甘肃省兰州市2024-2025学年高三上学期建档模拟考试数学检测试卷（含解析）

甘肃省兰州市2024-2025学年高三上学期建档模拟考试数学检测试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（）A B.C D.2.已知所在平面内一点，满足，则（）A. B.C. D.3.（）A. B. C. D.4.已知符号函数则函数图象大致为（）A B.C. D.5.已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（）A. B.C. D.6.为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（）A.48种 B.36种 C.24种 D.12种．7.直线与直线相交于点，则的取值范围是（）A. B.C. D.8.设方程的两根为，，则（）A.， B.C. D.二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设a、b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则10.已知第一组样本数据的极差为，中位数为，平均数为，标准差为；第二组样本数据的极差为，中位数为，平均数为，标准差为．若满足，则（）A. B.C. D.11.抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则（）A.若，则直线的斜率为或B.若，则C.若和不平行，则D.若，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的高为，其顶点和底面圆周都在直径为的球面上，则圆锥的体积为______.13.已知向量不共线，，若，则___________.14.某厂家为了保证防寒服的质量，从生产的保暖絮片中随机抽取多组，得到每组纤维长度（单位：）的均值，并制成如下所示的频率分布直方图，由此估计其纤维长度均值的分位数是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．16.土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存贮和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示：编号12345678细菌百万个708090100110120130140真菌百万个8.010.012.515.017.521.027.039.0其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近．（1）求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；（2）在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望.附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，17.如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.（1）求的长度；（2）若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.18.已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点.（1）求直线斜率的取值范围；（2）若，求的面积.19.已知函数.（1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；（2）已知，，（其中且，，成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线AC与曲线在点B处的切线能否平行？请说明理由.甘肃省兰州市2024-2025学年高三上学期建档模拟考试数学检测试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用复数的除法化简可得复数.【详解】因为，则.故选：A.2.已知所在平面内一点，满足，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】由已知条件结合平面向量的加法可得出关于、的表达式.【详解】因为，即，即，解得，故选：B.3.（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算，即可求解.【详解】由.故选：A．4.已知符号函数则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】先得到为偶函数，排除AB，再计算出，得到正确答案.【详解】定义域R，且为奇函数，故，故的定义域为R，且，故为偶函数，AB错误；当时，，C错误，D正确.故选：D5.已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】求出根据导函数的几何意义，分别解以及，得出切点坐标，代入点斜式方程求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，，由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率.对于A、B项，由可得，，解得.当时，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故B项正确.当时，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故A项正确；对于C、D项，由可得，，解得，切点，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误.故选：D6.为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（）A.48种 B.36种 C.24种 D.12种．【正确答案】A【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可【详解】满足条件的摆放方案可分为两类，第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域有种方法，第二步，摆放区域有3种方法，第三步，摆放区域有2种方法，第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域有种方法，第二步，摆放区域有3种方法，第三步，摆放区域有2种方法，第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，故选：A.7.直线与直线相交于点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】求出直线、所过定点的坐标，分析可知，即，求出点的轨迹方程，分析可知，设，可知直线与曲线有公共点，利用直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】直线方程可化为，由可得，对于直线，由可得，所以，直线过定点，直线过定点，又因为，则，即，则，，所以，，所以，，当，，点不在直线上，所以，点的轨迹是曲线，设可得，由题意可知，直线与曲线有公共点，且圆的圆心为原点，半径为，所以，，解得，当，时，；当，时，.因此，的取值范围是.故选：B.8.设方程的两根为，，则（）A.， B.C. D.【正确答案】C【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出，即可判断AD，计算出，可判断BC.【详解】由可得，在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示：因为，，由图象可知，，所以故A，D错误；，因为，所以，所以，所以，即，故B错误，C正确.故选：C二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设a、b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】BCD【分析】利用空间中线线关系，线面关系，面面关系，分别判断即可.【详解】对于选项A，因为，所以或与相交或与异面，故选项A错误；对于选项B，因为，根据垂直于同一平面的两直线平行，所以，故选项B正确；对于选项C，因为，所以与内的某条直线平行，又，所以，又，，所以，故选项C正确；对于选项D，因为，所以与内的某条直线平行，因为，所以直线与内的某条直线平行，所以，因为，，所以，故选项D正确.故选：BCD.10.已知第一组样本数据的极差为，中位数为，平均数为，标准差为；第二组样本数据的极差为，中位数为，平均数为，标准差为．若满足，则（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.【详解】解：因为，对于A，设在数据中最大，最小，则，则在数据中最大，最小，则，故A错误；对于B，因为样本数据的中位数为，当为偶数时，，又因为，所以样本数据的中位数为，当为奇数时，，又因为，所以样本数据的中位数为，所以样本数据的中位数为，故B正确；对于C，因为样本数据的平均数为，即，所以样本数据的平均数为，故C正确；对于D，因为样本数据的标准差为，样本数据的标准差为，则，，，所以，故D错误.故选：BC.11.抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则（）A.若，则直线的斜率为或B.若，则C.若和不平行，则D.若，则的最大值为【正确答案】ABD【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；利用三角形三边关系可判断C选项；利用余弦定理、基本不等式可判断D选项.【详解】易知抛物线的焦点为，对于A选项，若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，因为，则在直线上，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，，因为，即，可得，即，所以，，可得，，解得，此时，直线的斜率为，A对；对于B选项，当时，则在直线上，Mx1+x则，B对；对于C选项，当和不平行时，则、、三点不共线，所以，，C错；对于D选项，设，，当时，，由C选项可得，所以，，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D对.故选：ABD.方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的高为，其顶点和底面圆周都在直径为的球面上，则圆锥的体积为______.【正确答案】【分析】求出圆锥的底面半径，结合锥体的体积公式可求得该圆锥的体积.【详解】取圆锥的轴截面如下图所示：设圆锥的外接球为球，易知，且，，则，故圆锥的底面半径为，因此，该圆锥的体积为.故答案为.13.已知向量不共线，，若，则___________.【正确答案】【分析】借助平面向量共线定理与平面向量基本定理计算即可得.【详解】由，不共线，故存在实数，使，即有，即有，解得.故答案为.14.某厂家为了保证防寒服的质量，从生产的保暖絮片中随机抽取多组，得到每组纤维长度（单位：）的均值，并制成如下所示的频率分布直方图，由此估计其纤维长度均值的分位数是___________.【正确答案】36【分析】计算前6个以及前面7个矩形面积之和，确定纤维长度均值的分位数位于第7组内，根据分位数的含义，列式计算，即得答案.【详解】由频率分布直方图可得从左到右前6个矩形面积之和为：，前7个矩形面积之和为，故纤维长度均值的分位数位于第7组内，设纤维长度均值的分位数为x，则，解得，即估计其纤维长度均值的分位数是36，故36四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得答案；（2）利用正弦定理求出的表达式，根据为锐角三角形确定B的范围，求出三角形周长的表达式并化简，结合正切函数性质，即可求得答案.【小问1详解】由题意知中，，即，即，故，而；【小问2详解】由（1）知，而，故由正弦定理得，则，由为锐角三角形，则，则，故的周长，而，故，故的周长的取值范围为.16.土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存贮和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示：编号12345678细菌百万个708090100110120130140真菌百万个8.010.012.515.017.521.027.039.0其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近．（1）求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；（2）在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望.附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，【正确答案】（1）（2）分布列见解析，2【分析】（1）令，将指数型回归方程转化为线性回归方程，利用最小二乘法的估计系数公式，即可求得答案；（2）确定真菌与细菌的数值之比位于区间内的组数，即可确定X的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，即可求得数学期望.【小问1详解】由于，故，令，则，，则，，故，则关于的经验回归方程为；【小问2详解】由已知图表可知从第1组到第8组的真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比依次为：，，故样本中比值位于内的组数有4组，则X的可能取值为：，则,，故X的分布列为：X01234P则.17.如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.（1）求的长度；（2）若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）1（2）【分析】（1）利用投影性质以及线面垂直性质可得，再利用三角形相似可求得；（2）建立空间直角坐标系，设，并根据坐标分别求得平面与平面的法向量，由两平面夹角的余弦值列方程解得，可得.【小问1详解】作，垂足为，连接，如下图所示：由点在平面的射影落在边上可得平面，又平面，所以，因为，且平面，所以平面，又平面，所以，又因为为矩形，，可得，由，可得，所以，；由可得，即；即的长度为1.【小问2详解】根据题意，以点为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则，并设，可得，所以；易知，，设平面的一个法向量为，所以，解得，取，则，即，设平面的一个法向量为，所以，解得，取，则，即，因此可得，整理可得，解得（舍）或；因此，即可得.所以的长度为.18.已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点.（1）求直线斜率的取值范围；（2）若，求的面积.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；（2）设直线的方程为，设点Ax1,y1、Bx2,y2，由平面向量的坐标运算可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出【小问1详解】解：在双曲线中，，，则，该双曲线的左焦点为，若直线的斜率不存在，则直线与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，设直线的方程为，设点Ax