高一数学必修一知识点总结归纳 (二)

高一数学必修一知识点总结归纳

高一数学必修一知识点总结归纳1

反比例函数

形如y=k/x(k为常数且kNO)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像

关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图

像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所

围成的矩形面积是定值，为Ik|。

上面给出了k分别为正和负(2和一2)时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相

交。

知识点：

1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这

两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为Ik|。

2、对于双曲线y=k/x,若在分母上加减任意一个实数（即

y=k/（x±m）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移

一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

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知识点1、集合与元素

一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对

的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：

你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集

合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校

又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一

分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，

参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不

是绝对的

知识点2、解集合问题的关键

解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就

是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用

列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示

集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，

可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等

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一、集合及其表示

1、集合的含义：

“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老

师经常喊的“全体集合”。数学上的“集合”和这个意思是一样

的，只不过一个是动词一个是名词而已。

所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集

合，简称集，其中每一个对象叫元素。比如高一二班集合，那么

所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个

集合的元素。

2、集合的表示

通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合

A={a,b,c}oa、b、c就是集合A中的元素，记作a£A,相反,

d不属于集合A,记作d?Ao

有一些特殊的集合需要记忆：

非负整数集(即自然数集)N正整数集N_或N+

整数集Z有理数集Q实数集R

集合的表示方法：列举法与描述法。

①列举法：{a,b,c...}

②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。如

{x?R|x-3>2},{X|X-3>2],{(x,y)|y=x2+l}

③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3〉2}或{x|x-3>2}

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素

A={(x,y)|y=x2+3x+2}与B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中

是数组元素(x,y),集合B中只有元素y。

3、集合的三个特性

(1)无序性

指集合中的元素排列没有顺序，如集合A二{1,2},集合

B二{2,1},则集合A二B。

例题：集合A二{1,2},B={a,b},若A二B,求a、b的值。

解：,A=B

注意：该题有两组解。

(2)互异性

指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}

(3)确定性

集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许

有模棱两可、含混不清的情况。

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【基本初等函数】

一、指数函数

(-)指数与指数幕的运算

1、似的峥：-W，如果，那么叫做的^t艮(nthroot),

其中＞1,且£

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一

个负数。此时，的次方根用符号表示。式子叫做根式(radical),

这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand)。

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。

此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号一表示。

正的次方根与负的次方根可以合并成土(>0)O由此可得：负数

没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作。

注意：当是奇数时，当是偶数时，

2、分数指数鬲

正数的分数指数基的意义，规定：

0的正分数指数暴等于0,0的负分数指数累没有意义

指出：规定了分数指数基的意义后，指数的概念就从整数指

数推广到了有理数指数，那么整数指数塞的运算性质也同样可以

推广到有理数指数累。

3、实数指数幕的运算性质

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数

(exponential),其中x是自变量，函数的定义域为R。

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和

lo

2、指数函数的图象和性质

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二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量X和因变量y之间存在如下关系：

y=ax2+bx+c

(a,b,c为常数，aWO,且a决定函数的开口方向，a>0时,

开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lai还可以决定开口大

小，lai越大开口就越小，lai越小开口就越大.)

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

H.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，aWO)

顶点式：y=a(x-h)式+k［抛物线的顶点P(h,k)］

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)［仅限于与x轴有交点A(x?,O)

和B(x?,0)的抛物线］

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=-b/2ak=(4ac-b-2)/4ax?,x?=(~b±Jb°2-4ac)/2a

HL二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看

出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与

抛物线的交点为抛物线的顶点Po

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P,坐标为

P(-b/2a,(4ac-b2)/4a)

当一b/2a=0时,P在y轴上;当△二丁2-4ac=0时，P在x轴上。

3.一次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

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对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。

因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于

直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数总是通过（1,0）这点。

（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大

于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数无界。

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1、二次函数y=ax"2,y=a（x一h）-2,y二a（x一h）"2+k,

y=axM+bx+c（各式中，aWO）的图象形状相同，只是位置不同,

它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

顶点坐标

对称轴

y=ax2

（0,0）

x=0

y=a（x一h）-2

(h,0)

x=h

y=a(x-h)2+k

(h,k)

x=h

y=ax2+bx+c

(一b/2a,[4ac一b^2]/4a)

x=一b/2a

当h>0时，y=a(x-h)-2的图象可由抛物线尸ax-2向右

平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

当h>0,k>0时，将抛物线尸ax'2向右平行移动h个单位，

再向上移动k个单位，就可以得到y二a(x—h),2+k的图象；

当h〉0,k<0时，将抛物线尸ax'2向右平行移动h个单位，

再向下移动|k|个单位可得到y=a(x—h)~2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上

移动k个单位可得到y=a(x—h)-2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下

移动|k|个单位可得到y=a(x-h)M+k的图象；

因此，研究抛物线产ax-2+bx+c(aWO)的图象，通过配方，

将一般式化为尸a(x—h)微+k的形式，可确定其顶点坐标、对

称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。

2、抛物线y=ax-2+bx+c(aWO)的图象：当a>0时，开口

向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x二一b/2a,顶点坐标

是(一b/2a,[4ac—b2]/4a)。

3、抛物线y=ax2+bx+c(aWO),若a>0,当xW—b/2a时,

y随x的增大而减小；当x^-b/2a时，y随x的增大而增大。

若水0,当xW—b/2a时，y随x的增大而增大；当x2—b/2a

时，y随x的增大而减小。

4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；

(2)当△=1/2—4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)

和B(x?,0),其中的xl,x2是一元二次方程ax-2+bx+c=0

(aHO)的两根。这两点间的距离AB=|x?—x?|

当△二0。图象与x轴只有一个交点；

当△〈O。图象与x轴没有交点。当a>0时，图象落在x轴的

上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的

下方，x为任何实数时，都有y<0o

5、抛物线y=ax-2+bx+c的最值：如果a>0(a<0),则当x二

一b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a。

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，

是最值的取值。

6、用待定系数法求一次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的

三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax…2+bx+c(aWO)o

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设

解析式为顶点式：y=a(x—h)^2+k(aWO)。

(3)当题给条件为已知图象与x轴的.两个交点坐标时，可

设解析式为两根式：y=a(x—x?)(x—x?)(aWO)。

7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为

复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中

考的热点考题，往往以大题形式出现。

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