福建省南平市王台中学2021年高三数学文期末试卷含解析

福建省南平市王台中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2] C．（，2] D．（2，4]参考答案：A【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】由已知条件推导出，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前DE=AC=，翻折后AE=，AD=，从而求出0＜x＜．翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×，由此能求出x的取值范围为（0，]．【解答】解：由题意得，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=AC=，翻折后，在图2中，此时CB⊥AD．∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，∴AE=，AD=，在△ADE中：①，②，③x＞0；由①②③可得0＜x＜．如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×综上，x的取值范围为（0，]，故选：A．2.已知集合M={x|x2=x}，N={﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出M中方程的解确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即M={0，1}，∵N={﹣1，0，1}，∴M∩N={0，1}．故选：B．3.曲线y=sinx，y=cosx和直线x=0，x=所围成的平面区域的面积为（

）A．B．C．D．参考答案：B略4.设函数的导数则数列的前项和是 A．

B． C．

D．参考答案：C5.已知等比数列{an}中，，则a1=（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B因为，所以因为，所以因此选B.6.将函数y=cos（2x+φ）的图象向右平移个单位，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象平移关系，结合函数奇偶性的性质建立条件进行求解即可．【解答】解：函数y=cos（2x+φ）的图象向右平移个单位后得y=cos2[（x﹣）+φ]=cos（2x﹣+φ），若此时函数为奇函数，则﹣+φ=+kπ，即φ=kπ+，k∈Z，∴当k=﹣1时，|φ|取得最小值．故选：B．7.的值为

A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B8.设，，，则（

）． A． B． C． D．参考答案：D解：∵，，，∴．故选．9.集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则（?RA）∩B=（）A．（0，+∞） B．{﹣2，﹣1，1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集和交集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则?RA={x|x≤0}，所以（?RA）∩B={﹣2，﹣1}．故选：C．10.设，则＝

A．256

B．96

C．128

D．112参考答案：D与二项式定理有关的问题，常常需进行合理的赋值，在本题中，分别令，可求出结果，选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率___

_．参考答案：12.有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则

参考答案：。由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，∴++…+==，∴。13.为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为，则它们的大小关系为

．（用“”连结）

参考答案：14.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．参考答案：0.1【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．15.如果复数是纯虚数，则的值为________.参考答案：考点：复数运算【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为16.集合A＝{x|1＜x≤3，x∈R}，B＝{x|－1≤x≤2，x∈R}，则AB＝

．参考答案：[－1，3]17.已知向量若实数满足则的最大值是____________参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.参考答案：（1）；（2）2.【分析】(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线的距离.【详解】（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因为直线l的方程为，则直线l过点，倾斜角为．又，所以点B到直线l的距离为.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．

19.（12分）已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.参考答案：解：（1）f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），因为，所以f(x)在（0，1），（1，+∞）单调递增．因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．综上，f（x）有且仅有两个零点．（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．由题设知，即，故直线AB的斜率．曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．

20.（本题满分14分）四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G、F分别是线段CE、PB的中点．(Ⅰ)求证：FG∥平面PDC；(Ⅱ)求二面角F－CD－G的正切值．参考答案：证明：(Ⅰ)延长BG交AD于点D，而,,所以,(Ⅱ)过点F作易知过M作连接FN，则k*s@5%u即所求二面角的平面角不妨令PA＝AB=1，则所以．21.如图，已知，，，平面平面，，，为中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）证明：设中点为，连∵为中点，∴又由题意，∴，且∴四边形为平等四边形，∴∵∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.又平面，∴，∴又∴∴∵，平面，平面，∴平面.（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系，，，，，设平面的法向量，则∴取，∴设直线与平面所成角为，则，∴即直线与平面所成角的余弦值.22.已知椭圆的焦距为，离心率为.（1）求椭圆方程；（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且成等比数列，求的值.参考答案：解：（Ⅰ）由已知，.

……………2分解得，

……………4分所以，椭圆的方程为.

……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得过点的直线为，由

得，

……………6分所以，所以，