2024-2025学年吉林省长春五中高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春五中高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={x|y=ln(x2−2x−3)}，B={y|y=A.(−∞,−1) B.(−∞,−1)∪(3,6]

C.(3,+∞) D.(−∞,−1)∪[6，+∞)2.已知复数z与复平面内的点(1,2)对应，则z−11−i=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i3.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=15，aA.−12 B.1 C.−12或1 4.若双曲线x2a2−y2A.(0,10) B.(1,10)5.如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中AB=AA1=4，A1DA.26143

B.261536.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是(

)

A.f(x)=(4x−4−x)|x| B.f(x)=7.已知直线l1：mx+y+2=0与直线l2：x−my−2=0交于点M，点M关于直线x−y=0对称的点为N(a,b)，则b+2a的取值范围是A.[−7,1] B.(−∞,−7]∪[1,+∞)

C.[−1,7] D.(−∞,−1]∪[7,+∞)8.若存在正实数x，y使得不等式lnx−x2+1≥lnA.22 B.2 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知α，β∈(0,π2)，cos (α+β)=513A.sin(α+β)=1213 B.cos(α−β)=−4510.关于函数f(x)=x+lnx，以下结论正确的是(

)A.方程f(x)=0有唯一的实数解c，且c∈(0,1)

B.对∀x,y>0,f(xy)=f(x)+f(y)恒成立

C.对∀x1,x2>0x111.如图，已知直线与抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于点D，点M为弦AB的中点，则下列说法正确的是(

)A.A，B两点的横坐标之积为−2p2

B.当点D的坐标为(1,3)时，p=53

C.直线AB过定点(0,2p)

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.平面向量a，b满足a=(2,1)，a//b，a⋅b=−13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若直线y=kx与C交于P14.已知a∈R，函数f(x)=x3−ax+1有两个极值点①a可能是负数；②x③f(x④若存在x0∈R，使得f(x其中所有正确结论的序号是

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记▵ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2sin(1)求角A的大小；(2)若b=2c，求证：▵ABC为直角三角形．16.(本小题12分)

求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)与椭圆x227+y236=1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4．

17.(本小题12分)

在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB中点．

(1)求证：CM⊥EM．

(2)求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．18.(本小题12分)

已知函数f(x)=−xlnx+a(x+1)，a∈R．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若关于x的不等式f(x)≤2a在[2,+∞)上恒成立.求a的取值范围；19.(本小题12分)

在数列{an}中，若an+1−a1a2a3…an=d(n∈N∗)，则称数列{an}为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列{an}是一个“泛等差数列”，数列{bn}满足a12+a2参考答案1.B

2.C

3.C

4.C

5.A

6.C

7.D

8.D

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.213.x214.②③④

15.解：(1)由2sin2A2−因为A∈(0,π)，所以A=π(2)由(1)可知，A=π又b=2c，在▵ABC中，由余弦定理可得a2解得a=3c，

所以a2+所以▵ABC为直角三角形．

16.解：(1)椭圆x227+y236=1的两个焦点为F1(0,−3)、F2(0,3)，

与椭圆x227+y236=1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4．

故该双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1，

令y=4，即有x227+1636=1，解得x=±1517.解：(1)证明：AC=BC，M是AB中点，可得CM⊥AB，

又EA⊥平面ABC，可得EA⊥CM，又EA∩AB=A，

可得CM⊥平面ABE，又EM⊂平面ABE，可得CM⊥EM．

(2)过A在平面ABC上作BC的平行线AN，

∵AC⊥BC，∴AN⊥AC，

∵EA⊥平面ABC，

∴AE⊥AN，AE⊥AC，

∴AE，AC，AN两两垂直，

以A为坐标原点，以AN，AC，AE，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图：

B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(2,2,2)，M(1,1,0)，E(0,0,1)，

设平面EMC的法向量n1=(x,y,z)，

∵CM=(1,−1,0)，EM=(1,1,−1)，

∴CM⋅n1=x−y=0EM⋅n1=x+y−z=0，取n1=(1,1,2)，

又易知平面BCD的法向量为n2=(0,1,0)，

设平面EMC18.解：(1)当a=0时，f(x)=−xlnx(x>0)，

则f′(x)=−lnx−1，令f′(x)=0，可得x=e−1，

当x∈(0,e−1)时，f′(x)>0，当x∈(e−1,+∞)时，f′(x)<0，

所以f(x)的单调增区间为(0,e−1)，单调减区间为(e−1,+∞)；

当a≠0时，由f(x)=−xlnx+a(x+1)，得f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=−(lnx+1)+a，

令f′(x)=−(lnx+1)+a=0，解得x=ea−1，

当x∈(0,ea−1)时，f′(x)>0，当x∈(ea−1,+∞)时，f′(x)<0，

所以f(x)的单调增区间为(0,ea−1)，单调减区间为(ea−1,+∞)；

经验证，a=0时，f(x)的单调增区间也符合(0,ea−1)，单调减区间也符合(ea−1,+∞)；

综上可知：f(x)的单调增区间为(0,ea−1)，单调减区间为(ea−1,+∞)；

(2)因为f(x)≤2a，所以a≤xlnxx−1，

令g(x)=x