2024-2025学年河南省开封市高二上学期1月期末调研考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省开封市高二上学期1月期末调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点B是点A(1,2,3)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|=(

)A.5 B.10 C.132.设a∈R，则“a=0”是“直线x+2ay−1=0与直线(3a−1)x−ay−1=0平行”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用矩形ABCD截某圆锥得到的椭圆E与该矩形的四边相切，且该矩形的长：宽为2:1，则椭圆E的离心率为(

)A.12 B.22 C.4.△ABC中，A(−5,0)，B(3,2)，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为(

)A.x+4y+3=0 B.4x+y+3=0 C.x−4y+5=0 D.4x−y+5=05.已知直线l与圆O:x2+y2=5相交，且直线l被圆O所截得的弦长为4A.x+2y+5=0 B.x+2y+5=0 C.x+2y+2=06.已知数列{an}的首项a1=3，且满足A.191 B.193 C.1023 D.10257.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1A.AC B.AC1 C.A18.已知等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则A.A+B=C B.A+C=2B C.2A+C=3B D.3(B−A)=C二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知经过A(0,2)，B(−m,−1)两点的直线l的一个方向向量为(1,m)，则直线l的倾斜角可能为(

)A.π6 B.π3 C.2π310.平面内与两定点A1(−a,0)，A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2A.若m=−1，C是圆心在原点的圆

B.若m<−1，C是焦点在x轴上的椭圆

C.若−1<m<0，C是焦点在x轴上的椭圆

D.若m>0，C是焦点在x轴上的双曲线11.已知数列{Fn}满足：F1=1，A.3F4=F2+F6 三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。12.(1)圆C的圆心在x轴上，且经过A(0,1)，B(2,1)两点，则圆C的标准方程为_________．(2)已知等比数列{an}的公比为−12，前n项和为S(3)已知A，B为双曲线C的左，右顶点，点M在C上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，写出C的一条渐近线方程_________．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题12分)

如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记OA=a，OB=b，OC(1)用a，b，c表示向量AN(2)求|14.(本小题12分)已知{an}是等差数列，且a(1)求{an(2)设数列bn=1ana15.(本小题12分)已知A，B两点的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2．(1)求点M的轨迹方程;(2)若经过点F(0,34)的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，OC⊥OD，O为坐标原点，求线段16.(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，M是(1)求AA1(2)若N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点，Q(ⅰ)求A(ⅱ)求直线PQ到平面A1CM17.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，利用公式x′=ax+by,y′=cx+dy, ①(其中a，b，c，d为常数)，将点P(x,y)的坐标变换为点P′(x′,y′)，我们称该变换为线性变换，也称 ①为坐标变换公式，该变换公式 ①可由a，b，c，d组成的正方形数表abcd唯一确定，我们将abcd，称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母(1)已知点P0(2,0)按照二阶矩阵A=0−110变换n(2)如图，将点P(x,y)绕原点O按逆时针旋转α角得到点P′(x′,y′)(到原点距离不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵B;(3)如图，y轴与直线y=34x是函数y=34

参考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.B

6.D

7.C

8.D

9.BC

10.ACD

11.ACD

12.(1)(x−1)2+y2=2；13.解：(1)AN=ON−OA14.解：(1)由a1+a3+a5=15得3a3=15，a3=5，

由a2+a4+a6−(a1+a3+a5)=21−15得，15.解：(1)设M(x,y)，

则kAM=yx+1，kBM=yx−1，

所以yx+1−yx−1=2(x≠±1)，化简得y=−x2+1(x≠±1);

(2)易知直线l的斜率存在，记为k，设直线l的方程为：y=kx+34，C(x1,y1)，D(x2,y2)，

联立y=−x16.解：(1)如图，分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系A−xyz，

记AA1=a，则C(2,0,0)，B(0,2,0)，M(0,1,0)，A1(0,0,a)，BC中点D(1,1,0)

因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，

又AD⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面BCC1B1

所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD=(1,1,0)为平面BCC1B1的一个法向量，

又CA1=(−2,0,a)，CM=(−2,1,0)，

设n=(x,y,z)为平面A1CM的法向量，

有n⋅CA1=0,n⋅CM=0,则−2x+az=0,−2x+y=0,

令x=1，所以平面A1CM的一个法向量n=(1,2,2a)，

所以cos<n，A1N>=n⋅AD|n||AD|=35+4a2·2，

17.解：(1)记Pn(xn,yn)，由题意得x1=0+0,y1=1×2+0,即P1=(0,2)，

x2=0−1×2,y2=0+0,即P2=(−2,0);

(2)设OP=OP′=r，∠POx=θ，则x=rcosθ，y=rsinθ，∠P′Ox=θ+α，

故x′=rcos(θ+α)=rcosθc