高考真题与模拟训练 10 等差数列（解析版）

专题10等差数列

第一部分真题部分

一、选择题

1.（2021•北京高考真题）｛4｝和也｝是两个等差数列，其中，•（"心5）为常值，4=288,火=96,

a=192,则4=（）

A.64B.128C.256D.512

【答案】B

【解析】由已知条件可得;=/，则4=-=96嗜2=64因此，192+64=128

4%4Zoo22

故选：B.

2.（2021•北京高考真题）数列｛4｝是递增的整数数列，且4?3,4+々+…+%=100,则〃的最大值

为（）

A.9B.10C.11I）.12

【答案】C

【解析】若要使〃尽可能的大，则可，递增幅度要尽可能小，

不妨设数列｛4｝是首项为3,公差为1的等差数列，其前〃项和为S〃，

则4=〃+2,Sn=^y^xll=88<100,SI2=^y^xl2=102>100.

所以〃的最大值为11.

故选：C.

3.（2020•浙江高考真题）己知等差数列｛4｝的前〃项和S,公差挣0,^-<1.记占=S,biS2nLs2n,

a

下列等式不可熊成立的是（）

A.2&=4+诜B.28二Z^+乐C.a：=a?%D.b；=b2b&

【答案】D

【解析】对于A,因为数列｛4｝为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4+4=2+6可得,

2。4=%+。6，A正确;

对于由题意可知，

B,bll+i=S2H+2-S2n=a2n+}+a2n+2,Z?,=S2=«,+t?2,

=《]+《a+a

；心=%+4,b4=a7+a8,42,^=i5i6-

次=

・・・2(%+/)，b2+b6=a3-ha4+a]t+al2.

根据等差数列的下标和性质，由3+11=7+7,4+12=8+8可得

Z?2+a=/+4+41+々12=2(%+6)二次，B正确：

对于a=a2

C,a；-^28(i+3d)2~(at+d)(q+7d^=2d-2a1d=2d(d-a^,

当q二d时，城二生％，C正确；

对于D,b：=(%+6)2=(勿+134)2=4。；+52々0+169d2,

b2b&=(q+/)(/+4]6)=(〃+5d/2q+29d)=4a：+6必4+145d

b：-b2b8=24d2-164d=8d(3d-2al).

当d>0时，4«d,；.3d-2a]=d+2（d-aJ>0ll[】b：-b2b8>0：

当d<0时，4Nd,，31—24=d+2（d—aJvO即b：>0,所以b：-4%>0,D不正确.

故选：D.

•全国高考真题（理））记为等差数列｛〃“｝的前〃项和.己知则

4.（2019S”$4=0,a5=5,

22

A.at=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n-8nD.Sn=—n-2n

2

【答案】A

d

S.=4a.H—x4x3=0a=-3

【解析】由题知，<,解得，-,故选

4।2：.an=2n-5,A.

.,-a=2

生=q+4d=5

二、填空题

5.（2021•江苏高考真题）已知等比数列｛〃“｝的公比为4,且16%,4%，的成等差数列，则4的值是

【答案】4

2

【解析】因为｛%｝为等比数列，且公比为4，

所以。2=q,夕，。3=4,/且4工。，4。。.

因为16。「4%，的成等差数列，

所以164+4=2x44,

有16q+4•/=2x4q•4，-8^+16=0,

解得0=4.

故答案为:4.

6.（2020•海南高考真题）将数列｛2〃-1｝与｛3〃-2）的公共项从小到大排列得到数列｛&｝,则｛&｝的前〃

项和为.

【答案】3^-In

【解析】因为数列｛2〃一1｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列［3〃一2｝是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列｛凡｝是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以忆｝的前〃项和为〃」+〃（；1）-6=3"一2%

故答案为:3/i2—2n.

7.（2020•全国高考真题（文））记S”为等差数列｛q｝的前〃项和.若〃产-2,%+%=2,则

40------------

【答案】25

【解析】•・.｛4｝是等差数列，且巧二-2,%+。6=2

设｛&｝等差数列的公差d

根据等差数列通项公式：4=4+（〃-1）1

可得4+d+4+5d=2

即：-2+d+（—2）+5d=2

整理可得：6J=6

3

解得：d=\

•••根据等差数列前〃项和公式：S”=，叫十处:"l)d,，2eN*

10x01

可得：510=10(-2)+^-)=-20+45=25

••品,=25.

故答案为：25.

8.(2019•江苏高考真题)己知数列｛〃“｝(〃£N')是等差数列，S”是其前〃项和.若生%+4=0，$9=27,

则Sg的值是_____.

【答案】16.

a2a$+%=(q+d)(4+41)+(4+7d)=0

【解析】由题意可得：9x8，

S9=9al-\——=27

4=-58x7

解得：，则Sg=8q+——J=-40+28x2=16.

d=22

S

9.(2019,全国高考真题(理))记S,为等差数列｛包｝的前〃项和，"WO,4=3q,则谭=__________.

【答案】4.

s10x9」

S1Uq+----d]()()

【解析】因生=3q,所以q+d=3q,即2q=d,所以言=------^—=—^=4.

为5ai+—d25“

12

三、解答题

10.(2021•天津高考真题)己知｛q｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.｛2｝是公比大于

0的等比数列，4=4,4—么=48.

(I)求｛4｝和抄/的通项公式；

(II)i己G

b“

(i)证明归-4是等比数列；

(ii)证明tj等二<2五(neN、

VC*~C2k

4

【答案】(I)%=2〃-L〃GN*,"=4""WN・；(ID(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【解析】(I)因为｛4｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

8x7

所以4+%+…+6=8q+-----x2=64,所以〃1=1,

2

所以a4=q+2(〃-l)=2〃-l,〃eN*；

设等比数列也｝的公比为以4>0),

所以4一a=4才一如=4年一4)=48,解得夕=4(负值舍去)，

所以以=犷=4"”叱；

(II)(i)由题意，q=匕20+7=4"+国,

卜Y)W=24,

所以c；-c、2”=

所以d-G”。。，且‘=4,

Cn~Cln-24

所以数歹1」｛。：一。2“｝是等比数歹1」；

(2〃-1)(2〃+1)_4〃2_14/?2

(ii)由题意知，孚22

-2n2rt

C『C2n2.4”-2-22-2*

1/2n1n

所以<-----=----------=-----------

-22nV2.2My/22”T

设心力强123n

=-----1------1-----+…+广，

*=|乙2°2'22

23in

呜工3+3+小…+二

1-

n〃〃

两式相减得=i+;+5■+—+----------=c+2

2“T2”

2

所以1=4—崇

乙

5

上一劈)<2x/2.

11.(2021•全国高考真题)记S“是公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和，若a3=Ss，a2a4=S「

(1)求数列｛4｝的通项公式勺；

(2)求使S“>%成立的〃的最小值.

【答案】⑴。”二2〃-6：(2)7.

【解析】⑴由等差数列的性质可得：S,=5%,则：%=5%,.•.6=0，

设等差数列的公差为d，从而有：a2a4=3—△)(%+d)=—/,

£=4+生+q+。4=(q—2d)+(q-d)+q+(q—d)=—2d,

从而：—M=3，由于公差不为零，故：d=2,

数列的通项公式为：q=4+(九-3)d=2〃-6.

(2)由数列的通项公式可得：q=2—6=-4,则：S“=〃X(-4)+“(7)X2=/_5〃,

则不等式S“>a“即：〃2_5〃>2〃一6,整理可得：(〃—1)(〃-6)>0,

解得：〃vl或〃〉6,又"为正整数，故〃的最小值为7.

为奇数,

12.(2021•全国高考真题)已知数列｛%｝满足％=1,

a,+2,〃为偶数.

⑴记勿=生”，写出仇，耳,并求数列依｝的通项公式;

(2)求｛4｝的前20项和.

【答案】(1)4=2,4=5；(2)300.

【解析】(1)由题设可得4=%=4+1=2也=4=。3+1=4+2+1=5

又4“2=421+1，生川=42£+2,(kwN*)

故〃2A+2=%«+3，即心产仇+3，即"+[一"=3

所以圾｝为等差数列，故〃=2+5-1)X3=3〃-1.

6

(2)设｛%｝的前20项和为S20，则520=4+42+43+3+420，

q-l,a=4-1，…，49=〃21，

因为=a23。_

所以SJQ=2®+4"*---+%))-10

(9x10、

=2(Z?I+/>2+...+^+Z?lo)-1O=2xllOx2+^y-x31-10=300.

13.(2021•全国高考真题(理))已知数列｛凡｝的各项均为正数，记S“为｛/｝的前〃项和，从下面①@③

中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛《,｝是等差数列：②数列｛疯｝是等差数列；③4=3%.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】选①②作条件证明③：

设#^=。〃+6(。>0),则S”=(bJ,

2

当〃=1时，a｝=Si=(tz+Z?)；

22

当"之2时，an=Sn-=(〃〃+/?)-｛cm-a+/?)=a(2an—a-\-2b)；

因为｛qj也是等差数列，所以(a+b)2=a(2〃-a+2b),解得b=0；

所以%=6(2〃-1),所以生=3q.

选①③作条件证明②：

因为叼=3q,｛%｝是等差数列，

所以公差1一4=24，

所以5“二〃4+"(：l)d=〃2〃］，即=

因为7^7-疯=底〃+1)-廊二国，

所以:四｝是等差数列.

选②③作条件证明①:

7

设邓仇a>0）,则人

当九=1时，q=$=（a+b）2；

当〃22时，an-SH-Sn_｝=（〃〃+/?『一a+6）2=a（2an-a+2b）：

因为%=3q,所以a（3a+»）=3（a+b）2,解得人=0或6二-『：

当b=0时，4=。2q=。2（2〃-1）,当〃之2时，。“-%=2〃2满足等差数列的定义，此时｛4｝为等差

数列；

当匕二一”时，Js^=an+b=an--a,6=一q<0不合题意，舍去.

综上可知｛为｝为等差数列.

14.（2021•全国高考真题（理））记5“为数列｛4｝的前〃项和，久为数列｛Sj的前〃项积，已知

21.

---1—=2

5“b”-

（1）证明：数列也｝是等差数列；

（2）求｛《｝的通项公式.

一,〃=1

【答案】（1）证明见解析;（2）%=’.

---7---2

n[n+\）

21cc2a1

【解析】（1）由已知丁+百=2得S“二不七，且或工0,“产：,

取〃=1,由，=伪得白=会

由于以为数列｛s〃｝的前〃项积，

2a2b222

所以=包,

2Z?,-12b2-12"-1

2a2b22%

2仇一12b2-l2bn+l-1

8

所以土三

由于力,山

211

所以8”7二百,即％—"二1其中〃£*

O1

所以数列｛或｝是以4=］为首项，以d=5为公差等差数列；

（2）由（1）可得，数列｛2｝是以〃=?为首项，以4=）为公差的等差数列,

,3z1n

­-Z?H=2+（n-1n）X2=1,+-,

2

S=纥，=2+〃

〃-2〃-1-1+-'

3

当/7=1时，＜7,=S.=—

2

2+n1+〃1

当〃22时，4=S”-S〃7而而’显然对于77=1不成立,

1+72n

15.（2019•江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为数列”.

（1）已知等比数列｛4｝满足：。24=%，％—4%+44=0,求证:数列｛a｝为“〃一数列”；

122

（2）已知数列伉｝满足：4=1，丁=7-一7-，其中S为数列｛4｝的前〃项和.

Sn%%

①求数列｛4｝的通项公式；

②设仞为正整数，若存在“也一数列”亿｝,对任意正整数h当AW/时，都有c澈瓦成立，求加的

最大值.

【答案】（1）见解析；

（2）①4=〃（〃eN'）；②5.

【解析】（1）设等比数列｛4｝的公比为％所以用=0,gWO.

9

%=%%q=%q

解得《4=1

2

q-4a,+4。1=0aiq-444+44=0q=2

因此数列｛凡｝为—数列”.

122

⑵①因为反=和--，所以“工0.

122

由4=i，B=々得7=］一厂，则均=2.

11U1

122坤2

山---=----，得s“-

S”，%

bh.T4也

当〃之2时,由々nS.-S.T，得”=

2(图j)2("")’

整理得以讨+21T=2。,.

所以数列｛4｝是首项和公差均为1的等差数列.

因此，数列上｝的通项公式为办=[〃£人尸).

②由①知，"keN'.

因为数列匕｝为数列”，设公比为0,所以。尸1,力0.

因为cWbWc”所以qiWkWq£,其中公1,2,3,…，勿.

当A=1时，有

当A-2,3,…，勿时，有用史幺.

kk-\

设/'(x)=^^(x>l),则/(x)=^—.

xx

令/'")=。，得『e.列表如下：

Xd,e)e(o,+°°)

/'(X)+0-

f(x)极大值

ln2In81n9In3In3

因为3"T<T=T'所以"%=八3)=亍・

io

取9=石，当Hl,2,3,4,5W,—,,Inq,即左《夕”，

k

经检峻知2也成立.

因此所求力的最大值不小于5.

若626,分别取依3,6,得3W/,且gW6,从而染2243,且，在216,

所以q不存在.因此所求加的最大值小于6.

综上，所求加的最大值为5.

16.(2019•北京高考真题(文))设｛%｝是等差数列,团=-10,且即40,&+8,国+6成等比数列.

(I)求｛&｝的通项公式；

(H)记｛4｝的前〃项和为S,求S的最小值.

【答案】(I)an=2n-12；(ID-30.

【解析】(I)设等差数列｛q｝的公差为d,

因为出+10,%+&%+6成等比数列，所以(4+8)2=(4+10)(4+6)，

即(2d-2)2=d(3d-4),解得d=2,所以q=T0+2(〃—1)=2〃-12.

（II•由（【）知〃”=2〃-12,

沙卫X…2

所以S.=-1

2"一步¥

当〃=5或者〃=6时，S.取到最小值—30.

第二部分模拟训练

1.若数列｛〃〃｝为等差数列，且4]=二"，。3=彳，则85。20=()

62

1x/3

C.—nu.---

22

【答案】C

«3-a_n

【解析】d=}

26

IZX兀10万

a2O=aA+\9-=

O

11

故选：c

2.记S“为数列｛4｝的前项和，已知点(〃,%)在直线y=10-2r上，若有且只有两个正整数〃满足

则实数〃的取值范围是()

A.(8,14]B.(14,18]

Q1

C.(18,20]D.(18,—]

4

【答案】C

【解析】解：由已知可得q=10-2〃，

由4一。一=一2,所以数列｛凡｝为等差数列.首项为8,公差为2

所以S.=8〃+〃(〃―'x(-2)=-1V+9n，

2

当/产4或5时，Sn取得最大值为20,

因为有且只有两个正整数〃满足S“Nk,

所以满足条件的〃=4和〃=5,

因为S3=§6=18,

所以实数k的取值范围是(18,20].

故选：C.

3.已知S“为等差数列｛4｝的前〃项和，a3+S5=-18,牝=一%，则下列数值中最大的是()

邑

邑

A.126B.2$5

c.D.

一

3649

【答案】D

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,・・・。3+5‘=-18,%=-%，

5x4

a+2d+5a｝+--J=-18

J2,解得4=-7,d=2,

a+5d=-(q+2d)

12

n(n—\]?

S„=-ln+--------x2=-8〃，

12

・3=i.»，可得圉是单调递增数列,

n2n

所以在当，邑，斗，丛中，最大的为之

1625364949

故选：D.

4.在正项等比数列｛q｝中.a2=4.4=16.满足4生生…•则机二（）

A.4B.3C.5D.8

【答案】A

【解析】由题意得公比4=

首项4=—=^=2,

q2

an==2x2"-,=2",

由44%一.〃,”=0；+1，

皿1+in)

1:3,n

2.2«2…•・2=2-2+3+“+M=22=(2〃用)

可得2（2）_225+1），解得m=4,

故选：A.

2n+l

5.已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且若"=（T）”・,则数列｛〃｝的前〃项和

44+1

/一,〃为偶数

"十1

【答案】（二

叱匚,〃为奇数

n+\

【解析】・・・s〃=g〃2+；〃,

当〃=1时，4=S=1,

13

当〃之2时，an=S“_S,i=H"=〃，满足4=1，

••4=〃，

011=(_1)〃.孕==(_1)〃仕_1_

•他=(-1)”

4%〃(72+1)''(〃n+]

〃为偶数

w+1

-七匕，〃为奇数

n+1

-号，〃为偶数

故答案为：T〃=,〃

-山，〃为奇数

LM+1

6.数列｛%｝的前〃项和为S“，4+2S”=3",数歹必"｝满足3々=g(3%+2-q+J(〃£N*),则数歹U｛2｝

的前10项和为______.

【答案】65

【解析】由%+2S”=3〃知；4向+251=3"|,则%+1+25田一%—25“=3"+|-3",得

3q+「。”=2x3"，

・.・3凡+2一可+1=2x3"、而3,=：(3%2一%+J(〃eN・),

・•・2=〃+1,故数列｛勿｝的前10项和为10=""：+")=65,

故答案为：65.

7.设公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和为S”.若数列｛4｝满足：存在三个不同的正整数一,sJ,使得

990s+S

耳，生，为成等比数列，42rM2s，的,也成等比数列，则——!―的最小值为__________.

°n

14

【答案】45

【解析】设％=%+(〃-l)d,4工0,

a,a,a,a,a,-a.s-t

由题意生,生成等比数列，—所以==」=二一L=——

gasar4q一4r-s

也成等比数歹人,"言’所以最",二皆缓二退二;

%=五=退=工所以=2s-S

所以

cia.+(s-1)da.-d+sds

工=%+(…d=^D所以4一"=°，d=%.

990、+工_990q+陷+')

J吗岸，

q+(〃-l)d〃22

44<72x990<45.

设/(〃)=^?，由勾形函数性质知/5)在(0,6石卜.递减，在(6、坛,+8)上递增，又〃wN*,

n22

gon44I

/(45)=45,/(44)=签+1+.45,

990s+S

所以f5)的最小值为45.即——!-1的最小值为45.

an

故答案为：45.

8.已知定义在0+8)上的函数/(x)满足/(%)=.NT；)堂晨2.设/⑺在吐2,2皿N)

上的最大值记作％,S”为数列｛〃〃｝的前〃项和，则S“的最大值为

【答案】64

15Tl,0<x<2

【解析】由题意，函数/(»=•

/(x-2)-2,x>2'

当k=1时,xe[0,2),此时〃力=15-,一1|,

此时函数f(x)在。2)上的最大值为〃1)=15一|1-1卜15,所以q=15,

15

当〃=2时，XG[2,4),此时/(x)=/(x-2)-2,此时工一2£[0,2),

所以/(1)=/(1_2)_2=15_卜_2_"_2=13_卜_3|,

此时函数/(力在[2,4)。2)上的最大值为〃3)=13-|3-3|=13,所以外=13,

当xe[2/7-2,2〃)时，/(x)=15-f[x-(2n-2)]-2(n-l)=15-|x-(2/?-2)-l|-2(〃-1),

此时函数的最大值为〃")=17-2〃，所以凡=17-2〃，

当时，凡>0,当〃时，q<0，

所以S〃的最大值为、8==8XQ；+1)=64.

故答案为：64

9.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，首项4=1,且$4-4$=12.数列也｝的前〃项和为7；,且满足

4=1也+1=2(+1.

(1)求数列｛q｝和也｝的通项公式；

(2)求数列的前〃项和.

〃+]

【答案】⑴an=2n-\,2=3"，(2)7；,=3-—.

【解析】解：(1)设数列｛4｝的公差为4且4=1,

又S「4B=12,

则q+4+6+4-4q=(1+2+3)J=12,

所以d=2,

则4=1+(〃-1)-2=2〃-1；

由以八=27；+1可得2=2(_1+l(n>2),

两式相减得如「勿=2〃，

〃向二3。(〃22),

16

又4=27；+1=3,

所以％=34，

故｛我｝是首项为1,公比为3的等比数列，

所以％=3“T.

an2n-1

（2）设g=7二亍r，

记｛cj的前〃项和为方.

“1352/?-1

则7…+亍^

为=»....+与，

33,32333"

两式相减得：+i+

J_、

*+2x巴2/?-1c2/1+2

-------=2-----------,

10.已知数列｛〃“｝满足-]][++、33；+L+c”“1=Wi"_l，7?GN'.

（J2,+l22+l23+l2”+l2〃

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设等差数列也J的前〃项和为s〃，且s〃=g/—3"+心令％="一%+k",求数列壮“｝的前〃

项和

【答案】⑴/一蒋；⑵小吗雪

3

【解析】（1）当〃=1时，幺=,-1,.♦•4=----.

322,

%a,.

当〃之2时，由.+-;------FFL+-^=—-1,①

2'+122+123+12"+12"

得WT+&+W?+L+急T*T'②

①一②得，肃彳=/一/=一/，%=_巧也符合,

17

因此，数列—｝的通项公式为q=-1一初;

（2）由题意，设等差数列｛a｝的公差为d,

d_=\_

2~26=0

4-g=一]，解得，.d=\,:.b=b-\-(n—\)d=n—\-

22nx

k=0

攵=()

2

由(1)知，cn=blt-an+kn=w+—,

111)

故方=c]+c2+C3+L+%=1+2+3+L4-71+T

(—24-

-—十~一~~2-十-F

1--

2

11.已知数列数”｝满足qw0恒成立.

（1）若为q+2=履”/且4>°，当｛1g4｝成等差数列时，求上的值；

（2）若/。”+2=2。向2且4>0,当4=1、/=16后时，求。2以及4的通项公式；

（3）若。“％+2=—2%+1%+3，4|—-1,a3G[4,8],勺020<。,设S”是｛4｝的前八项之和，求$2020的

最