段相等）

（2）求△AMN的周长为多少？（转化边）

\

【答案】见试题解答内容

【解答】解：是等腰三角形，且N8OC=120°,

:・/BCD=/DBC=30°，

•••△ABC是边长为3的等边三角形，

AZABC=ZBAC=ZfiC4=60°,

.•・NQB/1=NOCA=9()°,

延长48至F,使B/=CN,连接DF,

在和△CN。中，

BF=CN

，NFBD=NDCN，

DB=DC

:•△BDFqACND(SAS),

:・NBDF=/CDN,DF=DN,

VZMDN=60a,

••・NBOM+NCQN=60°,

•••N8DM+N8。产=60°,

在△OWN和中，

rDM=MD

NFDM:NMDN，

DF=DN

・•・ADMN//XDMF(SAS)

：,MN=MF=MB+BF=MB+CN；

(2)由(1)证得MN=M6+CM

・•・△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=6.

2.已知：如图，点P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=V3,PC=1,求N8PC的度数.

（奔驰模型，可以带学生把三个三角形分别进行旋转，对比

不同的情况的求解过程）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：以BP为边作等边三角形BPD,连接A。,

则BD=BP=DP=遭,NDBP=/BDP=6G,

•••△A8C是等边三角形,

；.AB=BC,/A8C=60°,

VZABD+ZABP=ZCBP+ZABP=60°,

AB=BC

在△480与△C8P中，，ZABD=ZCBP.

BD=BP

：.4ABDWACBP（SAS）,---------------------------------------------------------------------------------

--（3分）

:・/BPC=/BDA,AD=PC=\,

在△4。尸中，•・•必=2,尸。=加，40=1,

：.AP2=DP2+AD2,

・•・△APO是直角三角形，--------------------------------------------------------

（4分）

AZADP=90°,

ZADB=ZADP+ZBDP=150°,

・・・NBPC=150°.----------------------------------------------------------------------------------------------

3.(1)阅读理解

利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1,点P是等边三角形ABC内一点,

PA=\,P8=夷，PC=2.求N8PC的度数.

为利用已知条件，不妨把△8PC绕点C顺时针旋转60。得C,连接PP',则PP'

的长为2；

在△心"'中，易证N%P'=90°,且NPP'4的度数为30°,综上可得NBPC

的度数为90°；（奔驰旋转）

（2）类比迁移

如图2,点P是等腰RtZXABC内一点，ZACB=90°,PA=2,PB=®PC=\.求N

APC的度数；（奔驰旋转）

（3）拓展应用

如图3,在四边形A8CO中，BC=5,CD=8,AB=AC=-AD,ZBAC=2ZADC^请

直接写出8。的长.（需要平移aBAD,转化BD,刚好出现直角三角形，利用勾股定理

求解，方法很灵活，需要提前做一遍）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）把△3PC绕点C顺时针旋转60°得产C,连接PP'（如图1）.

由旋转的性质知P是等边三角形；

:・P'A=PB=近、ZCP1P=60°、P'P=PC=2,

在△AP'P中，・.・AP2+尸'A2=l2+（V3）2=4=PP2；

•••△AP'〃是直角三角形；

・•・/〃40=900.

VM=—PC,

•••NAPP=30°；

:・/BPC=NCP'4=NCPP+NAP尸=600+30°=90°.

故答案为:2；30°；90°；

(2)如图2,把△3PC绕点C顺时针旋转90°得AA产C,连接PP'.

由旋转的性质知△CP'P是等腰直角三角形；

：.P'C=PC=\,ZCPP'=45°、P'P=V2»PB=AP、=在

在P中，\,AP，1+P,/=(V2)2+(V2)2=2=4/；

•••△AP'〃是直角三角形；

AZAP'P=90°.

/.NAPP'=45°

・・・NAPC=NAPP'+NCPP=450+45°=90°

(3)如图3,*：AB=AC,

将△AB。绕点A逆时针旋转得到△4CG,连接。G.则BO=CG,

ZBAD=ZCAG,

：.ZBAC=ZDAG,

'：AB=AC.AD=AG,

：.NA8C=ZACB=NADG=NAGD,

J^ABC^/XADG,

*：AD=2AB,

：,DG=2BC=\0,

过A作AE_L8C于E,

•・・N/ME+NA8C=9()°,ZBAE=ZADC,

・・・NADG+/AOC=90°,

AZGDC=90°,

ACG=VDG2-CD2=V102+82=2^>

ABD=CG=2V41.

六.中心对称图形及性质

概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们对称中心.如图，△ABC与△A'B'C'

成中心对称，点O是它们的对称中心.

性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平方.

例1.下列美丽的图案中，是中心对称图形的个数是（）（中心对称图形的判定）

国区心⑪

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解：第I、3、4个图形为中心对称图形，共3个.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度

后与原图重合.

过关检测

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）（中心对称图形的判定）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故比选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与原图重合.

2.如图，已知△A8C和△AbC关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（）（中心对

称图形的性质）

A.ZABC=ZA'B'CB.ZAOB=ZA'OB'

C.AB=A'B'D.OA=OB'

【答案】。

【解答】解：••.△ABC和△△'B'C关于点。成中心对称，

B'C,

：.AB=A,,OA=OA,,ZABC=ZA'B'C',

可得NAOC=NA'OC,

故A,B,C正确，只有。选项错误.

故选：。.

学习任务

1.已知平面直角坐标系中点。(・3,4).将它沿)，轴方向向上平移3个单位所得点的坐标

是()(点的平移〕

A.(-3,I)B.(-3,7)C.(0,4)D.(-6,4)

【答案】B

【解答】解：所求点的横坐标为3,

纵坐标为4+3=7,

即(-3,7).

故选：B.

2.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()(中心对称和轴对称定义判

定)

【答案】D

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意;

8、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

。、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意.

故选：D.

3.如图，将△ABC向右平移得到已知A,。两点的距离为1,CE=2,则B尸的长为

（）（图形的平移）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解答】解：•••将向右平移得到△/）£/，

：・AD=BE=CF=1,

VEC=2,

：.BF=BE+EF+CF=\^-2+\=4,

故选：B.

4.两个全等的三角尺重叠放在aACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋

转至△£）（；£的位置，使点4恰好落在边。E上，A8与CE相交于点F.已知N4CB=N

DCE=90°,NB=30°,AB=8cm,则CF=2&cm.（旋转的性质）

E

【分析】利用旋转的性质得出DC=4C，NO=/CAB,再利用已知角度得出乙4尸。

=90",再利用直角三角形的性侦得出尸C的长.

【解答】解：•・•将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△QCE的位置，使

点A恰好落在边上，

：.DC=AC,ZD=ZCAB,

：.ZD=ZDAC,

VZACB=ZDCE=90°,NB=30°,

AZD=ZCAB=60°,

・・・NOCA=60°,

・・・NAC尸=30。，

可得NA〃C=90°,

AB=Scm,

r.FC=4cos30°=2V3（cm）.

故答案为：2加.

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及宜角三角形的性质，正确得出NArC的度

数是解题关键.

5.如图，等腰RtZ\4BC中，BA=BC,N48C=90°,点。在4C上，将△48。绕点8沿顺

时针方向旋转9（r后，得到△C8E.（旋转的性质）

（I）求/OCE的度数;

(2)若4B=4,CD=3AD,求。E的长.

【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得NBA。、N8C。的度数，然后由旋

转的性质可求得N8CE的度数，故此可求得NOCE的度数；

（2）由（1）可知△OCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比

例关系可得到C七和DC的长，最后依据勾股定理求解即可.

【解答】解：（1）,••△ABC为等腰直角三角形，

：.ZBAD=ZBCD=45a.

由旋转的性质可知NB4O=N8CE=45°.

AZDCE=ZBCE+ZBCA=450+45°=90°.

（2）•；BA=BC,N/16C=90°,

.,.AC=A/AB2+BC2=472.

\*CD=3AD,

・"。=&，DC=3版

由旋转的性质可知：AD=EC=^/2.

22

••・DE=VCE+DC=2泥.

【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，

求得NOCE=90°是解题的关键.

家长签字：____________

第5讲因式分解1

目标层级图

课前检测

1.下列等式从左到右的图形，属于因式分解的是（）

A.rn(a—b)=mu—mbB.2a2+u=u(a+1)

C.(x+y)2=x2+2xy+y2D.m2+4m+4=m(m+4)+4

2.(1)若x+y=4,Ay=3,求+母?的值.

3.分解因式/（工一为+⑶一X）=.

课中讲解

一•概念

1.定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项

式因式分解，也

叫作分解因式。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

注意：

（1）分解的结果要以积的形式表示；

（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的

次数；

（3）必须分解到每个多项式因式不能再分解为止

2.因式分解结果的要求

因式分解结果的标准形式常见错误或不规范模式

符合定义，结果一定是乘积的形式(x+l)(x+2)(x+3)+7

不能含有中括号，大括号(x+l)[2(x+3)-ll

最后的因式不能再次分解(x-I)(x2-l)

相同因式写成事的形式A(X-1)(X-1)(X+1)

括号首项不能为负x(-x-1)(x4-1)

因式中不含有分式

X

因式中不含无理数

x(x-\[2)(x+y/2)

单项式因式写在多项式因式前面U-DMx-l)

每个因式第一项系数一般不为分数

x(-x-l)(x+l)

3

例1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为()

A.x(a-b)=ax-bxB.x2-1+y2=(x-l)(x+l)+y2

C.x2-1=(X-1)(A+1)D.ax-bx+c=x(a+b)+c

过关检测

1.下列从左到右边的变形，是因式分解的是()

A.(x+3)(3-x)=9-x2B.(y-l)(y-3)=-(3-y)(y+1)

C.4yz-2y2+z=2z(2z-yz)+zD.-8.r2+8x-2=-2(2x-I)2

2.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是()

A.f_/_2=x(x-1)-2B.(a+h)(a-b)=a2-b2

C.x2-4=(X-2)(A-2)D.X-1=X(1——)

x

3.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是()

A.(a-2)(a+2)=G2-4B.x2+x-\=(x-\)(x+2)+\

C.a+ax+ay=a{x+y)D.crb-ab1=ab(a-b)

二.提公因式法

1.公因式定义：多项式以+庆的各项都含有相同的因式如我们把多项式各

项都含有相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2.确定公因式的方法：

①系数一取多项式各项系数的最大公约数；

②字母或多项式因式——取各项都含有的字尾或多项式因式的最低次塞

3.提公因式法定义：如果一个多项式的各项都含有公因式，可将这个公因

式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提

公因式法。

4.提公因式步骤：

①确定多项式中各项的公因式（包括系数、字母、多项式因式）

②提出公因式（注意符号）

③确定多项式提出公因式后的因式（把原多项式除以公因式所得的商作为另

一个因式，写出结果），将提出公因式后的因式合并同类项

（注意：如果某一项提出全部后，还剩1）

例1.（1）3a2b2-1-12a2b2c（2）45〃%2c+9a2be-54a2b2e

(3)x3+3X2+X

过关检测

1.因式分解：2a2-4a=

2.把下列各式因式分解

(1)-3R，3+27/)，(2)一12/一6/-9工

(3)JC-IX(4)3^-\2X2-3X

例2.对下列式子进行因式分解

(1)(a-/?)4+a[a-bf+b(b-a)3(2)2x(x-2)+(2-x)

过关检测

I.把下列各式进行因式分解

(1)fl(x-3)+24>(x-3);(2)5(X-»+10()，-X)3

(3)4^/(1-p)3+2(p-I)2(4)3〃?(x-)，)-〃(y-x)

2.已知(2x-2l)(3x-7)T3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a、b均为整数,

则。+3Z?=.

例3.若-2/T-4a"的公因式是M,则M等于()

A.2/TB.-2a"C.—2"iD.-2^'+,-2an+1