黑龙江省六校2025届高三上学期期末联合考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页黑龙江省六校2025届高三上学期期末联合考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“a=0”是“复数a+bia,b∈R是纯虚数”的(

)A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.设集合P={y|y=ex+1}，M={x|y=log2(x−2)}，则集合MA.M=P B.P∈M C.M⊆P D.P⊆M3.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+aA.140 B.150 C.160 D.1804.已知O为坐标原点，F为抛物线E:x2=2pyp>0的焦点，A为E上的一点，AF垂直于y轴，B为y轴上一点，且∠BAO=90∘，若A.3 B.23 C.45.已知cosαsinβ=16A.−79 B.−13 C.6.已知函数fx=logax,x≥1,−x2+2A.2,3 B.2,3 C.2,+∞ D.1,47.已知(x22−x−A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项8.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EF/​/AB，AB=2EF=2，ΔADE与ΔBCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为(

)

A.11π8 B.11π6 C.11π4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.维生素C又叫抗坏血酸，是种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量(单位：mg)，得到数据如下：猕猴桃：102 104 106 107 113 116 119 121 132 134柚

子：109

113

114

116

117

121 121 122 131 132

则下列说法正确的是(

)A.每100克柚子维生素C含量的众数为121

B.每100克柚子维生素C含量的75%分位数为122

C.每100克猕猴桃维生素C含量的极差高于每100克柚子维生素C含量的极差

D.每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数10.已知F1，F2分别是双曲线x2−y22=1的左、右焦点，M是左支上一点，且在x在上方，过F2作A.若∠MF1F2=π2，则直线MN的斜率为−3

B.若∠MF1F2=π211.已知函数fx=ax3−6axA.a的取值范围是−∞,132 B.a的取值范围是132,+∞

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.平面向量a，b为单位向量，且a−2b⋅a+b=−113.已知函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，f(x)在0,π上恰有414.以maxMminM表示数集M中最大(小)的数.设a>0,b>0,c>0，已知a2c+b2c=1，则四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=a,c−b，b(1)求角C；(2)若c=32,▵ABC的面积为316.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60(1)求证：直线BD⊥平面PAC；(2)若点M为线段PC的中点，求二面角C−MB−A的正弦值．17.(本小题12分)已知函数f(x)=e(1)讨论fx(2)若fx在区间0,+∞上存在唯一零点x0，证明：x18.(本小题12分)某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以3:2取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为p0<p<1(1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？(2)在第6场比赛中，当p=23时，设甲所得积分为X，求(3)在第6场比赛中，记甲3:1取胜的概率为fp，求fp19.(本小题12分)已知椭圆E:x2a(1)若椭圆E过点2,2，求椭圆(2)若直线l1，l2均过点Ppn,00<pn<a,n∈N∗且互相垂直，直线l1交椭圆E于A,B两点，直线l2交椭圆E于C,D两点，M,N(ⅰ)求tn(ⅱ)记an=PQ，求数列1an的前n参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.C

8.D

9.ABC

10.AC

11.BD

12.513.4

14.3215.解：(1)由α//β可知由正弦定理，得aa+b即a2所以cosC=又C∈0,π所以C=2(2)由(1)知a2所以a+b2又S=1所以ab=6，所以a+b2=18+ab=24，即所以▵ABC的周长为a+b+c=3

16.解：(1)由PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD，得PA⊥BD，由底面ABCD是菱形，得BD⊥AC，又PA∩AC=A,AC,PA⊂平面PAC，所以直线BD⊥平面PAC．(2)在菱形ABCD中，AD=AB=2，∠BAD=60∘，则▵BADAC=2ABcos30∘=23以点A为坐标原点，直线Ax,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图：则A(0,0,0),B(3,1,0),P(0,0,2),C(MB=(设平面MBC的法向量为u=(x,y,z)，则MB⋅u=设平面MBA的法向量为v=(a,b,c)，则MB⋅v=设二面角C−MB−A的平面角为α，|cos则sinα=1−cos2

17.解：(1)由题意可知：

f(x)的定义域为R，且f′(x)=2e若a≤0，

则f′(x)=2e2x−a>0可知fx的单调递增区间为−∞,+∞若a>0，

令f′(x)>0，解得x>12lna2，

所以fx在12lna2,+∞上单调递增，

令即fx的单调递增区间为12ln综上所述：若a≤0，fx的单调递增区间为−∞,+∞若a>0，fx的单调递增区间为12ln(2)证明：

因为f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0所以存在唯一的x0∈0,+∞，

有f(x0若要证明x0<a−2，

则只需x0<e不妨设ℎx=e2x−令ux=ℎ′x=2e所以当x>0时，

ℎ′x所以ℎ′x所以当x>0时，

ℎx所以ℎx即当x0>0时，

有不等式综上所述：若f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0，则x

18.解：(1)记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件A，则PA(2)依题意X的可能取值为0,1,2,3，所以PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列为X0123P181616所以X的期望为E(3)依题意fp=C则f′p令f′(p)=0，得p=3当p∈0,34时，f′(p)>0当p∈34,1时，f′(p)<0，f所以fp在p=所以fp

19.解：(1)因为e=ca=2所以椭圆E的方程为x2因为椭圆E过点2,2，所以42所以椭圆E的方程为x2(2)(ⅰ)当直线l1,l2中一条直线的斜率不存在，