《工程制图》课件-第2章

2.1投影法

2.2点的投影

2.3直线的投影

2.4平面的投影

第2章正投影的基本知识

2.1.1投影法的概念

在日常生活中，物体在光线照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。影子的轮廓反映了物体的轮廓特征，这就是常见的投影现象。人们根据工程实际的需要，对这种现象加以科学抽象和总结，概括出了用物体在平面上的投影来表示其形状的投影方法。如图2-1所示，S为投影中心，A为空间点，平面P为投影面，S与点A的连线为投影线，SA的延长线与平面P的交点a称为A在平面P上的投影，这种产生图像的方法叫做投影法。2.1投影法图2-1投影法2.1.2投影法的分类

1．中心投影法

投影线均由投影中心S出发，称为中心投影法。图2-2是三角形ABC用中心投影法在投影面上得到投影abc。

从图2-2中可以看出，投影abc比空间三角形ABC要大得多，不能反映物体的真实大小，所以它不适用于绘制机械图样。但是，根据中心投影法绘制的图形接近人们的视觉效果，立体感较强。建筑物的效果图、美术画、照相等均属于中心投影。图2-2中心投影法

2．平行投影法

投影线相互平行的投影法称为平行投影法。用平行投影法得到的投影称为平行投影，如图2-3所示。

从图2-3可以看出，当四边形ABCD平行于投影面时，无论空间平面ABCD距投影面多远，它的投影与空间平面形状和大小是相同的。

在平行投影法中，根据投影线与投影面的角度不同，又分为斜投影法和正投影法。

(1)斜投影法：投影线与投影面倾斜的投影方法，如图2-3(a)所示。

(2)正投影法：投影线与投影面垂直的投影方法，如图2-3(b)所示。图2-3平行投影法2.1.3正投影的基本性质

(1)真实性。当直线或平面与投影面平行时，则直线的投影反映实长、平面的投影反映实形的性质，称为真实性(见图2-4(a))。

(2)积聚性。当直线或平面与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点，平面的投影积聚为一条直线的性质，称为积聚性(见图2-4(b))。

(3)类似性。当直线或平面与投影面倾斜时，其直线的投影长度变短、平面的投影变小，但投影的形状仍与原来的形状相类似，这种投影性质，称为类似性(见图2-4(c))。图2-4正投影的投影特性2.2.1点的一个投影

点的投影仍然是点。如图2-5所示，由空间点A向投影面P作垂线，其垂足a即为空间点A在投影面P上的唯一投影。反之，若已知投影a，则不能确定点A的空间位置，因为在过a

所作的P面垂线上各点(如A、A1…)的投影都与a

重合。因此，要确定一个点的空间位置，仅凭一个投影是不行的，常需要作出点的两面投影或三面投影。2.2点的投影图2-5点的单面投影2.2.2点的三面投影及投影特性

1．三投影面体系的建立

三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成(见图2-6)。它们分别为正立投影面(简称正面或V面)、水平投影面(简称水平面或H面)、侧立投影面(简称侧面或W面)。

三个投影面之间的交线，称为投影轴。V面与H面的交线称为OX轴(简称X轴)，它代表物体的长度方向；H面与W面的交线称为OY轴(简称Y轴)，它代表物体的宽度方向；

V面与W面的交线称为OZ轴(简称Z轴)，它代表物体的高度方向。三根投影轴相互垂直，其交点O称为原点。图2-6三面投影体系

2．点的三面投影

如图2-7(a)所示，求点A的三面投影，就是由点A分别向V、H、W三个投影面作投射线(垂线)，它们交V面于a′，交H面于a，交W面于a″。称a′ 为点A的正面投影(或V面投影)，称a为点A的水平投影(或H面投影)，称a″为点A的侧面投影(或W面投影)。

为了使点的三个投影a′、a、a″共面，移去空间点A，将H、W面按箭头所指的方向(见图2-7(a))旋转摊平在同一平面上，再去掉投影面的边框和V、H、W代号，便得到了点的三面投影图，如图2-7(b)所示。图中ax、ay、az分别为点的投影连线与投影轴X、Y、Z的交点。图2-7点的三面投影(a)立体图；(b)投影图

3．点的三面投影特性

由图2-7(a)可知：由于Aa′⊥V面，Aa⊥H面，则平面Aa′axa分别与V、H面及OX轴相垂直，则OX轴⊥a′ax和aax。同理可得OY轴⊥aay和a″ ay、OZ轴⊥a′az和a″az。当H面向下旋转90°与V面共面时，a′、ax

、a三点共线，如图2-7(b)所示，故得到a′a⊥OX轴；同理可得a′a″⊥OZ轴、aay⊥OYH和a″ay⊥OYW轴。

根据上述分析，可归纳出点在三面投影体系中的投影规律：

(1)点的正面投影与水平投影的连线a′a⊥OX轴；

(2)点的正面投影与侧面投影的连线a′a″⊥OZ轴；

(3)点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aax=a″az。

根据此投影规律，若已知点的任意两个投影，即可求出它的第三个投影。为了作图方便，可过原点O作角∠YHOYW的平分线，则aay与a″ay的延长线必与该辅助线交于一点，从而体现aax=a″az的对应关系。

【例2-1】如图2-8(a)所示，已知点A的正面投影和水平投影，求其侧面投影。

解由点的投影特性可知，a′a″⊥OZ，aax

= a″az，过故a′作直线垂直于OZ轴，交OZ轴于az，在a′az的延长线上量取aax=a″az

，即可得到a″，如图2-8(b)所示。图2-8已知点的两个投影求第三投影

4．点的投影与直角坐标的关系

若将三投影面体系看做空间的直角坐标系，则V、H、W面相当于坐标面，OX、OY、OZ轴相当于坐标轴，点O相当于坐标原点。

由于图2-9(a)中长方体的每组平行边分别相等，因此可得出点的投影与A的三个坐标值xA、yA、zA有以下对应关系：

点A到W面的距离Aa″ = a′az

=aay

= oax=xA；

点A到V面的距离Aa′= aax

=a″az

=oay=yA；点A到H面的距离Aa=a′ax

=a″ay

=oaz

=zA。

由此可见，若已知点A的投影(a′、a、a″)，即可确定该点的坐标，也就确定了该点的空间位置；反之亦然。

由图2-9(b)可知，点的每个投影包含了点的两个坐标；点的任意两个投影包含了点的三个坐标，所以，根据点的任意两个投影，也可确定点的空间位置。图2-9点的投影与坐标的关系(a)立体图；(b)投影图

【例2-2】已知点A(30、10、20)，求作它的三面投影图。

解法1

如图2-10(a)所示：

(1)作投影轴OX、OYH、OYW、OZ；

(2)在OX轴上由O点向左量取X坐标值30，得ax点，在OYH、OYW轴上由O点分别向下、向右量取Y坐标值10，得ayH、ayW，在OZ轴上由O点向上量取Z坐标值20，得出az；

(3)过ax作OX轴的垂线，过ayH、ayW分别作OYH、OYW轴的垂线，过az作OZ轴的垂线；

(4)各条垂线的交点a′、a、a″，即为点A的三面投影图。

解法2

如图2-10(b)所示：

(1)作投影轴；

(2)在OX轴上由O点向左量取X坐标值30，得ax点；

(3)过ax作OX轴的垂线，并沿垂线向下量取aax=10得a；向上量取a′ax=20，得a′；

(4)根据a、a′，求出第三投影a″。图2-10根据点的坐标作投影图2.3.1直线的三面投影

由平面几何得知，两点确定一条直线，故直线的投影可由直线上两点的投影确定。如图2-11所示，分别将两点A、B的同面投影用直线相连，则得直线AB的投影。2.3直 线 的 投 影图2-11直线的三面投影2.3.2各种位置直线的投影特性

1．直线对一个投影面的投影特性

1)直线平行于投影面

如图2-4(a)所示，直线AB平行于投影面，根据正投影的投影特性(真实性)，其投影反映实际长度，即ab= AB。

2)直线垂直于投影面

如图2-4(b)所示，直线AB垂直于投影面，根据正投影的投影特性(积聚性)，其投影积聚为一个点。

3)直线倾斜于投影面

如图2-4(c)所示，直线AB倾斜于H面，根据正投影的投影特性(类似性)，其投影仍为直线，但投影的长度比空间线段的实际长度缩短了。

2．直线在三投影面体系中的投影特性

1)投影面平行线

平行于一个投影面而倾斜于另两个投影面的直线称为投影面平行线。根据其平行的投影面不同，又可分为：

正平线——平行于V面，倾斜于H、W面的直线；

水平线——平行于H面，倾斜于V、W面的直线；

侧平线——平行于W面，倾斜于V、H面的直线。

表2-1列出了投影面平行线的立体图、投影图及投影特性。表2-1投影面平行线的投影特性

2)投影面垂直线

垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线。根据其垂直的投影面的不同，又可分为：

正垂线——垂直于V面，平行于H、W面的直线；

铅垂线——垂直于H面，平行于V、W面的直线；

侧垂线——垂直于W面，平行于V、H面的直线。

表2-2列出了投影面垂直线的立体图、投影图及投影特性。表2-2投影面垂直线的投影特性

3)一般位置直线

对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。如图2-12所示的直线AB，由于直线上两端点到任意投影面的距离都不相等，其三面投影a′b′、ab、a″b″

均与投影轴倾斜，且投影长度小于AB的实长；从图中还可看出，每一投影对相应投影轴的夹角，不反映空间直线对相应投影面的真实倾角。图2-12一般位置直线(a)立体图；(b)投影图

【例2-3】如图2-13(a)所示，根据三棱锥的正面投影和水平投影，判别棱线SA、SB、SC及底边AB、BC、CA是什么位置直线？并完成它们的侧面投影。

分析棱线SA的投影sa、s′a′ 都倾斜于OX轴，是一般位置直线，其侧面投影必然也倾斜于OZ轴；棱线SC同样也是一般位置直线；在棱线SB的投影中，sb∥OX，s′b′ 倾斜于OX轴，因此，SB是正平线，其侧面投影必然平行于OZ轴；在底边AB的投影中，ab倾斜于OX轴，a′b′∥OX，因此，AB是水平线，侧面投影必然平行于OYW轴；底边BC同样也是水平线；在底边CA的投影中，ca⊥OX，c′a′ 积聚为点，因此，CA是正垂线，侧面投影必然垂直于OZ轴。

作图作图过程如图2-13(b)所示。图2-13三棱锥的投影图2.3.3直线上点的投影

如图2-14所示，直线上点的投影有如下特性：

1．从属性

若点在直线上，则点的投影一定在直线的同面投影上，且符合点的投影规律，反之亦然。

2．定比性

若点在直线上，则点的投影将线段的同面投影分割成与空间线段相同的比例，反之亦然，即ek∶kf =e′k′∶k′f′ =e″k″∶k″f″ =EK∶KF。图2-14直线上的点

【例2-4】已知点M在直线AB上，求作它们第三面投影(见图2-15(a))。

分析由于点M在直线AB上，根据正投影的投影特性(从属性)，点M的另两面投影投影必在直线AB的同面投影上。

作图①首先求出直线AB的水平投影ab，如图2-15(b)所示。

②过m′作OX、OZ轴线的垂线，分别与ab、a″b″ 相交，求得m、m″，如图2-15(c)所示。图2-15直线上点的投影2.4.1平面的三面投影

平面图形的投影，一般仍为平面图形。

例如，图2-16(a)所示△ABC的三面投影均为三角形。作图时，先求出三角形各顶点的投影(见图2-16(b))，然后将各点的同面投影依次相连，即得△ABC的三面投影，如图2-16(c)所示。2.4平 面 的 投 影图2-16平面的投影2.4.2平面的投影特性

1．平面对一个投影面的投影特性

如图2-17所示，平面对一个投影面的投影特性取决于平面与投影面的相对位置，共分为三种情况，即：平行于投影面、垂直于投影面、倾斜于投影面。图2-17平面对一个投影面的投影特性

1)平面平行于投影面

当平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形，投影具有真实性。

2)平面垂直于投影面

当平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚成一条直线，投影具有积聚性。

3)平面倾斜于投影面

当平面倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影与空间平面的形状是类似的，投影具有类似性。

2．平面在三面投影体系中的投影特性

1)投影面平行面

平行于一个投影面的平面称为投影面平行面。根据其所平行的投影面的不同，又可分为：

水平面——平行于H面，垂直于V、W面的平面；

正平面——平行于V面，垂直于H、W面的平面；

侧平面——平行于W面，垂直于V、H面的平面。

表2-3列出了投影面平行面的立体图、投影图及投影特性。

2)投影面垂直面

垂直于一个投影面而倾斜于另两个投影面的平面称为投影面垂直面。根据其所垂直的投影面的不同，又可分为：

铅垂面——垂直于H面，倾斜于V、W面的平面；

正垂面——垂直于V面，倾斜于H、W面的平面；

侧垂面——垂直于W面，倾斜于V、H面的平面。

表2-4列出了投影面垂直面的立体图、投影图及投影特性。

3)一般位置平面

对三个投影面均倾斜的平面称为一般位置平面。由于一般位置平面对三个投影面都倾斜(见图2-16(a))，所以，它的三面投影都均为与空间平面类似的图形，既不反映真形，也不积聚。

【例2-5】根据所给的平面的两面投影判断是什么位置平面，并求作第三面投影(见图2-18(a))。

分析该平面的水平投影积聚为一倾斜的直线，侧面投影为六边形的类似形，根据平面的投影特性可知，该平面为六边形的铅垂面，其正面投影必为侧面投影的类似形(六边形)。

作图①首先在侧面投影中标注出平面的各个顶点a″、b″、c″、d″、e″、f″。

②按对应关系在水平投影中标注出相应的字母a、b、c、d、e、f。

③根据点的两个投影求作正面投影a′、b′、c′、d′、e′、f′。

④按侧面投影的连线顺序依次连接a′b′c′d′e′f′a′。作图结果如图2-18(b)所示。图2-18根据平面的两投影求作第三投影(a)题目；(