高二数学课件：第二章第13讲导数应用

第13讲导数的应用教材回扣夯实双基基础梳理1．函数的最值假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条_____________的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得________与________．若函数在(a，b)内是________，该函数的最值必在____________________取得．连续不间断最大值最小值可导的极值点或区间端点处2．利用导数研究生活中的优化问题3．几个注意点：①极值是在局部范围内讨论问题(局部概念)，最值是对整个定义域而言(整体性的概念)．②闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．最值最多各有一个，而极值则可能不止一个，也可能没有极值．③如果函数不在闭区间[a，b]上可导,则确定函数的最值时，不仅比较使该函数的导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值．④在解决实际应用问题时，如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较．课前热身1．函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1)(

)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，也无最小值

D．无最大值，但有最小值答案：C2．(2012·厦门调研)如果函数y＝f(x)的图象如下图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(

)解析：选A.如图，由y＝f(x)图象知，当x<x1时,f(x)递增,故f′(x)>0；在(x1,0)上,y＝f(x)递减，故f′(x)<0；在x＝0处y＝f(x)的切线与x轴平行，故f′(0)＝0；在(0，x2)上,y＝f(x)递增，故f′(x)>0；在x>x2时,y＝f(x)递减，故f′(x)<0.综上可知，A项符合题意．答案：A4．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________．解析：f′(x)＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大，∴m＝3，f(－2)＝－37，f(2)＝－5.答案：－37解析：由y′＝x2－39x－40＝0得x＝－1或40.当0<x<40时，y′<0；当x>40时，y′>0.所以当x＝40时，y有最小值．答案：40考点探究讲练互动考点突破考点1函数的最值设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2010·高考重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．例1【解】

(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形,考点2导数的实际应用那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)主要探究两类问题：①费用如何最省；②利润如何最大问题。载体(建模的解析式)可以是多项式函数(一般不超过三次)、分式函数、指数函数、对数函数等．例2万元．已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号电视机投放市场，且A、B两型号的电视机投放金额都不低于1万元．当x∈[1,10m－1)时，随B型电视机投放金额x的增加，农民得到的补贴逐渐增加；当x∈(10m－1,9]时，随B型电视机投放金额x的增加，农民得到的补贴逐渐减少．【名师点评】

实际应用中准确地确定函数解析式，确定函数定义域是关键．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数．所以当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．考点3导数与不等式(2010年高考安徽卷)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.例3【思路分析】

(2)中构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1，转化为求证g(x)恒大于零．【解】由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0,得x＝ln2.于是当x变化,f′(x),f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减2(1－ln2＋a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2),单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞),都有g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.【名师点评】对于类似本题中不等式证明而言，我们可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明．用导数方法证明不等式,其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论.方法技巧函数的最值与极值的辨析最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值与最小的值，在求函数的最值时，要注意：方法感悟最值与极值的区别：极值是指某一点附近函数值的比较．因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；而最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较,因而在一般情况下,两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．失误防范1．已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围确定．2．求函数最值时，要注意极值、端点值的比较．3．要强化导数的工具性作用,在处理方程的根、不等式恒成立等问题时,注意导数的应用．考向瞭望把脉高考命题预测从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点，试题大多有难度，注意的是不等式的证明按考纲的说明应弱化，但会以另一种形式来体现．考查时多与函数的单调性、极值结合命题，考生学会做综合题的能力．预测2013年福建高考仍将以利用导数研究函数的单调性、极值与最值结合题目为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题．典例透析

(本题满分14分)(2011·高考福建卷)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；

例【解】

(1)由f(e)＝2得b＝2.4分(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx.从而f′(x)＝alnx.因为a≠0，故：