2023年高考数学二轮复习讲练测专题11 离心率问题速解（解析版）

专题11离心率问题速解

【命题规律】

求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等.

【核心考点目录】

核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题

核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率

核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题

核心考点四：椭圆与双曲线的4〃通径体

核心考点五：椭圆与双曲线的4〃直角体

核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题

核心考点七：双曲线的4a底边等腰三角形

核心考点八：焦点到渐近线距离为匕

核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形

核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题

核心考点十一：渐近线平行线与面积问题

【真题回归】

1.（2022•全国•统考高考真题）椭圆。:毛+£=1（。>8>0）的左顶点为A,点、P,。均在C上，且关于y轴

ab~

对称.若直线AP,AQ的斜率之积为，，则C的离心率为（）

4

A.—B.—C.；D.-

2223

【答案】A

【解析】［方法一］:设而不求

设P&M，则。（F，Y）

则由:得：怎〃•心Q=T---^―=一T一三=；'

v

4Xj+a-Xj+a-xt+a4

由得小十1

叩J：）从1

所以一/一］,即勺/，

---?~~-=7a4

-x-+a4

［方法二］:第三定义

设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知：即8=-心Q

故kAP•kAQ=即八一心。=_W'

p

由椭圆第三定义得：kPA-kAQ=~,

如从1

故下北

所以椭圆C的离心率e=5="孑=当，故选A.

2.（2021・天津.统考高考真题）已知双曲线/卷=1（心0力>0）的右焦点与抛物线），2=2〃武〃>0）的焦点重

合，抛物线的准线交双曲线于A,B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点,若|。|=应|人用.则双曲线的

离心率为（）

A.y/2B.73C.2D.3

【答案】A

【解析】设双曲线,木=1（“>O,b>0）与抛物线/=2PMp>0）的公共焦点为（G。），

则抛物线V=2px（p>0）的准线为x=-c,

M2.22

令iC,则十方v=1,解得y=土?，所以|阴=9子h，

又因为双曲线的渐近线方程为丁=±3%，所以|8|=当，

所以迎=名空.，即c=@,所以/“2_82=*,

aa2

所以双曲线的离心率e-£-JS.

a

故选：A.

3.（2021•全国•统考高考真题）设5是椭圆C:£+£=13>b>0）的上顶点，若C上的任意一点「都满足

\PB\<2b,则C的离心率的取值范围是（）

A•m）B.年』）0,陷］

【答案】C

【解析】设尸（加儿）,由B（o,b）,因为§+苓=1，a2=b2+c2,所以

|P8『=片+（%一/?）”=/（1一张+（%-"=-如［。+*+^+a2+b2,

因为"4治",当一疑_力，即从"时，|咻；=心，即阀2=»,符合题意，由从*2可得a222c2,

工IIHMIX**IlliW

即0<e<^：

2

当《〉",即"</时，|冏==5+/+从，即探+/+从44/，化简得，卜2_6）2<0,显然该不

等式不成立.

故选：C.

4.（多选题）（2022•全国•统考高考真题）双曲线C的两个焦点为0居，以。的实轴为直径的圆记为。，过

3

［作。的切线与。交于M,N两点，且cosN^N居=1,则C的离心率为（）

A.@B.-C.姮D.叵

2222

【答案】AC

【解析】［方法一］:几何法，双曲线定义的应用

情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过耳作圆。的切线切点为B,

3

所以OB_LF|N,因为cosNK”=］>0,所以N在双曲线的左支，

|OB|=a,\OF］=ct出B|=b,设，F\NF?=a,由即cosa=］,则sina=?

3S

|NA匕a,|N以=于

|NE|-|N^|=2t/

5（3

-a-\—a-2b=2o。,

2\2）

选A

情况二

3

若M、N在双曲线的两支，因为co$NZNE=g>0,所以N在双曲线的右支.

所以|OB|二a,|0用=「，忖B|=b,设4；叫=。，

334

由cos/£Ng=m，即cosa=g,则sina=《，

35

|NA|=-^|NF2|=^

MH明|=2

3c,5c

—a+2b——a=2a,

22

所以力=%,即2=1,

a2

所以双曲线的离心率6=£=、1+£=巫

a\az2

选C

［方法二］:答案回代法

A选项

2

特值双曲线

:-），2=］,.耳卜逐0）田后°）,

过E且与圆相切的一条直线为y=2（x+>5）,

・・,两交点都在左支,，N（-■|石,-：6}

.-.|NE|=5,|^|=1,|^|=275,

3

则cosNfJNH=",

C选项€=巫

2

22

特值双曲线^耳卜疝0)国厄o),

过耳且与圆相切的一条直线为y=［(x+9)，

;两交点在左右两支，N在右支，:.N/后JIJ可，

/.|NE|=5,|N^|=9,|^|=2V13,

3

则COSN6N6=^,

［方法三］:

依题意不妨设双曲线焦点在X轴，设过£作圆。的切线切点为G,

若M,N分别在左右支，

因为OGJ.NK，且8SNKNR=W>0,所以N在双曲线的右支，

又|用=〃，|O£|=c,|G用=b,

设“NB=(x,4F【F\N=。、

在△小中，有粤二件二匹，

sinpsin(a+〃)sina

MH”|_2c_______1______=」

sin(a+夕)-sinsinasin(<z+/?)-sin/?sina,

所以------o-------F―『=--，

sinacosp+cosasmp-sinpsina

h3.ab...4

而8sa=-,sinpn=—,cospn=—>故sina=—,

5cc5

代入整理得到»=3a,即

a2

所以双曲线的离心率6=£=1+?=巫

a\a12

若M,N均在左支上,

同理有约=的小=秘一，其中夕为钝角，故cos夕=-2,

sinps.inV(a+p)sinac

故W^HN用.2c即____________«____________=,

sin/?-sin(a+/?)sinasin尸一sinacos夕一cosasin夕sina

代入8sa=g,siny9=—,sina=7,整理得到：——^―-=\,

5c54/?+2a4

故选：AC.

5.(2022•全国•统考高考真题)已知椭圆C：1+1=l(a>^>0),C的上顶点为A,两个焦点为6,F”离

a2b2

心率为方.过片且垂直于人尸2的直线与c交于E两点,1。&=6,则VADE的周长是.

【答案】13

c1

【解析】•・•椭圆的离心率为c=£=：,・・.a=2c,・••力2=〃2一/=3/,・••椭圆的方程为

a2

三十工=1,BP3X2+4/-12C2=0,不妨设左焦点为耳，右焦点为工，如图所示，・・•

4c~3c~

46=〃，OF2=C,〃=2c,・・./4巴。=2.・・.A4K鸟为正三角形，・.•过耳且垂直于A鸟的直线与。交于£＞,

E两点，。石为线段AK的垂直平分线，，直线。石的斜率为立，斜率倒数为石，直线。石的方程：

3

x=y/5y-c»代入椭圆方程+4）2-12c2=0,整理化简得到：13y2-6\ficy-9c2=0,

判另1式14=伍病）2+4X13X9/=62X16XC2,

2

A|DE|=^l+（＞/3）|y1-y2|=2x^=2x6x4x-j1=6,

・13殂“13

..c=­,14a=2c=—,

84

•JOE为线段A尸2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,AE=%,JVAOE的周长等于△6。七的周长,

利用椭圆的定义得到△入。£周长为

\DF^\EF2|+|DE|=|DF21+|EF21+|DF]|+|EFX|=|。用+|DF2\+\EFl\+\EF2\=2a+2a=4a=l3.

故答案为：13.

6.（2022・浙江•统考高考真题）已知双曲线*-，=13＞0,力＞0）的左焦点为尸，过尸且斜率为2的直线交双

曲线于点人（西方），交双曲线的渐近线于点3（9,），2）且玉＜0＜再.若Iq=3|FA|,则双曲线的离心率是

【答案］巫

4

【解析】过户且斜率为二的直线A8:y=3*+c）,渐近线。：y=2

4a4aa

b

y=—(x+c)

联立《'得哈铝由网=3|阳,得A房匐

b

y=L

而点A在双曲线上，于是"且-心二口，解得：4=—»所以离心率e=娅.

81/81//a2244

故答案为：亚.

4

7.（2022•全国•统考高考真题）记双曲线=力>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2%与

a2b~

C无公共点”的e的一个值______________.

【答案】2（满足1<CK有皆可）

【解析】C:J-J-=l（«>0,Z»0）,所以C的渐近线方程为…5

结合渐近线的特点，只需0<勺42,即£44,

aa

可满足条件“直线y=2x与c无公共点”

所以e=2=+—7<J1+4=\/5»

又因为e>l,所以l<eK乔，

故答案为：2（满足l<e4石皆可）

【方法技巧与总结】

求离心率范围的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲线的范围建立不等关系.

2、利用线段长度的大小建立不等关系.6,人为椭圆W+£=1®>力:>0）的左、右焦点，P为椭圆上

a2b2

的任意一点，仍用«a-c,a+c];6,名为双曲线三一2r=i（a>o,b>O）的左、右焦点，尸为双曲线上的任

CTb，

一点，

3、利用角度长度的大小建立不等关系.E，居为椭圆£+f=1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，

a2b2

若N耳夕6=6，则椭圆离心率e的取值范羽为sing«e<l•

4、利用题目不等关系建立不等关系.

5、利用判别式建立不等关系.

6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.

7、利用基本不等式，建立不等关系.

【核心考点】

核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题

【典型例题】

例1.（2022•全国•高二专题练习）已知椭圆马+1=1（。>力>0）上一点A关于原点的对称点为点8,尸为

其右焦点，若AFJ.B尸,设NA班'=。，且aw任则该椭圆的离心率「的取值范围是（）

A.圈B.停用C.停等D.圜

【答案】B

【解析】由题意椭圆…）上一点A关于原点的对称点为点E,F为其右焦点，设左焦点

为N,连接AN,BN,因为所以四边形4阳N为长方形.

根据椭圆的定义：|A/|+|4V|=为，由题/A"=a,则乙4NQ=a,

所以2a=2rcosa+2csina，

2c11

e=—=----------------=--------------------

利用2asina+cosa&sin(a+.「

几717T

—<a+—<—即椭圆离心率e的取值范围是

342

故选B.

例2.（2022春・辽宁葫芦岛•高二统考期中）已知点耳鸟分别是椭圆=l（a>b>0）的左、右焦点，点

产是柄圆上的一个动点，若使得满足AP耳丹是直角三角形的动点尸恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）

A.|B.在C.也D.也

2223

【答案】C

【解析】由题意知，椭圆的最大张角为90°,所以b=c,所以a=&c，所以6=£=二=也，故应

aJ22

选C.

例3.（2。22秋,安徽.高二校联考开学考试）若P是以小丹为焦点的椭圆上的一点,

且PF-P居=0,tanZP^E.=4»则此椭圆的离心率为（）

z12

A7H9口151313

17171517

【答案】D

【解析】因为尸耳・%=0,所以■尸鸟，

22

在心/丹为中，设归勾=5m（m>0）,则|尸制=12根，\^F2\=7（5/M）+（12/7?）=13/n,

所以2c=13m，2a=\PF^+\PF^=\hn,

所以，高端

故选：D.

核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率

【典型例题】

例4.（2022春•福建漳州•高二校联考期中）已知椭圆C：5_+%=1

（a>6>0）,椭圆的左、右焦点分别

为"，鸟，P是椭圆。上的任意一点，且满足/•「用>（）,则椭圆。的离心率《的取值范围是（）

【答案】B

【解析】由已知得耳(一。，0),居(。，0),设尸(%,%)，

则尸£=(一。一如一为),P/^=(c-x0,-y0),

因为PE-PE>0，所以(一。一如一%)«'-%-%)>。，即一/+片+义>0,即其+¥>。2,

因为点P是椭圆上的任意一点，所以片+¥表示椭圆上的点到原点的距离的平方，

因为国+y：Ln=/，所以〃>不，所以/一「2>/,即，<；,

所以e=£w(o,*l

aV2)

故选：B.

例5.⑵22春.北京.高二人大附中校考期末)已知椭圆C*+W=13>力>0)的左、右焦点分别为耳名,

若C上存在一点尸，使得N"产6=120°,且△耳/>8内切圆的半径大于且〃，则。的离心率的取值范围是

()

在11

C.~2'~\2

【答案】C

【解析】设用叼=2c,△1尸工内切圆的半径为二

因为|P/*|P6|=2〃，所以|耳用『=(|P"田”1)2—21P用PE|(1+COS120°)=4a2_|际|,

贝1」|尸61|尸鸟|=4/.

由等面积法可得:(2a+2c)r=；x4〃xsin120°=6(a2-c2),

整理得「=石(〃—c),Xr>—

12

故£<1.又N斗尸£,=120°,所以60°KNKPO«90

a12

则外无，从而走ve<U.

a2212

故选：C

例6.(2022春•新疆乌鲁木齐・高二乌市八中校考阶段练习)已知尸-K是椭圆\+，=l(a>〃>0)的两个

焦点，若存在点尸为椭圆上一点，使得/耳「八=60。，则椭圆离心率e的取值范围是（）.

【答案】C

【解析】如图,

当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，。对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当产

点位于短轴端点4处时，张角达到最大值.由此可得：

「存在点P为椭圆上一点，使得/£尸6=60。，

••△EG6中，N6兄鸟260。，可得中,NO用工230。,

所以忙用，即叱&,其中c=行万

222

..a-c<3cf可得"工4?,即《之！

a-4

•••椭圆离心率e，，Ra>c>0

a

:.—<e<\

2

故选:c

例7.（2。22春•吉林辽源.高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆》&Sb>。）上一点A关于原

点的对称点为从尸为其右焦点，若AC必设叫=口且。吗/则该椭圆离心率e的最大值为

【答案】x/3-l

【解析】已知椭圆，+/叱人0）二一点A关于原点的对称点为点从/为其右焦点,

设椭圆的左焦点为N,连接4E4NIF,用V,所以四边形AEW为长方形,

根据椭圆的定义|AF|+|AN|=2z,且4BF=a，则N/Wr=a,

所以2a=2rcosa+2rsina，

_2c_]_]

又由离心率的公式得“2asina+cosa72sin（a+-），

4

由0建潦],则工Wa+黄弓，

641242

拉v1＜R1

所以W&sin（a+B'即椭圆的离心率的最大值为G-l.

4

故答案为：百-1

例8.（2022春•黑龙江佳木斯•高二建三江分局第一中学校考期中）己知椭圆£+W=1（〃＞方＞0）上一点A

a~b~

7T7T

关于原点的对称点为点民尸为其右焦点，若AF_LM,设N4BF=a,且ae,则该椭圆的离心率

o5

e的取值范围是

【答案】

t解析】椭圆上点八关于原点的对称点为点爪尸为其右焦点，设左焦点为£,

连接A尸，BF,BF一则四边形AF//为矩形.

根据椭圆的定义：A尸+A月=2a,ZABF=a,则/时=a.

?.|AF|=2c-sina,\A6|=2ccosa,2a=2c-cosa+2c-sina

2c11r

椭圆的离心率2asina+cosa砥；/一%)，ae丁，;

vzsmia+—I|_64

.5汽冗式milV2(V3+1).(乃I/1

・•—《以H—W—,则---------<sina4—<1,

12424I

•旦—!—.75-1

,,2V2sin(a+—)

・•.椭圆离心率e的取值范围存6一1

故答案为：亏

若设拉罚斗，且Je,则该椭圆离心率的取值范围为.

【答案】[李用

由斗尸十鸟尸二勿，可得2ccose+2csine=2tz,

=£_]=1

得，一;

由公,可得(。+.卜y,-y-,则向4sin(e+.)41,

所以旦〈eg旦.

23

故答案为：［孝，当］

核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题

【典型例题】

例10.（2022春・江苏苏州•高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点

6，%P，2分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且/。6尸=60，记椭圆和双曲线的离心率分别为q/,

则3一"等于——.

【答案】4

【解析】设椭圆长半轴长为外，双曲线实半轴长为的，G（Y，。），6（C,0）,P为两曲线在第一象限的交点，

。为两曲线在第三象限的交点.

由椭圆和双曲线定义知:|P用+|P段=2q,|P用一|P周=2%

「.|「第=4+6，|P周=4一出，

由椭圆和双曲线对称性可知：四边形尸片。鸟为平行四边形，

./QEP=60,.•./£PK=120,「J耳闾2=］尸制2+归周2_2|pGp周cosN与空，

即4c2=（4+。2y+（4~a2）+（4+%）（4一生）=3。；+W，

3I3a；alA

=^-+-T=4.

e；cc-

故答案为：4.

例11.（2022春•山东青岛•高二统考期末）已知椭圆G和双曲线G有共同的焦点E，%P是它们的一个

交点，且/4/＞居=等，记椭圆G和双曲线G的离心率分别为4，0，则w=48e：+44的最小值为（）

A.24B.37C.49D.52

【答案】C

【解析】设椭圆的长半轴长为外,双曲线的实半轴长久，焦距2c,则

|P用+P周=%,俨周一俨用|=2叼,解得

I叫=《+《，1?周=《-。2,如图

在△FIPF2中,根据余弦定理可得:

（耳月）2=（2月）?+（尸片）2—2尸月"68$7，

31

整理得4c2=3.：+嫉，即=+二=4,

e\e2

所以w=48e；+44=L信+4卜（48片+4团=37+¥+与＞“9,

4Ie\e2Je\e2

当且仅当6=乎=曰时，取等号.

故选:C.

例12.（2022春・广西•高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点4,外，P是它们的一个交点,

且/可「鸟=方，记椭圆和双曲线的离心率分别为“，0,则。V的最小值为（）

A.巫B.-C.75D.3

24

【答案】A

【解析】如图，设椭圆的长半轴为《，双曲线的实半轴长为〃2,则根据椭圆及双曲线的定义：

|明卜归闾=加,|尸制—|尸闾=2出,

所以归制=4+4,|%|=4一七，

设归©="，因为/耳”=李则

在△2£鸟中，由余弦定理得：4c2=（q+生）2+（4-K）~-2（4+%）（《—%）cos§,

13

化简得：d+3/2=4。2,g|J—+—=4,

e\e2

从而有4=」■+乌N2232，

e

e「e22

整理得《七之¥=等，（当且仅当行率色邛时等号成立）

故选：A.

例13.（2022春•辽宁沈阳•高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点6,6，

?是它们的一个交点，且N月尸g=g,记椭圆和双曲线的离心率分别为弓，4,则当」一取最大值时，4,

3eie2

4的值分别是（）

A.正，见B.白在C.&瓜D.巫，君

222234

【答案】A

2222

【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：/£=1（”匕>0）,c=V7二尸，£_g=i，

c=Ja；+b；.

设|P尸|=〃z,\PF2\=n.m>n.则相+〃=2a,m-n=2ax,/.m=a+a],n=a-at.

因为/月产工=5,

所以8S/二巴士出支二,，

32mn2

即（a+qj+（a_q/_4r2=^a+a^a_a^）.

222134

/.a24-3a2-4c2=0,/.—+—=4,

<纥

.-.4>2^XA,则专K专，当且仅当勺=哼，4=*时取等号.

故选：A.

2，

例14.（2022•河南洛阳•校联考模拟预测）已知椭圆G：£+卓=1（06>0）和双曲线G：

£-\=1（机>0,〃>0）有共同的焦点6，尸2，。是它们在第一象限的交点，当/月/第=60。时，G与C2的

离心率互为倒数，则双曲线G的离心率是（）

A.及B.73C.2D.石

【答案】B

【解析】设G，的离心率分别为，，4,焦距为2c,

因为|PK|+|P61=2%|P周一|P闾=2凡

所以|P厘="+/〃，|「用=白一加，

由余弦定理，得用闾尸制?+|P段2-2|PMHPK|COSNE”,

即4c2=（a+w）2+（a-/n）2-2（tz+〃?）（〃-w）cos60°,

13

化简，得4c2=/+3M，两边同除以C2,得4=7+瑟.

3

又《0=1，所以4=纥+3.

又6＞1，所以

故选：B

核心考点四：椭圆与双曲线的4〃通径体

【典型例题】

例15.（2022・广西南宁・南宁市第八中学校考一模）已知椭圆1（°＞方＞0）的左、右焦点分别为

过6且与“轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线A尸2与椭圆的另一个交点为c，若AE=266,则椭圆的

离心率为（）

A在「Vio3

D.也

55记

【答案】A

【解析】过点。作8，工轴于O,则..A斗人由4鸟=26。,

则|耳外|=2|乙。|,|人制=2|。。|,所以点

所以有（2C）2（五）

由点C在椭圆上,,即5c2=°

1

所以王弋

故选：A.

例16.（2022・全国•高三专题练习）已知椭圆。：鸟十==1（，＞。＞0）的左、右焦点分别为尸2,过尸2直线

与椭圆。交于M,N两点，设线段的中点。，若MDNFN，且MFi"DFi则椭圆。的离心率为

（）

A.1B.3C.yD.正

3322

【答案】B

【解析】因为M»NK=0,所以MOlg,又。是N6中点，所以附制=卜坏7|,

因为MR//DF”所以F?是MN中点，则|M&=|N段,因此MN_Lx轴，

设=则|M周=2m"M制+|M周=3加=2a,"?=等，

在中，由勾股定理得（粤）2+（M）2=QC）2,变形可得e=£=且.

33a3

故选：B.

例17.（2022春•云南•高三校联考阶段练习）已知双曲线（7:1-冬=13＞0,力＞0）的左、右焦点为尸-F”过

cTb

E且垂直于1轴的直线交C于M,N两点，若M鸟"L”，则C的离心率为（）

A.0+1B.2C.y/3D.V2

【答案】A

【解析】由题可得MN:x=-c,代入双曲线C:《/=ig＞（U＞0）,

a~b

解得尸±q,

又MFJNF2,

・・・内刎=|£舄I，即Q=2C,

a

c2—a2=2ac＞

..e2-2e-l=0，

e=1±\/2»:e>\

.•.e=75+l.

故选：A

例18.（2022春•江苏宿迁•高三校考阶段练习）如图，已知A,B,C是双曲线£-g=l（a>0,力>0）上的三个

a~b~

点，A3经过原点0,AC经过右焦距尸，若B/IAC且C/=2胡，则该双曲线的离心率等于.

【解析】若E是左焦点，连接AE,8旦EC,设|8用=〃?，\AF\=n,

又CF=2FA、BPI^Cb2n,则|EC|=2a-|%>24+2〃，

・•・在放/XEAC中，|AE|2+|ACT=|ECT，即m2+9〃2=4（〃+〃）2,而相一〃=2々,

.2aSa

・・〃=—,m=一,

33

•••在油V£4尸中，源+〃2=4。2，B[J—=4c2,可得e="L

93

故答案为：叵.

3

核心考点五：椭圆与双曲线的4〃直角体

【典型例题】

例19.（2022春・福建福州•高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知人，尸2是双曲线

上:、太=1（"0/＞0）的左、右焦点，过6作斜率为6的直线/,/分别交了轴和双曲线右支于点知，P,

UULUICIUIU.HU

且66—PM=则E的离心率为.

【答案】2+6

IHIUIIuuuuuuuUUUUUU

【解析】因为玛=所以M£=PM,即M为PE的中点.

又。为人人的中点，所以0M为中位线.所以OM//P月和尸鸟_Lx轴.

因为直线/过K且斜率为6,|耳周二2c,所以归玛|=G忻玛|=2辰,|P用=2|耳用=4c.

由双曲线的定义可得：|历|-归闾=为、即4c-2辰=2a，解得：-=即离心率为e=2+6.

故答案为：2+石

22

例20.（2022.全国•高三专题练习）如图所示，双曲线C*-亳■=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为E、尸2，

过巴的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、8两点，A是环8的中点，且片6，入8,则双曲线。的

C.75D.近+1

【答案】B

【解析】••A是£8的中点,

•.AO为的中位线，

.1F2B,所以。41.片8,所以O8=£O=c.

设B（N，y）,4（苍，必），

丁点8在渐近线y=2x上，

a

记+城=°2

x=a

,，得，x

bJi=力

X=T|

-c+a

又〈A为£8的中点，,

b

A在渐近线y=-gx上，

,得。=2。，则双曲线的离心率e=£=2.

2a2a

故选：B

例21.（2022.天津.统考一模）设£,鸟分别是双曲线/卷=13>0.〃>0）的左、右焦点，。为坐标原点，过

左焦点£作直线石产与圆/+>2=/切于点七，与双曲线右支交于点尸，且满足。石二方。尸+06），[0目=75,

则双曲线的方程为（）

A.iB.^-£=1C.^-21=1

=D.m

6126936312

【答案】D

【解析】・・・E为圆f+y2=/上的点，,口目=。=有，

0E=g（0P+0”）,・・・E是尸耳的中点，

又。是K6的中点，尸段=2|。目=〃=2后，

且PFJ/OE,

又归用一归周=2〃=26,「.仍用=4a=46,

尸耳是圆的切线，.・.。石上夕"，，尸鸟，尸片，

2

又因用二2c,/.4c=|尸耳『+归&2=也,.02=]5,...从=C2一病=]2,

•••双由线方程为号右L

故选：D

个人料%1

例22.（2022•四川广元•统考三模）设入，尸2分别是椭圆后:鸟」-"=13>力>0）的左、右焦点，过尸2的直线

交椭圆于A,B两点,且AF2=2F2Bt则椭圆E的离心率为（）

A.\B.-C.亚D.正

3434

【答案】C

【解析】因为也=2可,不妨令|伍|=2向用=2m（/n>0）,

过马的直线交椭圆于A,B两点,由椭圆的定义可得，|A周+|A周二勿，忸£|+忸用=2a,

则忸耳|=2a-m,\AF\=2a-2m,

又斯•46=0,所以4耳_1_46，则八4耳鸟和△4耳8都是直角三角形，

则|AM+|A8「=|84「，即（2a-2my+9加2=（幼一机）2,解得加=1,

所以|犯1=],|A周=',又归图=勿，|M「+|A周2=|耳闾2,

所以乎八枭2=而，因此G=2,所以椭圆E的离心率为£=也.

99a~9a3

故诜：C.

例23.（2022春・江西抚州•高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知耳，工为双曲线E：

「■-5=1（“>0,6>0）的左、右焦点，过点3居分别作直线4，4交双曲线E于A,B,C,。四点，使得

四边形48co为平行四边形，且以AO为直径的圆过耳，|。用=卜川，则双曲线E的离心率为（）

A.y/2B.y/3C.-D.®

22

【答案】D

【解析】设|5|二|AK|=x，则|。用二1-2〃，

由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：|CR|=|A£|=x,

连接3,则有m=|国+2=x+2a,

\DC]=\DF2\+\CF2\=2x-2a

由于£在以4。为直径的圆周上，二。石，A耳,

••FBCO为平行四边形，AB//CD,：.DFXA.DC,

在直角三角形8月中，|%|2=|。6「+|8|2,（x+2a）2=x2+（2x-2a）2,

解得：x=3a,\DF\=3a\DF^a；

在直角三角形4八。中，|0£「+|06『二|耳耳2,（3〃）2+/=（2c『，

得5a2=2〃，e=-=^~,

a2

故选：D.

核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题

【典型例题】

例24.（2022春•陕西西安•高二期末）设耳，F?是椭圆E：£+"=1（〃＞方＞0）的左、右焦点，过点5（c,O）

且倾斜角为60。的直线/与直线x=4.相交于点尸，若鸟为等腰三角形,则椭圆E的离心率e的值是（

)

C

A板R1DG

2332

【答案】A

【解析】直线/的方程为y=G（x-c）,

y=G（x-c）行（2

由X，解得y=W-，则P不，

由于鸟为等腰三角形,

所以1，

cos60°=

2

故选：A

例25.（2。22.全国•高三专题练习）已知双曲线的左焦点为小过6作一倾斜角为15的直线交双

曲线右支于P点，且满足△POZ（。为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e为（）

V2+1

A.e=y/3B.e=2D.e

2

【答案】C

【解析】记右焦点为玛,

由题意知，/尸66=15,且△POZ为等腰三角形，则只能是|。£|=|。"，

所以/尸06=2/尸耳居=3