九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）-重难点专项突破06相似三角形中的“8”字模型（3种题）（解析版）

重难点专项突破06相似三角形中的“8”字模型（3种题）【题型细目表】题型一：8字-平行型（1）直接利用“8”字型解题（2）添加辅助线构造“8”字模型解题题型二：8字-不平行型【知识梳理】8字_平行型条件：CD∥AB,结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件：CD∥AB,PD=PC.结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等；四边形ABCD为等腰梯形；8字_不平行型条件：∠CDP=∠BAP.结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);【考点剖析】题型一：8字-平行型（1）直接利用“8”字型解题例1.如图，在平行四边形中，点在边上，若，则 ．【答案】．【解析】，可知， 由，可知，故．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型．例2.如图，为对角线上任意一点．求证：．【解析】证明：四边形为平行四边形，，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有，．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例3.如图，在平行四边形中，的延长线上有一点，交于点，交 于点．求证：．【解析】证明：四边形为平行四边形，，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：，．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例4.如图，点在线段上，和都是等边三角形． 求证：（1）； （2）．【解析】证明：（1）和是等边三角形，．∵点在线段上，．，．（2）同（1）易证得，则有．和是等边三角形，，，．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例5.如图，已知．，，求的长．（用、的代数式表示）．【答案】．【解析】由，则有， 即，得．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．例6.如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交 的延长线于点，交于点，求的值．【答案】．【解析】由，可得，即， 故，由， 可得：．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．例7.如图，，，，求的值．【答案】．【解析】由，得：，又， 可得，故．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．例8.过的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E．求证：．AABCDEF【解析】过点作交于点．，；是中线，，；．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．例9.如图，AD是的内角平分线．求证：．AABCDM【解析】过点作交的延长线于点． ， 是角平分线 ； ．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．题型二：8字-不平行型例10.如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFB∽△DFC，然后利用等角的补角相等得出∠AEC＝∠ADB，最后证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可．【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴EFDF∴EF•FC＝DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴BECD∴BE•CF＝CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴ABAC∴AB•AE＝AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2023•包河区二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（）​A． B． C． D．【分析】在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，根据DE＝DC，可得，再由AB∥CD得到△ABF∽△CEF，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE＝DC，∴，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．2．（2021秋•亳州期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形成立的有（）①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【分析】①根据等边三角形的性质可得∠CBD＝∠ABE，然后利用手拉手模型﹣旋转型相似证明△BCD∽△BEO；②利用8字模型相似三角形证明△AOD∽△EOB；③利用②的结论可得＝，然后利用两边成比例且夹角相等证明△AOE∽△DOB；④利用两角相等的两个三角形相似证明△BOD∽△BDA．【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴∠C＝∠ABC＝∠CAB＝60°，∠EDB＝∠DBE＝∠DEB＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，∴∠CBD＝∠ABE，∴△BCD∽△BEO，故①正确；∵∠AOD＝∠BOE，∠DAB＝∠DEB＝60°，∴△AOD∽△EOB，故②正确；∵△AOD∽△EOB，∴＝，∵∠AOE＝∠DOB，∴△AOE∽△DOB，故③正确；∵∠DBA＝∠DBO，∠DAB＝∠ODB＝60°，∴△BOD∽△BDA，故④正确；所以，上列相似三角形成立的有4对，故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型相似，8字模型相似三角形是解题的关键．3．（2022•砀山县模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，E为AB的中点，CE交BD于点F，且∠ADB＝∠BCE，则BF的长为（）A． B． C． D．【分析】根据菱形的性质可得AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，AD∥BC，从而可得∠ADB＝∠FBC，进而可得∠FBC＝∠FCB，然后利用等腰三角形的判定可得FB＝FC，再证明8字模型相似三角形△BEF∽△DCF，从而利用相似三角形的性质可得＝，再设EF＝x，则BF＝FC＝2x，最后根据菱形的性质可得∠ADB＝∠ABD，从而可得∠ABD＝∠BCE，进而可证明△BEF∽△CEB，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBC，∵∠ADB＝∠BCE，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵E为AB的中点，∴BE＝AB＝1，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠FDC，∠BEF＝∠DCE，∴△BEF∽△DCF，∴＝，∴FC＝2EF，∴FB＝2EF，设EF＝x，则BF＝FC＝2x，∴EC＝EF+CF＝3x，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCE，∵∠BEF＝∠BEF，∴△BEF∽△CEB，∴，∴BE2＝EF•EC，∴12＝x•3x，∴或x＝﹣（舍去），∴BF＝2x＝，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．（2021秋•安徽月考）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A．16 B．17 C．24 D．25【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．故选：A．【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．二．填空题（共8小题）5．（2022•宣州区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为8．【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ADF是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8．【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF＝∠DAF，∵AB∥DF，∴∠BAF＝∠F，∴∠F＝∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．∴EC＝FC＝9﹣6＝3，∴AB＝BE．∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2，又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故答案为8．【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．6．（2022秋•安徽期中）如图，BD是△ABC的中线，点F在BD上，延长AF交BC于点E．（1）若点E为BC中点，则＝2．（2）若BF＝3DF，则＝．【分析】（1）过点D作DG∥BC，交AE于点G，根据三角形的中线定义可得AD＝DC，从而利用平行线分线段成比例的推论可得AG＝GE，进而可得DG是△AEC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DG＝EC，再根据线段中点的定义可得BE＝EC，最后再证明8字模型相似三角形△FDG∽△FBE，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论可得DG＝EC，△FDG∽△FBE，然后利用相似三角形的性质可得BE＝3DG，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点D作DG∥BC，交AE于点G，∵BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，∴AG＝GE，∴DG是△AEC的中位线，∴DG＝EC，∵点E为BC中点，∴BE＝EC，∴DG＝BE，∵DG∥BC，∴∠DGF＝∠FEB，∠GDF＝∠DBE，∴△FDG∽△FBE，∴＝＝2，故答案为：2；（2）由（1）得：DG＝EC，△FDG∽△FBE，∴＝＝3，∴BE＝3DG，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2021秋•舒城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，则＝2．【分析】利用平行四边形的性质先求出＝，再证明8字模型相似三角形△AEF∽△CEB，然后利用相似三角形的性质求出＝＝，即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，AO＝CO＝AC，∵E为OA的中点，∴AE＝AO，∴＝，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠AFB＝∠FBC，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝，∴＝，∴＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．8．（2023•瑶海区二模）Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，点F为BC中点，∠CBE＝∠CAF，BC＝2．（1）写出一对相似三角形△CBE∽△CAF；（2）AC的长为．【分析】（1）由已知、根据“两角对应相等的两三角形相似”可得结论；（2）设CE＝x，由△BCE∽△ACF，可得：AC＝，从而可得：tanA＝＝x，过点E作ED⊥AB于点D，由角平分线的性质得：DE＝CE＝x，证明Rt△BED≌Rt△BEC，得到：BD＝BC＝2，在Rt△ADE中，由边角关系得到：AD＝1，从而AB＝AD+BD＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出AC的长．【解答】解：（1）∵∠CBE＝∠CAF，∠C＝∠C，∴△CBE∽△CAF，故答案为：△CBE∽△CAF．（2）∵点F为BC中点，BC＝2，∴CF＝BF＝BC＝1，设CE＝x，∵△BCE∽△ACF，∴，∴AC＝＝，∴tanA＝＝x，过点E作ED⊥AB于点D，如图，则∠ADE＝∠BDE＝90°，∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，∴DE＝CE＝x，∴在Rt△BED和Rt△BEC中，，∴Rt△BED≌Rt△BEC（HL），∴BD＝BC＝2，在Rt△ADE中，AD＝＝＝1，∴AB＝AD+BD＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．（2022秋•无为市期中）如图，已知矩形ABCD对角线AC和BD相交于点O，点E是边AB上一动点，CE与BD相交于点F，连结OE．（1）若点E为AB的中点，则＝；（2）若点F为OB的中点，则＝2．【分析】（1）根据矩形的性质可得点O是AC的中点，再结合已知可得EO是△ABC的中位线，从而可得EO＝BC，EO∥BC，然后证明8字模型相似三角形可得△EOF∽△CBF，利用相似三角形的性质进行计算即可解答；（2）过点O作OG∥EC，交AB于点G，利用平行线分线段成比例可得AG＝EG＝BE，即可解答．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴点O是AC的中点，∵点E为AB的中点，∴EO是△ABC的中位线，∴EO＝BC，EO∥BC，∴∠EOF＝∠OBC，∠OEF＝∠ECB，∴△EOF∽△CBF，∴＝＝，故答案为：；（2）如图：过点O作OG∥EC，交AB于点G，∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵OG∥EC，∴AG＝GE，∵点F是OB的中点，∴OF＝BF，∵EF∥OG，∴BE＝EG，∴AG＝EG＝BE，∴＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．（2020•大通区模拟）如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA＝3：1，BC＝10，则AE的长为5．【分析】先根据平行线分线段成比例求出BF：AE的值，再根据D是AC的中点得到CF与AE相等，列出等式求解即可．【解答】解：∵AE∥BC∴△AEG∽△BFG∴BG：GA＝3：1＝BF：AE∵D为AC边上的中点∴AE：CF＝1：1∴AE＝CF∴BF：AE＝（CF+BC）：AE＝3：1∴（AE+10）：AE＝3：1解得：AE＝5．【点评】本题主要利用三角形的相似及中点的性质求AE的值．11．（2022•庐阳区二模）已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，且∠BAD＝90°，连接AC、BD交于点O．①若AB＝BC，则＝1；②若AB＝AC，则＝．【分析】①首先根据已知条件可以证明四边形为正方形，然后利用正方形的性质求解；②首先利用已知条件可以得到△ACD为等边三角形，然后利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解．【解答】解：①当AB＝BC时，如图一，∵AB＝AD＝CD，且∠BAD＝90°，∴四边形ABCD为正方形，∴OB＝OD，∴＝1；②当AB＝AC时，如图二，过B作BF⊥AC于F，过D作DE⊥AC于E，则DE∥BF，∴＝，∵AB＝AD＝CD，AB＝AC，∴△ACD为等边三角形，且∠BAD＝90°，∴∠CAD＝60°，∠BAC＝30°，DE＝AD，BF＝AC，又AD＝AC，∴＝＝．故答案为：①1；②．【点评】本题主要分别考查了正方形的性质，等边三角形的性质及解直角三角形的知识．综合性比较强，对于学生的要求比较高．12．（2023•庐阳区一模）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝2；若∠CMF＝60°，则＝2．【分析】（1）连接BD，根据相似三角形计算即可；（2）把60°的角放到直角三角形中，所以过C作CN⊥AM所在直线，利用角平分线的性质求解即可．【解答】解：（1）连接BD，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠MEB＝∠MCD，∠MBE＝∠MDC，∴△MCD∽△MEB，∴，∵E为AB中点，∴；（2）过点C作CN⊥AF，交AF的延长线于点N，如图2，在Rt△CMN中，∠CMF＝60°，∵sin60°＝，cos60°＝，∴，，即CM＝2MN，∵AE＝CF，BA＝BC，∴BA﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF，∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS），∴∠FAB＝∠ECB，∵∠AME＝∠CMF，AE＝CF，∴△AME≌△CMF（AAS），∴EM＝FM，∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N＝90°∴∠FAB＝∠FCN，∴∠MCF＝∠NCF，过点F作FG⊥CE于点G，∴FG＝FN，∠FMG＝∠MCN，∴cos∠FMG＝cos∠MCN＝，∵，∴，∵＝，MF＝EM，∴＝＝2+2×＝2+2×＝2+．故答案为：2；2+．【点评】本题考查的是正方形的综合题，解题的关键是从题中找到作出正确的辅助线CN．三．解答题（共6小题）13．（2022•芜湖一模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．【分析】根据8字模型相似三角形证明△BDE∽△ACE，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：BD∥AC，∴∠D＝∠ACD，∠A＝∠ABD，∴△BDE∽△ACE，∴，∴，解得：AC＝8，答：井深AC的长为8米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．14．（2021秋•包河区校级期末）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．（1）求证：△AOB∽△COE；（2）求证：BO2＝EO•FO．【分析】（1）由题意可直接得到结论；（2）由相似三角形的性质可得，通过证明△AOF∽△COB，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COE；（2）∵△AOB∽△COE，∴，∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴，∴，即OB2＝OF•OE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．15．（2022秋•庐阳区校级期中）如图是小孔成像实验，火焰AC通过小孔O照射到屏幕上，形成倒立的平行实像，像长BD＝3cm，OA＝50cm，OB＝10cm，求火焰AC的长．【分析】把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出火焰AC的长．【解答】解：∵AC∥BD，∴△OAC∽△OBD，∴BD：AC＝OB：OA，即3：AC＝10：50，∴AC＝15．答：火焰AC的长为15cm．【点评】此题属于实际应用问题，主要考查了相似三角形的应用，解此题的关键是将实际问题转化为数学问题解答，利用相似三角形的性质解答，相似三角形的对应边成比例．16．（2023•蜀山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长，交AC于点F．（1）如图1，当a＝1时，①求证：∠ECD＜45°；②求证：；（2）如图2，若D是BC的中点，求tan∠CEF的值（用含a的代数式表示）．【分析】（1）①由tan∠ABC＝＝1得，∠ABC＝45°，由外角定理得∠EDC＝45°+∠BAD，从而∠ECD＝90°﹣∠EDC＜45°．②过点B作BH∥AC，交CE的延长线于H，证明△ACD≌△CBH，得到BH＝CD，再证明△BEH∽△FEC，得到，即可得结论．（2）过点B作BM⊥CE，交CE的延长线于M，设BC＝2m，证明△BCM∽△DAC，表示出BM、CM、EM的长，tan∠CEF＝tan∠BEM＝求得结果．【解答】（1）①证明：∵∠ACB＝90°，tan∠ABC＝＝1，∴AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠EDC＝∠ABC+∠BAD＝45°+∠BAD，∴∠EDC＞45°，∵CE⊥AD于点E，∴∠DEC＝90°，∴∠ECD＝90°﹣∠EDC，∴∠EDC＜45°．②证明：如图1，过点B作BH∥AC，交CE的延长线于H，CH与AB交于G，∵∠ACB＝90°，∴∠CBH＝90°，∴∠BCH+∠ACE＝90°，∵CE⊥AD，∴∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠DAC＝∠BCH，又∵tan∠ABC＝＝1，∴BC＝AC，∴△ACD≌△CBH（ASA），∴BH＝CD．∵BH∥AC，∴△BEH∽△FEC，∴，∴．（2）解：如图2，过点B作BM⊥CE，交CE的延长线于M，则∠BMC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCM+∠ACE＝90°，∵CE⊥AD，∴∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠BCM＝∠DAC，∴△BCM∽△DAC，∴．设BC＝2m，∵D是BC中点，∴BD＝CD＝m，∵tan∠ABC＝＝a，∴AC＝2am，∴AD＝＝＝m，∴，∴BM＝，CM＝，∵BM∥AD，D是BC中点，∴ME＝CE＝，∴tan∠CEF＝tan∠BEM＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性比较强，合理添加辅助线，把所学知识串联起来熟练运用是解题的关键．17．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴