高一数学知识点总结归纳

高一数学知识点总结归纳

高一数学知识点总结归纳「篇一」

【(一)、映射、函数、反函数】

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，

而函数又是一种特殊的映射。

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。

(2)掌握三种表示法一一列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间

的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。

(3)如果y二f(u),u二g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)

为内函数，f(u)为外函数。

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

⑵由y=f(x)的解析式求出x=f-l(y);

⑶将x,y对换,得反函数的习惯表达式y=f-l(x),并注明定义域。

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并

到一起。

②熟悉的应用，求fT(xO)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过

程，从而简化运算.

【(二)、函数的解析式与定义域】

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因

此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函

数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域

要结合实际意义考虑；

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：

①分式的分母不得为零；

②偶次方根的被开方数不小于零；

③对数函数的真数必须大于零；

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

⑤三角函数中的正切函数尸tanx(x£R,且k£Z),余切函数y=cotx(x£R,

xWkn,k£Z)等。

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量

取值的公共部分(即交集)。

(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻

含义即可。

已知f(知的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足aWg(x)Wb的x

的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x£[a,b\此时f(x)的定义

域,即g(x)的值域。

2、求函数的解析式一般有四种情况

(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学

的有关知识寻求函数的解析式C

(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法，比如函数是

一次函数，可设f(x)=ax+b(aWO),其中a,b为待定系数，根据题设条件，列出

方程组，求出a,b即可。

(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达

式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域。

(4)若己知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知

量(如f(-x),等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程

组法求出f(x)的表达式。

[(三)、函数的值域与最值】

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应

先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用

不等式的性质，直接观察得出函数的值域。

(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数

再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是

二次式时，用三角换元。

(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数fT(x)的定义域和值域间的关系，通

过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如3W0)的函数值域可采用此法求

得。

(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方

法。

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b》［a,be(0,+8)］可以求某些函

数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧。

(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△》()”求值

域.其题型特征是解析式中含有根式或分式。

(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子

集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域。

(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法

或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域6

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在

函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的

最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相

异。

如函数的值域是(0,16],值是16,无最小值.再如函数的值域是(-8,-

2]U[2,+8),但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x〉0时，函

数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响。

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常

表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，

求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值。

【(四)、函数的奇偶性】

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个

x,都有f(-x)hf(x)(或f(-x)寸(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)。

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点

对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=f(x)或f(-x)=f(x)

是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质)。

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶

性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用；

(1)不论不X)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;

(2)f(x)、g(x)分别是定义域DI、D2上的奇函数，那么在D1CW2上，

f(x)+g(x)是奇函数,f(x)・g(x)是偶函数,类似地有“奇士奇二奇”“奇X奇二

偶”，“偶土偶二偶”“偶X偶二偶”“奇X偶二奇”：

⑶奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

⑷奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数

的充要条件是它的图象关于y轴对称。

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是

偶函数。

(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立。

(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的

单调性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-X)是偶函数，

G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。

(6)奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于

直线x二a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y二f(x)对定义域内的任-x都有

f(a+x)=-f(a-x),则y二f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为

奇函数。

[(五)、函数的单调性】

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间区,b］上任意两点xl,X2,当xl〉x2时,都有不

等式f(xl)>(或<)f(x2)成立,称f(x)在［a,b］上单调递增(或递减);增函数或减函

数统称为单调函数。

对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不同

的单调性。

(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的xLx2具有任

意性，不能用特殊值代替。

(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内。

(4)注意定义的两种等价形式：

设xl、x2£［a,b］>那么：

①在［a、b］上是增函数；

在［a、b］上是减函数。

②在［a、b］上是增函数。

在［a、b］上是减函数。

需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(xl,f(xl))、

(x2,f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零°

(5)由于定义都是充要性命题,因此由f(x)是增(减)函数，且(或xl>x2),这

说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。

5、复合函数y二f［g(x)］的单调性

若u二g(x)在区间［a,b］上的单调性，与y=f(u)在［g在)，g(b)］(或g(b),

g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f［g(x)］在［a,b］上单调递增;否则，单调递

减.简称“同增、异减”0

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单

调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将

大大缩短我们的判断过程。

6、证明函数的单调性的方法

⑴依定义进行证明.其步骤为：①任取xl、x2EM且xl(或<)f(x2);③根据定

义，得出结论。

(2)设函数y=f(x)在某区间内可导。

如果/(x)>0,则f(x)为增函数;如果伊(x)<0,则f(x)为减函数。

【(六)、函数的图象】

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养

用数形结合的思想方法解决问题的意识。

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b(b>0)

沿y轴向平移b个单位

y=f(x+a)(a>0)

沿x轴向平移a个单位

y=-f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折

y=f-l(x)

作关于直线y=x的对称图形

y=f(ax)(a>0)

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af(x)

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f(-x)

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f(x),对任意x,y£R,有f(x+y)+f(x-

y)=2f(x)-f(y),且f(0)*0。

①求证:f(O)=l;

②求证：y=f(x)是偶函数；

③若存在常数c,使求证对任意xGR,有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是

不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请说明理由6

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题,般

采用赋值法6

解答，①令x刊二0,则有2f(0)=2f2(0),因为f(答W0,所以f(0)=l。

②令x=0,则有f(x)+f(-y)=2f(0)-f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),这说明

f(x)为偶函数。

③分别用(c〉0)替换x、y,有f(x+c)+f(x)二

所以，所以f(x+c)=-f(x)Q

两边应用中的结论,得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)o

所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期。

高一数学知识点总结归纳「篇二」

平面向量

向量：既有大小，又有方向的量。

数量：只有大小，没有方向的量。

有向线段的三要素：起点、方向、长度。

零向量；长度为的向量0

单位向量：长度等于个单位的向量。

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

AB+BC=AC＞这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点0出发的两个向量OA、0B,以OA、0B为邻边作平行四边形

OACB,则以0为起点的对角线0C就是向量OA、0B的和，这种计算法则叫做向量加

法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a,有；0+a=a+0二a。

Ia+b|WIaI+1b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a,零向量的相

反向量仍然是零向量

(l)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)0

数乘运算

实数X与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作Xa,

|Aa|=|A||a|,当人〉0时，入a的方向和&的方向相同，当入＜0时，入a的方向

和a的方向相反，当入二。时，入a=0。

设入、P是实数，那么；

⑴(入u)a=X(ua)(2)(Xu)a=A.aUa(3)入(a+b)=Xa±Xb(4)(-X)a=-

(Aa)=X(-a)o

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

己知两个非零向量a、b,那么|a||b|cos。叫做a与b的数量积或内积,记作

a?b,。是a与b的夹角，㈤cos0(|b|cos0)叫做向量a在b方向上(b在a方向

上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

|b|cos。的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

高一数学知识点总结归纳「篇三」

一：集合的含义与表示

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些

东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于

或不属于6

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是的，不可重复的。

（3）元素的无序性：集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响

集合

3、集合的表示：｛｝

（1）用大写字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B=（b2,3,4,5）

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来｛a,b,c）

b、描述法：

①区间法；将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

｛x?R|x—3>2）,｛x|x—3）2｝

②语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

③Venn图：画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类；

（1）有限集：含有有限个元素的集合

（2）无限集：含有无限个元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合

5、元素与集合的关系：

(1)元素在集合里,则元素属于集合，即；a?A

(2)元素不在集合里，见元素不属于集合，即：aCA

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N—或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

6、集合间的基本关系

(1)o“包含”关系(D一子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包

含关系，称集合A是集合B的子集。

高一数学知识点总结归纳「篇四」

1.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)"x);

⑵若f(x)是奇函数，0在其定义域内,则f(0)二0(可用于求参数)；

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：£(乂)±乳-、)二0或(N乂)工0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有

相反的单调性；

2,复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法，若已知的定义域为［a,b］,其复合函数f［g(x)］的定

义域由不等式aWg(x)Wb解出即可;若己知f［g(x)］的定义域为［%义求f(x)的定

义域,相当于x£［a,b］时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一

定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定；

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对

称点仍在图像上；

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的

对称点仍在C2上，反之亦然；

(3)曲线Cl：f(x,y”0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-

a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线Cl:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

⑸若函数y二数x)对x£R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y二f(x)图像关于直线

X二a对称；

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x二对称；

4.函数的周期性

⑴y二f(x)对xER时，f(>:+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a)0)恒成立,则y=f(x)

是周期为2a的周期函数；

(2)若kf(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x