2024-2025学年北京市西城区高三上学期期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区高三上学期期末考试数学试题一、单选题：本大题共10小题，共40分。1.已知集合A=xx(x−3)>0，B=xx+2>0，那么集合A.(−2,+∞) B.(−2,3)

C.(−2,0)∪(3,+∞) D.(0,+∞)2.设i为虚数单位，a,b∈R，且a+bi=2i(1+i)，则a+b=(

)A.−4 B.0 C.−4i D.43.下列函数中，值域为R且为奇函数的是(

)A.y=x3+1 B.y=xsinx 4.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，点P(−1,2)在角α的终边上，则sin2α=(

)A.−45 B.45 C.−5.过点(2,1)的直线l与圆x2+y2−2x−3=0相交于A,B两点，那么当|AB|取得最小值时，直线A.x−y−3=0 B.x−y−1=0 C.x+y−3=0 D.x+y−1=06.在▵ABC中，则“AC⋅AB=AB2”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.若直线y=2x与双曲线C:x2a2−y2bA.1<e≤3 B.1<e≤5 C.8.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率(单位：W)可表示为P(z)=P0e−αz，其中P0为起始光功率(单位：W)，α为衰减系数，z为接收信号处与发射器间的距离(单位：km).已知距离发射器3.5km处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由z1km变到z2A.z2−z1=7 B.z29.若实数x,y满足x2−xy+1=0，则(

)A.x2+y2≥5 B.x210.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，A.W是平行四边形，且周长为22+25

B.W是平行四边形，且周长为32+25二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.设抛物线y2=8x的准线方程为

．12.在▵ABC中，若a=3，b=4，cosB=14，则sinA=13.若x+2xn的展开式中存在常数项，则正整数n的一个取值是

，且此时常数项等于

.(14.折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设AD=2OD=2，∠AOB=23π，则扇面(图中扇环)部分的面积是

，|OD−CB|=15.已知无穷数列an满足an+1①存在a1，使得集合n②存在a1，使得集合n③对于任意的a1，集合n④当a1=1时，集合其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，M、N(1)求证：MN//平面A1(2)若AB⊥A1C，求二面角17.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2，从条件①、条件②、条件(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间−π2,m条件①：f(0)=−1；条件②：函数f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2条件③：函数f(x)的一个零点为x=7π注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课.现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下：

男生女生选择不选择选择不选择排球50505030篮球25751565足球7525575乒乓球10901070假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率．(1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误．结论A：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿；结论B：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20；(2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为x1,x2,x3,x4，其方差为s1219.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A(1)求椭圆E的方程；(2)过点T且斜率为k的直线交椭圆E于点C,D，线段CD的垂直平分线交y轴于点Q，点Q关于直线CD的对称点为P.若四边形PCQD为正方形，求k的值．20.已知函数f(x)=ln(ax+1)−x，其中a>0(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的方程；(2)当a=2时，证明：对任意的t∈(0,+∞)，曲线y=f(x)总在直线y=x+t的下方；(3)若函数f(x)有两个零点x1,x2，且0<21.已知数列A:a1,a2,⋯,a2m为2m个数1,2,⋯,2m的一个排列，其中m∈N∗，且m≥3.若在集合1,2,⋯,2m−1(1)当m=3时，判断数列B:1,5,3,4,6,2和数列C:6,5,2,4,1,3是否具有性质P；(2)若数列a2n−1和a2n(n=1,2,⋯,m)均为等差数列，且a1=1，a2m=2(3)在所有由1,2,⋯,2m的排列组成的数列中，记具有性质P的数列的个数为S，不具有性质P的数列的个数为T，证明：对于任意m(m≥3)，S>T．

参考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.C

6.A

7.B

8.A

9.D

10.D

11.x=−2

12.31516

13.3(答案不唯一)

；12(答案不唯一)

14.8π3

；

；

；

；

；

；15.②③④

16.(1)如图，取A1C的中点Q，连接B1因为N、Q分别为AC、A1C的中点，则NQ//AA因为BB1//AA1且BB1=AA所以，B1M//NQ且B1M=NQ，则四边形因为MN⊄平面A1B1C，B1Q⊂平面(2)因为A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则因为AB⊥A1C，AA1∩A所以，AB⊥平面AA因为AC⊂平面AA1C以点A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、则A10,0,1、B11,0,1、则A1B1=1,0,0，C设平面A1B1C取y1=1，可得设平面B1CC1取x2=1，可得所以，cosm由图可知，二面角A1故二面角A1−B

17.(1)若选择条件①③，由f(0)=−1，得f(0)=2sinφ=−1，即sinφ=−12又函数f(x)的一个零点为x=7π12，则则ω不能确定，所以函数f(x)不唯一，所以不能选择条件①③．选择条件①②，由f(0)=−1，得f(0)=2sinφ=−1，即sinφ=−12因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，所以函数的最小正周期T=π因为T=2πω=π,ω>0所以f(x)=2sin选择条件②③，因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，所以函数的最小正周期T=π因为T=2πω=π,ω>0因为函数f(x)的一个零点为x=7π12，即所以2×7π12+φ=kπ,k∈Z又|φ|<π2，则所以f(x)=2sin(2)因为函数y=sinx的单调递减区间为所以2x−π则x∈π所以−2π3,−若函数f(x)在区间−π则−π所以实数m的最大值为π6

18.(1)结论A正确，结论B不正确．(2)(2)一男生选择排球课的概率估计为50100=高一女生选择排球课的概率估计为5080=随机变量X

的所有可能取值为0，1，2，3．则PX=0PX=1PPX=3所以X的分布列为：

X0123

P

3

11

13

5故EX(3)s

19.(1)已知A1(−a,0)，A2则△TA1A2的面积因为离心率e=ca=2又因为a2=b2+c2所以椭圆E的方程为x2(2)将直线y=kx+1与椭圆x2+2y根据韦达定理，x1+x计算y1从而得到线段CD中点坐标为(−2k然后求线段CD垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为−1根据点斜式可得垂直平分线方程为y−1进而得到点Q(0,−1最后根据四边形PCQD为正方形时QC⊥QD：则QC展开得x进一步化简为(将x1+x2=整理得(k2+1)(4

20.(1)已知当a=1时，f(x)=ln(x+1)−x，对f(x)求导得计算f(0)，将x=0代入f(x)得f(0)=ln计算f′(0)，将x=0代入f′(x)得f′(0)=−0根据点斜式方程，所以切线方程为y−0=0(x−0)，即y=0．(2)当a=2时，f(x)=ln(2x+1)−x，其定义域为因为曲线y=f(x)总在直线y=x+t的下方等价于∀x∈(−12,+∞),设函数g(x)=ln(2x+1)−2x−t,x>−12，对令g′(x)=0，即−4x2x+1=0，解得当x∈(−12,0)时，g′(x)>0，所以g(x)当x∈(0,+∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减．所以g(x)在x=0处取得极大值，也是最大值，g(x)max=g(0)=则g(x)max=−t<0，即，所以曲线y=f(x)(3)f′x分情况讨论．当1−1a=0，即a=1时.此时f(x)根据f(x)的单调性，在(−1,0)上f′(x)>0，f(x)单调递增；在(0,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减.所以f(x)对于∀x∈(−1,+∞),x≠0，有f(x)<0，所以f(x)恰有一个零点，不符合题意.

当1−1a<0，即0<a<1时.因为1−在(−1a,1−1a)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在(1−1a,+∞)因为f(x)有两个零点x1,x2，且满足0<x又因为此时−1∈(−1a,+∞)由于f(−1)<0，即ln(1−a)+1<0，移项得到ln因为对数函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，所以1−a<1又因为0<a<1，所以1−1当1−1a>0，即a>1时.在(0,1−1a)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在(1−1a,1)上，因为f(x)有两个零点x1,x2，且满足0<x所以f(1)=ln由于f(1)<0，即ln(1+a)−1<0，移项得到ln因为对数函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，所以1+a<e，即又因为a>1，所以1<a<e−1.

综上，a的取值范围为(1−1

21.(1)当m=3时，若数列B:1,5,3,4,6,2具有性质P，则集合1,2,3,4,5中至少有一个元素i，使得|验证可得，不存在i，使得|ai−ai+1对于数列C:6,5,2,4,1,3，集合1,2,3,4,5中存在元素i=2时，满足|a2−a(2)因为数列a2n−1和a2