数字信号处理-教学课件

数字信号处理任课教师：郭建涛

物理电子工程学院教科书：吴镇扬，数字信号处理，高等教育出版社参考书：数字信号处理教程，程佩青，清华大学出版社数字信号处理，王世一，北京理工大学出版社数字信号处理---理论、算法与实现，胡广书，清华大学出版社离散时间信号处理，[美]A.V奥本海姆R.W.谢弗编，科学出版社基于Matlab的系统分析与设计--信号处理，楼顺天李博菡编著，西安电子科大出版社l

基础理论：离散时间信号与系统（ch1）

信号的采样与重建（ch2）

离散傅立叶变换DFT（ch3）

快速算法FFT（ch3）

l

算法设计：

数字滤波器

无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器(ch4)

有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器(ch5)

l

数字信号处理系统的实现（ch6）

数字信号处理器硬件（ch6）

l多采样率数字信号处理（ch7）

课程介绍课程相关基础课程：高等数学、信号与线性系统学习方法：习题、实验，结合MatlabSignalProcessingToolbox平时考核：作业、考勤、实验考试绪论数字信号处理的基本概念数字信号处理的特点数字信号处理的发展数字信号处理的实现一、从模拟到数字的转换过程及其相关概念1、信号：是传递信息的函数，也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。常见信号类型：语音、音乐、图像及视频等2、连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。3、模拟信号是连续信号的特例。时间和幅度均连续。4、离散信号：时间上不连续，幅度连续。5、数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。t是连续的{x是连续模拟信号analogesignal

x是离散的t是离散的{x是连续的离散信号discretesignal

x是离散的数字信号digitalsignal标量信号、矢量信号确定信号、随机信号

数字信号处理是用数字或符号的序列来表示信号，通过数字计算机去处理这些序列，提取其中的有用信息。例如，对信号的滤波：增强信号的有用分量，消弱无用分量；或是估计信号的某些特征参数等。总之，凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、增强、压缩、估计和识别的问题都是数字信号处理研究的对象。数字信号处理采用数字系统完成信号处理的任务，它具有数字系统的一些共同优点，例如抗干扰、可靠性强，便于大规模集成等。除此而外，与传统的模拟信号处理方法相比较，它还具有以下一些明显的优点：二、数字信号处理的优缺点1、精度高

在模拟系统的电路中，元器件精度要达到１０－３以上已经不容易了，而数字系统17位字长可以达到１０－５的精度，这是很平常的。例如，基于离散傅里叶变换的数字式频谱分析仪，其幅值精度和频率分辨率均远远高于模拟频谱分析仪。2、灵活性强

数字信号处理采用了专用或通用的数字系统，其性能取决于运算程序和乘法器的各系数，这些均存储在数字系统中，只要改变运算程序或系数，即可改变系统的特性参数，比改变模拟系统方便得多。

例如：有限长单位脉冲响应数字滤波器可以实现严格的线性相位；在数字信号处理中可以将信号存储起来，用延迟的方法实现非因果系统，从而提高了系统的性能指标；数据压缩方法可以大大地减少信息传输中的信道容量。3、可以实现模拟系统很难达到的指标或特性4、可以实现多维信号处理

利用庞大的存储单元，可以存储二维的图像信号或多维的阵列信号，实现二维或多维的滤波及谱分析等1、增加了系统的复杂性。它需要模拟接口，包括A/D、D/A转换器等，以及比较复杂的数字系统2、应用的频率范围受到限制。主要是A/D转换的采样频率的限制3、系统的功率消耗比较大。数字信号处理系统中集成了几十万甚至更多的晶体管，而模拟信号处理系统中大量使用的是电阻、电容、电感等无源器件，随着系统的复杂性增加这一矛盾会更加突出

缺点三、数字信号处理的发展特点

超大规模集成电路使得数字部件成本降低、尺寸缩小、计算速度加快，另一方面数字信号处理在理论上和方法上均向更深的层次发展，表现为：

1、由简单的运算走向复杂的运算，目前几十位乘几十位的全并行乘法器可以在数个纳秒的时间内完成一次浮点乘法运算，这无论在运算速度上和运算精度上均为复杂的数字信号处理算法提供了先决条件；

2、由低频走向高频，模数转换器的采样频率已高达数百兆赫，可以将视频甚至更高频率的信号数字化后送入计算机处理；

3、由一维走向多维，像高分辨率彩色电视、雷达、石油勘探等多维信号处理的应用领域已与数字信号处理结下了不解之缘。

4、各种数字信号处理系统的实际应用：图像处理方面，数据压缩是多媒体通信、影碟机(VCD或DVD)和高清晰度电视(HDTV)的关键技术。国际上先后制定的标准H.261、JPEG、MPEG—1和MPEG—2中均使用了离散余弦变换(DCT)算法。近年来发展起来的小波(Wavelet)变换也是一种具有高压缩比和快速运算特点的崭新压缩技术，应用前景十分广阔，可望成为新一代压缩技术的标准。5、数字信号处理不断开辟新的应用领域，在机械制造中，基于FFT算法的频谱分析仪用于振动分析和机械故障诊断；医学中使用数字信号处理技术对心电(ECG)和脑电(EEG)等生物电信号作分析和处理；数字音频广播(DAB)广泛地使用了数字信号处理技术。可以说，数字信号处理技术已在信息处理领域引起了广泛的关注和高度的重视。四、数字信号处理系统的实现软件实现硬件实现片上系统（SOC,SystemonaChip）

软件实现是用一台通用的数字计算机运行数字信号处理程序。其优点是经济，一机可以多用；缺点是处理速度慢，这是由于通用数字计算机的体系结构并不是为某一种特定算法而设计的。在许多非实时的应用场合，可以采用软件实现方法。例如，处理一盘混有噪声的录像(音)带，我们可以将图像(声音)信号转换成数字信号并存入计算机，用较长的时间一帧帧地处理这些数据。处理完毕后，再实时地将处理结果还原成一盘清晰的录像(音)带。通用计算机即可完成上述任务，而不必花费较大的代价去设计一台专用数字计算机。数字信号处理的软件实现

硬件实现是针对特定的应用目标，经优化，设计一专用的软硬件系统。其优点是容易做到实时处理，缺点是设备只能专用。数字信号处理的硬件实现

并行是指为了完成同一个任务，几个处理器同时工作，使系统能胜任单个处理器所不能完成的任务；当一个处理器完成单个任务(比如一个滤波器)有很大的富余量时，可让其完成多个任务，这就是复用；流水结构也是多处理器完成同一任务，它与并行结构的主要区别在于并行的各个处理器之间数据交换不多，而流水结构类似于生产中的流水线，数据经一道道“工序”处理：各指令的各个步骤重叠执行，而不是一条指令执行完成后，才开始执行下一条指令。并行、复用和流水片上系统（SOC,SystemonaChip）随着大规模集成电路的发展，一个复杂数字信号处理系统已可以集成在一个芯片上。SOC包含有数字和模拟电路、模拟和数字转换电路、微处理器、微控制器以及数字信号处理器等。与传统的集成电路不同的是，嵌入式软件的设计也被集成到了SOC的设计流程中，SOC的设计方法将以组装为基础，采用自上至下的设计方法，在设计过程中大量重复使用自行设计或其他第三方拥有知识产权的IP(IntelligentProperty)模块。SOC要充分考虑如何合理划分软件和硬件所实现的系统功能以及如何实现软、硬件之间的信息传递。SOC将是数字信号处理系统的一个新型的实现方法。

数字信号处理的理论基础：离散线性时不变系统理论和离散傅里叶变换---复习

数字信号处理的经典内容：FFT和数字滤波---重点介绍

支撑工具：数字信号处理器和数字信号处理软件---必要介绍，Matlab实验

目前DSP研究热点：时变非线性系统、非平稳信号、非高斯信号

处理方法的发展：最优滤波理论、自适应滤波、离散小波变换、高阶矩分析、盲处理、分形、混沌理论、时频分析

数字信号处理的研究内容第1章离散时间信号与系统离散时间信号采样离散信号的傅氏变换与Z变换离散时间系统系统函数1.1离散时间信号（１）单位脉冲序列离散时间信号用时间上不连续的一串样本值的集合，即序列表示。

集合，方便起见，用x(n)表示序列n是整型变量，样本序号1.1.1几种常用的典型序列（２）单位阶跃序列（３）矩形序列（４）实指数序列

（５）正弦序列x(n)=sin（ω0n）（6）复指数序列当时x(n)的实部和虚部分别是余弦和正弦序列。

对于一个周期为N的离散周期序列记作可以写成讨论正弦序列的周期性

当满足时，正弦序列就是周期序列。1.1.2离散周期序列

1.1.3

序列的运算

1、序列的相加：逐项相加

z(n)=x(n)+y(n)

2、序列的相乘：逐项相乘

f(n)=x(n)y(n)

3、序列的移位：平移

y(n)=x(n-n0)4、序列的能量

平方可和序列绝对可和序列

有界序列

6、序列的单位脉冲序列表示

5、实序列的偶部和奇部

1.2离散时间信号的DTFT与z变换

1.2.1

离散时间信号的傅里叶变换离散信号（数字序列）x(n)的DTFT定义

DTFT中的级数求和不一定总是收敛的，若x(n)绝对可和，则该级数绝对收敛(充分条件)。

平方可和序列的DTFT也存在,要强调的是平方可和序列不一定满足绝对可和的条件。DTFT与z变换：定义、性质、求法数字序列的IDTFT变换定义：FT------------------DTFT------------------------------DFT用乘以定义式的两边，并在的一个周期内积分，可得值得指出：（1）由于，所以是以2π为周期的周期函数。周期性（2）DTFT

正是周期函数的付氏级数展开，而x(n)是付氏级数的系数。这一概念在以后滤波器设计中有用。一般来说，是实变量的复函数，可以表示为：

（3）共轭对称性：

对于实序列x(n),

幅度谱偶对称，相位谱奇对称由于，代入定义式不难看出由正余弦函数的奇偶性，不难得出：实序列的DTFT实部为偶对称虚部为奇对称这与实模拟信号的傅里叶变换有同样的结论。连续变量需要离散化

linspace(-8,8,1000)

按照定义求序列的DTFT序列的DTFT例：求有限长序列x(n)=[1,3,5,3,1]的DTFT。观察频谱的连续性和周期性；实序列频谱的对称性（3对应时刻0）离散时间信号的频域分析DTFT对于某些序列，其DTFT不存在：引入z变换，可拓展离散时间信号和系统的频域分析，可更加有效地实现离散LTI系统的描述和分析1.2.2

z变换利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。一个离散序列x(n)的Z变换定义为

其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为z平面

这种变换也称为双边z变换，与此相应还有单边z变换，单边z变换只是对单边序列（n>=0部分）进行变换的z变换，其定义为本讲只针对双边z变换展开论述。

z变换的收敛域一般，序列的Z变换并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对可和，因此z平面的收敛域应满足

因为对于实数序列，

因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为

Rx-〈|z|〈Rx+

这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。

z变换的收敛域jIm[z]Rx+Rx-Re[z]0这里主要讨论以下四种序列：a有限长序列序列(序列x(n)只在有限长度n1~n2

内有值，其余为零)其Z变换X（z）是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n〈∞，n1≤n≤n2。显然|z|在整个开域（0，∞）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除0及∞

两个点（对应n>0和n<0不收敛）以外的整个z平面：

0〈|z|〈∞如果对n1，n2加以一定的限制，如n1≥0或n2≤0，则根据条件|z|-n〈∞（n1≤n≤n2），收敛域可进一步扩大为包括0点或∞点的半开域：

例1

序列x（n）=δ（n）由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域z平面，0≤|Z|≤∞，例2

矩形序列x（n）=RN（n）等比级数求和b右边序列

指x(n)只在n≥n1有值，而n<n1时，x(n)=0

收敛域：|z|>Rx-，为收敛半径Rx-以外的z平面

右边序列中最重要的一种序列是“因果序列”，即n1≥0的右边序列，因果序列只在n≥0有值，n<0时，x(n)=0，其z变换为：

收敛域：

Z变换的收敛域包括∞点是因果序列的特征。c左边序列序列x(n)只在n≤n2有值，n>n2时，x(n)=0

收敛域：|Z|<Rx+，在收敛半径为Rx+的圆内d双边序列可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列z变换的收敛域是这两个序列z变换收敛域的公共部分。

如果Rx+>Rx-，则存在公共的收敛区间，X（z）有收敛域:

Rx-〈|z|〈Rx+

如Rx+<Rx-，无公共收敛区间，X（z）无收敛域，不收敛

已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为逆z变换，常用Z-1[x(z)]表示。若则逆z变换为：逆z变换是一个对X(z)zn-1进行的围线积分，积分路径C是一条在X(z)收敛环域（Rx-，Rx+）以内逆时针方向绕原点一周的单围线。1.2.3逆z变换证：柯西积分定理：式中，C是一个逆时针方向环绕原点的围线。按照z变换定义有上式两边同乘以，在X(z)的收敛区域内取一条包含原点的围线做围线积分，得因此

直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有：

幂级数展开法如果一个z变换X(z)能表示成幂级数的形式，那么可直接看出序列x(n)是幂级数中的的系数。因此，若能用现有的幂级数公式将X(z)展开，便可以很容易地求得x(n)。对于z变换为有理函数的情况，可用长除法将X(z)展开成幂级数。在使用长除法之前，应先根据收敛域确定对应的是右边序列还是左边序列。若为前者，可将X(z)的展开成负幂级数（分子分母按z的降幂排列）。解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数

留数定理法

对于有理z变换，围线积分可用留数定理来计算。设在有限z平面上，是在围线c内部的极点集，是在围线c外部的极点集，根据柯西留数定理，有右边序列选择此公式左边序列选择此公式

在处有二阶或二阶以上的零点，即的分母多项式的z的阶数比分子多项式z的阶数高二阶或二阶以上或

如果是z的有理函数，且处有s阶极点，即式中，在处无极点，那么在处的留数可用下式计算特别地当s=1时，有留数求法：部分分式展开法将z变换展开成部分分式然后求各简单分式的逆变换整式部分、单极点、r阶极点转换成z的正幂次表示成X(z)/z或者X(z)/z^k依据收敛域，确定哪些项对应因果序列，哪些项对应反因果序列常用序列z变换（可直接使用）（1）线性例：求序列anu(n)-bnu(n-1)的z变换解:则a，b为任意常数.1.2.4z变换的性质

z变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到若（2）移序性证明:若，则称为位移因子，只影响z=0和z=

处收敛情况。（3）z域微分性(序列线性加权)若则例:已知解:求（4）z域尺度变换(序列指数加权)若则（5）初值定理若x(n)为因果序列,已知则（6）终值定理若x(n)为因果序列,已知则（7）时域卷积定理若则证明:例:求下列两单边指数序列的卷积

解:(8)序列相乘(z域复卷积定理)性质10

1.2.5z变换与DTFT的关系采样序列单位圆上的z变换就等于该序列的DTFT。函数freqz(b,a,N)，令a=1输入变量b就是序列x，其位置限定从零开始；变量N是把分割的份数，所以计算的频谱仅仅对应正频部分；