2025年中考数学总复习《平移问题》专项测试卷含答案

第第页2025年中考数学总复习《平移问题》专项测试卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识与方法平移变换的定义：在平面内，把图形M上的所有点按一定方向移动一定的距离，形成图形M'的几何变换，就是平移变换，简称平移.平移变换的性质：①平移前后图形的对应线段平行且相等,对应角相等(如图2-1-1①,AB=A'B',AB∥A'B');②平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等(如图②，△ADE≌△BCE');③平移前后图形的对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等(如图①，AA平移变换的要素：平移方向和平移距离.典例精析例1如图2-1-2,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD方向平移,得到△EGF,连接EC,GC.则EC+GC的最小值为.【简析】连接ED，由平移的性质易得，四边形EGCD是平行四边形,∴EC+GC的最小值=EC+ED的最小值,点E在过点A且平行于BD的定直线上，由将军饮马模型易得EC+GC的最小值为3进阶训练1.如图2-1-3,在边长为4的正方形ABCD中,将△ABD沿射线BD平移,得到△EGF,连接EC,GC.则EC+GC的最小值为.2.如图2-1-4,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在△ACB的外角平分线CD上,连接AA'.(1)判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∠BAC= 答案：3典例精析例2如图2-1-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为CB,CA边上的点,且AE=BC,BD=CE,BE与AD的交点为P,则∠APE的度数为答案:45°【简析】题目出现了2组相等线段，显然必须设法将这些可用条件集中到特殊图形中去，进而利用新构造的特殊图形的特殊性质去解题.本题中的2组相等线段还隐藏有特殊的位置关系——垂直，可猜想将一些线段进行平移后构造出等腰直角三角形进行解题，本题思路达成.解法一：平移线段BD.如图2-1-6①,将线段BD沿射线DA方向平移,得到线段AF,连接BF,EF.∵由平移可知BD=AF,BD∥AF,∴四边形ADBF为平行四边形.∴AD∥BF.∴∠APE=∠EBF,∠C=∠EAF=90°.∵BD=CE,∴AF=CE.在△BCE和△EAF中,∵AF=CE,∠C=∠EAF=90°,AE=BC,∴△BCE≌△EAF(SAS).∴∠AEF=∠CBE,EF=BE.∵∠CBE+∠CEB=90°,∴∠AEF+∠CEB=90°,即∠BEF=90°.∴△BEF为等腰直角三角形.∴∠EBF=45°.∴∠APE=45°.本题基本图形有图2-1-6②③④.解法二：平移线段CE.如图2-1-7①,将线段CE沿射线CB方向平移,得到线段BF,连接AF,EF,PF,DF.由平移可得四边形BCEF为矩形，还可得△BDF和△AEF为等腰直角三角形，由相似之“一转成双”可知,△ADF∽△EBF,即∠DAF=∠BEF,由“8字型”可得∠APE=∠AFE=45°.本题基本图形有图2-1-7②③④.本题还有很多平移构造法，如平移线段AE或平移线段BC等，自行尝试一下还有哪些方案可行，此处不一一赘述.反思与总结平移可以把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件相对集中起来，让条件具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形.这样我们就可以利用平移后产生的图形性质对图形进行研究，从而使问题得到转化. 进阶训练3.如图2-1-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果在线段CB,CA上分别有点D,E,满足AE=12BC,BD=12CE,4.如图2-1-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果在线段CB,CA上分别有点D,E,满足BC=3AE,CE=3BD,BE与AD交于点P,则tan∠5.已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.(1)如图2-1-10①,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD(点C,F在直线AB的两侧),连接DF,CF.①依题意补全图①；②判断△CDF的形状并证明.(2)如图②,E是直线BC上的一点,直线AE,CD相交于点P,且∠APD=45°.求证:BD=CE.6.已知:在正方形ABCD的边BC上任取一点F(点F不与B,C重合),连接AF,一条与AF垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E.(1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时,如图2-1-11①所示.求证:AE=BF;(2)当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q,连接FQ,如图②所示.求∠AFQ的度数;(3)直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示.设AB=2,BF=x,DG=y,求y与x之间的函数关系式.参考答案 |进阶训练|1.452.解:(1)四边形ACC'A'是菱形.理由如下：由平移的性质得到：AC∥A'C'，且AC=A'C',∴四边形ACC'A'是平行四边形.∴AA'∥CC'.∴∠A∵点A'落在△ACB的外角平分线CD上,∴∠AC∴∠A∴AC=AA'.∴四边形ACC'A'是菱形.(2)∵在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∴即24∴AC=26.∴BC=又由(1)知,四边形ACC'A'是菱形,∴AC=A由平移的性质得到：A∴C12[解析]解法一：平移线段BD.如图①，将线段BD沿射线DA方向平移，得到线段AF，连接EF，BF，则四边形AFBD为平行四边形，可证得△AEF，可得△则tan解法二：平移线段AE.如图①，将线段AE沿射线EB方向平移,得到线段BF,连接AF,DF,则四边形AEBF为平行四边形,可证得△BFD∽△CBE,相似比为12，可得△ADF为直角三角形，且tan∠DAF=1此解法基本图形如图：(本题还有很多平移构造法，不再一一展示) 4.5.解:(1)①补全图形,如图①所示.②结论：△CDF是等腰直角三角形.证明:∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∴∠FAD=∠DBC.在△FAD和△DBC中AF=BD,∴△FAD≌△DBC.∴FD=DC,∠1=∠2.∵∠1+∠3=90°,∴∠2+∠3=90°,即∠CDF=90°.∴△CDF是等腰直角三角形.(2)证明:如图②,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DF,CF.由(1)②可知△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=∠APD=45°.∴FC∥AE.∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∴AF∥CE.∴四边形AFCE是平行四边形.∴AF=CE.∴BD=CE.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠BAD=90°.∵DE⊥AF,∴∠APD=90°.∴∠PAD+∠ADE=90°,∠PAD+∠BAF=90°.∴∠BAF=∠ADE.∴△ABF≌△DAE(ASA),∴BF=AE.(2)如图①,连接AQ,CQ.∵四边形ABCD是正方形，∴BA=BC,∠ABQ=∠CBQ=45°.∵BQ=BQ,∴△ABQ≌△CBQ(SAS).∴QA=QC,∠BAQ=∠QCB.∵EQ垂直平分线段AF,∴QA=QF.∴QF=QC.∴∠QFC=∠QCF.∴∠QFC=∠BAQ.∵∠QFC+∠BFQ=180°,∴∠BAQ+∠BFQ=180°.∴∠AQF+∠ABF=180°.∵∠ABF=90°,∴∠AQF=90°.∴∠AFQ=∠FAQ=45°.(3)如图②,过点E作ET⊥CD于T,则四边形BCTE是矩形.∴ET=BC,∠BET=∠AET=90°.∵