中考必会几何模型：婆罗摩笈多模型资料

婆罗摩笈多模型模型讲解【结论1】(知中点得垂直)如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，过点B的直线分别交AD，CE于点N，M，M是CE的中点，则MN⊥AD.【证明】如图，延长BM至点P，使MP=BM，连接EP.∴△BMC≌△PME(SAS)，∴BC=PE，∠BCM=∠PEM.∴BC∥PE.∴∠CBE+∠PEB=180°.又∵∠CBE+∠ABD=360°-90°-90°=180°，∴△∠PEB=∠ABD.在△PEB与△ABD中，PE=AB

∴△PEB≌△ABD

∴∠PBE=∠ADB.又∵∠PBE+∠NBD=180°-90°=90°，

∴∠ADB+∠NBD=90°.

∴∠BND=90°,即MN⊥AD.【结论2】（知垂直得中点）如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，过点B的直线分别交AD，CE于点N，M，MN⊥AD，则点M是CE的中点.【证明】如图，过点C作CP⊥MN，交MN于点P，过点E作EQ⊥MN，交NM的延长线于点Q.易证△ANB≌△BPC，△DNB≌△BQE(一线三垂直模型）.∴CP=BN，EQ=BN.∴CP=EQ.在△CPM与△EQM中，∠C∴△CPM≌△EQM(AAS).∴CM=EM,即点M是CE的中点.典型例题典例1如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM.典例2定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的中线AM叫做△ADE的“顶心距”.特例感知：(1)在图2、图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM，AN分别是“顶心距”.①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=_____DE;②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为_________.猜想论证：(2)在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明.拓展应用：(3)如图4，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”?若存在，请给予证明，并求出△PBC的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由.典例3已知△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°.连接AD，BC，点H为BC的中点，连接OH.(1)证明OH=12AD(2)将△COD绕点O旋转到图2、图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系？选择一个图形并证明你的结论.初露锋芒如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连接EF.试猜想线段AD与EF的关系，并证明.我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'.当a+β=180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.特例感知：(1)在图2、图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=________BC；②如图3，当△BAC=90°，BC=8时，AD的长为_________.(2)猜想论证：在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.(3)如图4，在四边形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC=12,CD=2感受中考(2020江苏宿迁中考真题)【感知】如图1，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：AE【探究】如图2，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且EFEG=AEEB【拓展】如图3，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且AEEB=2.(2020黑龙江中考模拟)以Rt△ABC的两边AB，AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于点M，延长MA交EG于点N.(1)如图1，若∠BAC=90°，AB=AC，求证：EN=GN.如图2，∠BAC=90°；如图3，∠BAC≠90°，(1)中结论是否成立？若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由.婆罗摩笈多是一个非常重要的模型，主要强调的是两个等腰直

角

三角形的手拉手，知中点证垂直，知垂直证中点，涉及相对应的辅助线，知中证垂可倍长，知垂证中可继续作垂直.这是一个相对复杂的几何模型，我们需要左右两边同时去构造全等或相似，所以一定要注意这个细节。参考答案典例1【解析】如图，延长AM至点N，使MN=AM，连接BN.∵点M为BC的中点，∴CM=BM.在△AMC和△NMB中，AM=MN∴△NMB≌△AMC(SAS)，∴AC=BN，∠C=∠NBM.∵AB⊥AE，AD⊥AC,∴∠EAB=∠DAC=90°,∴∠EAD+∠BAC=180°,∴∠ABN=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.在△EAD和△ABN中，AE=AB∴△EAD≌△ABN(SAS)，∴DE=AN=2AM.典例2【解析】(1)①当∠BAC=90°时，∠DAE=180°-∠BAC=90°.∵AB=AC=AD=AE，∴BC=DE.∵AM是BC边上的中线，∴AM=12BC=12故AM与DE之间的数量关系为

AM=12②当∠BAC=120°时，∠DAE=180°-∠BAC=60°.∵AB=AC，BC

=6，∴BM=12BC=3，∴AB=BMcos30°=332∴AD=AE=AB=23.又∵∠DAE=60°，∴∠ADE是等边三角形.∵AN是△ADE的边DE上的中线，∴AN⊥DE，∴AN=ADsin60故AN的长为3.(2)当∠BAC为任意角时，AM与DE之间的数量关系为AM=1设∠BAC=α，则∠DAE=180°-∠BAC=180°-α.∵AB=AC=AD=AE，AM，AN分别为△ABC，△ADE的中线，∴AM⊥AN⊥DE，DN=EN=∴∠D=90∵AM=AB⋅cos∠BAM=AB⋅cos1DE=2DN=2AD⋅cosD=2AD⋅cos12∴AMDE=12故当△BAC为任意角时，AM与DE之间的数量关系为AM=1(3)存在.如图，连接AC，取AC的中点P，连接PD，PB，作△PAD的中线PE，△PBC的中线PF，则点P即为所求.证明：∵AD=AB，CD=BC，AC=AC，∴△ACD≌△ACB(SSS),∴∠DAC=∠BAC=12∴PD=PA=PC=PB，∠APD=120°，∠BPC=60°，即∠APD+∠BPC=180°,故在四边形ABCD的内部存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”，△PBC的“顶心距”的长PE=1典例3【解析】(1)∵△AOB与△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB.在△AOD与△BOC中，O∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴∠OAD=∠OBC，BC=AD.∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB=∴∠OBH=∠HOB=∠又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠ADO+∠BOH=90°，∴OH⊥AD.2①如图1，延长OH到点E，使得HE=OH，连接BE.∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△BEH和△COH中，EH=OH∴△BEH≌△COH(SAS)，∴BE=CO，∠EBC=∠BCO，∴∠OBE=∠EBC+∠OBC=∠BCO+∠OBC=180°-∠BOC.∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOD=180°-∠BOC=∠OBE.又OB=OA，BE=OC=OD，∴△BEO≌△ODA(SAS),∴OE=AD，∴OH=12OE=12由△BEO≌△ODA知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°,∴OH⊥AD.②如图2，延长OH到点E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于点G.∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△BEH和△COH中，HE=OH∴△BEH≌△COH(SAS),∴BE=CO，∠EBC=∠BCO，∴∠OBE=∠EBC+∠OBC=∠BCO+∠OBC=180°-∠BOC.∴∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOD=180°-∠BOC=∠OBE.又OB=OA，BE=OC=OD，∴△BEO≌△ODA(SAS),∴OE=AD,∴OH=由△BEO≌△ODA知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOG=∠EOB+∠AOG=90°,∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD.初露锋芒1.【解析】猜想：EF=2AD，EF⊥AD.证明：如图，延长AD到点M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于点N.∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ABD和△MCD中，AD=DM∴△ABD≌△MCD(SAS)，∴AB=MC，∠BAD=∠M.∵AB=AE，∵AE=MC.∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°.∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°,∴∠BAC+∠EAF=180°.∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°,∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°,即∠BAC+∠MCA=180°，∴∠EAF=∠MCA.在△AEF和△CMA中，AF=AC∴△AEF≌△CMA(SAS)∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD.∵∠CAF=90°,∴∠CAM+∠FAN=90°.又∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠FAN=90°,∴∠ANF=90°,∴EF⊥AD.2.【解析】(1)①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=AB'=AC'，∠BAC=60°.∵AD是△ABC的“旋补中线”，∴DB'=DC',∴AD⊥B'C'.∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B'AC'=180°,∴∠B'AC'=120°,∴∠B'=∴C'=30°,∴AD=②∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B'AC'=180°,∴∠B'AC'=∠BAC=90°.∵AB=AB'，AC=AC',∴△BAC≌△B'AC'(SAS),∴BC=B'C'.∵B'D=DC',∴AD=(2)猜想：AD=理由：如图，延长AD到点M，使得AD=DM，连接B'M，C'M.∵B'D=DC'，AD=DM,∴四边形AC'MB'是平行四边形，∴AC'=B'M=AC.∵∠BAC+∠B'AC∴∠BAC=∠AB'M.在△BAC和△AB'M中，AB=A∴△BAC≌△AB'M(SAS),∴BC=AM.∴AD=(3)存在.理由：如图，延长AD，BC交于点M，作BE⊥AD于点E，作线段BC的垂直平分线交BE于点P，交BC于点F，连接PA，PD，PC，作△PCD的中线PN，连接DF交PC于点O.∵∠ADC=150°,∴∠MDC=30°.在Rt△DCM中，∵CD=23,∠DCM=90°,∴CM=2,DM=4,∠M=60°.在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM=14,∠M=60°,∴∠MBE=30°,∴EM=∴DE=EM-DM=3.又∵AD=6，∴AE=DE=3.又∵BE⊥AD，∴PA=PD.∵PF垂直平分BC，∴PB=PC.在Rt△CDF中，`∵CD=23，CF=6，∴tan∠CDF=3,∴∠CDF=60°,∴∠ADF=90°=∠AEB,∴OF∥EB,∴∠CBE=∠CFD.又∵∠CBE=∠PCF,∴∠CFD=∠PCF.∵∠CFD+∠CDF=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∴∠CPF=∠CDF=60°.易证△FCP≌△CFD，∴CD=PF.∵CD∥PF,∴四边形CDPF是平行四边形.∵∠DCF=90°,∴∠CDP=90°.∴∠ADP=∠ADC-∠CDP=60°,∴△ADP是等边三角形，∴∠APD=60°.∵∠BPF=∠CPF=60°,∴∠BPC=120°.∴∠APD+∠BPC=180°,∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”.在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6,∴PN=感受中考1.【解析】【感知】：∵∠C=∠D=∠AEB=90°,∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°,∴∠BEC=∠EAD.∴Rt△AED∽Rt△EBC,∴AE【探究】如图，过点G作GM⊥CD于点M.由(1)同理可知EF又∵EF∴DE∴BC=GM.又∵∠C=∠GMH=90°，∠CHB=∠MHG,∴△BCH≌△GMH(AAS)，∴BH=GH.【拓展】如图，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG.∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°,∠EFA=∠AEB,∴∠EAF=∴BEM,∴△AEF∽△EBM,∴AE∵∠BMG+∠BME=180°,∠EFA+∠DFE=180°,∠BME=∠AFE,∴∠BMG=∠EFD.又∵∠N=∠BMG，∴∠N=∠EFD.∵∠AEB+∠EDC=180°,∠EFA+∠EFD=180°,而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD.∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°,∴∠EDF=∠CEN,∴△DEF∽△ECN,∴DE又∵AE∴EF∴BM=CN.又∵∠N=∠BMG，∠BGM=∠CGN，∴△BGM≌△CGN(AAS),