2025年华东师大版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年华东师大版高二数学下册阶段测试试卷187考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知函数定义如下：当时，（）.A.有最大值1，无最小值B.有最小值0，无最大值C.有最小值—1，无最大值D.无最小值，也无最大值2、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为()ABCD3、【题文】设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为A.是等比数列。B.或是等比数列。C.和均是等比数列。D.和均是等比数列，且公比相同。4、【题文】已知数列的前项和则其通项公式（）A.B.C.D.5、【题文】复数的值为（）A.B.C.D.6、【题文】计算机执行下面的程序；输出的结果是()

a="1"

b="3"

a="a+b"

b=ba

PRINTa，b

ENDA.1，3B.4，9C.4，12D.4，87、已知向量且那么等于（）A.-4B.-2C.2D.48、已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.（0，]B.（0，]C.[1）D.[1）9、若a>1，则的最小值是（）A.aB.C.2D.3评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、设a、b为实数，且a+b=1，则2a+2b的最小值为____．11、等比数列{an}中，a1=-1，a4=8，公比为____．12、下列说法正确的有：____

（1）若则当n足够大时，

（2）由可知

（3）若f（x）是偶函数且可导，则f′（x）=-f′（-x）

（4）若函数f（x）中，f′（x）与[f′（x）]′都存在，且[f′（x）]′＞0，f′（x）=0，则f（x）是函数f（x）的一个极小值．13、函数y=3x2-2lnx的单调减区间为____．14、椭圆(为参数)的离心率是____.15、【题文】若满足约束条件则的最小值为____.16、【题文】一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时．17、已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=4，a2+a3+a4=-2，则a3+a4+a5+a6+a7+a8=______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共12分)25、（本小题满分10分）在△中，角所对的边分别为已知．（I）求的值（II）求的值26、（14分）在直角坐标系中，点P到两点的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若求k的值；（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||27、【题文】（本题8分）在中，角所对的边分别为已知

（1）求的值；

（2）当时，求及的长。28、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为3万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10）；若不建隔热层，每年能源消耗费用为4万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k的值及f（x）的表达式．

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)29、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．30、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).31、已知a为实数，求导数32、解不等式组：．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)33、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．34、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．35、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．36、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】试题分析由题意得其图像如图所示；由图像可知有最小值－１，无最大值.考点：分段函数的图像.【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】试题分析：依题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．A的图象为直线的图象，排除A．B项中B不是抛物线的焦点，排除B．D项不过A点，D排除．故选C．考点：本题主要考查了抛物线的定义和考生观察分析的能力，数形结合的思想的运用，考查计算能力，转化思想．是一道基础题。【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】

试题分析：依题意可知Ai=ai•ai+1；

∴Ai+1=ai+1•ai+2；

若{An}为等比数列则=q（q为常数），则a1，a3，，a2n-1，和a2，a4，，a2n；均是等比数列，且公比均为q；

反之要想{An}为等比数列则需为常数，即需要a1，a3，，a2n-1，和a2，a4，，a2n；均是等比数列，且公比相等；

故{An}为等比数列的充要条件是a1，a3，，a2n-1，和a2，a4，，a2n；均是等比数列，且公比相同．

故选D

考点：本题主要考查充要条件的概念；等比数列的概念。

点评：此类问题，要既考查充分性，又要考查必要性，已作出准确判断。【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式与其前n项和关系的运用。

因为数列的前项和当n=1时，有时；则会有。

经验证可知，首项符合上式，因此可知，数列的通项公式是选B.

解决该试题的关键是对于的准确运用。【解析】【答案】B5、C【分析】【解析】解：因为选C【解析】【答案】C6、C【分析】【解析】故选C【解析】【答案】C7、A【分析】【分析】因为所以所以所以解得所以选答案A.8、A【分析】【解答】如图所示；设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形；

∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a；∴a=2．

取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于解得b≥1．

∴e=

∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．

故选：A．

【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于可得解得b≥1．再利用离心率计算公式e=即可得出．9、D【分析】【分析】因为则当且仅当取得等号；

故表达式的最小值为3；选D.

【点评】解决该试题的关键是能根据题目中a的范围，构造一正二定三相等的特点来得到函数表达式的最值，也可以运用函数单调性来得到结论。二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

∵a+b=1；

∴

当且仅当2a=2b，即时“=”成立．

所以2a+2b的最小值为．

故答案为．

【解析】【答案】因为2a与2b均大于0；所以直接运用基本不等式求最小值．

11、略

【分析】

等比数列{an}中，a1=-1，a4=8，设公比等于q，则有8=-1×q3；∴q=-2；

故答案为-2．

【解析】【答案】结合题意由等比数列的通项公式可得8=-1×q3；由此求得q的值．

12、略

【分析】

若则当n足够大时，即第n项趋近于1，故（1）正确；

由可知当x趋向于负无穷时，不正确，故（2）不正确；

若f（x）是偶函数且可导，根据符合函数求导的法则得到f′（x）=-f′（-x）；故（3）正确。

若函数f（x）中，f′（x）与[f′（x）]′都存在，且[f′（x）]′＞0，f′（x）=0；

根据函数在某点取得极值的充要条件得到f（x）是函数f（x）的一个极小值．故（4）正确；

综上可知（1）（3）（4）正确；

故答案为：（1）（3）（4）

【解析】【答案】根据极限的意义，可以看出（1）正确，根据当x趋向于负无穷时，极限是-1，原式不正确，故（2）不正确，根据符合函数求导的法则得到f′（x）=-f′（-x），故（3）正确，根据函数在某点取得极值的充要条件得到f（x）是函数f（x）的一个极小值．故（4）正确．

13、略

【分析】

函数y=3x2-2lnx的定义域为（0；+∞）；

求函数y=3x2-2lnx的导数，得，y′=6x-令y′＜0，解得，0＜x＜

∴x∈（0，）时；函数为减函数．

∴函数y=3x2-2lnx的单调减区间为

故答案为

【解析】【答案】利用导数判断单调区间；导数大于0的区间为增区间，导数小于0的区间为减区间，所以只需求导数，再解导数小于0即可．

14、略

【分析】【解析】试题分析：椭圆(为参数)化为其中则考点：参数方程；椭圆的性质【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】z表示直线在y轴上的截距；截距越小；

z就越小.画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示）；

当直线过点A（1,1）时，

【考点定位】线性规划求最值【解析】【答案】016、略

【分析】【解析】由题意，n小时后有2n人得知，此时得知信息总人数为1+2+22++2n=2n+1－1≥55．即2n+1≥56n+1≥6n≥5．【解析】【答案】517、略

【分析】解：因为q===-

所以a3+a4+a5=（a2+a3+a4）×（-）=1；

a6+a7+a8=（a3+a4+a5）×（-）3=

于是a3+a4+a5+a6+a7+a8=

故答案为：

先根据q=求出q的值，再根据a3+a4+a5=（a2+a3+a4）•q和a6+a7+a8=（a3+a4+a5）q3，分别求得a3+a4+a5和a6+a7+a8的值，进而求出a3+a4+a5+a6+a7+a8值．

本题主要考查了等比数列的性质．本题的关键是利用了a3+a4+a5=（a2+a3+a4）•q和a6+a7+a8=（a3+a4+a5）q3．【解析】三、作图题(共9题，共18分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．23、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．24、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共12分)25、略

【分析】

(I)由余弦定理2分得3分5分(II)方法一：由余弦定理得7分9分是的内角，10分方法二：且是的内角，7分根据正弦定理9分得10分【解析】略【解析】【答案】26、略

【分析】

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴故曲线C的方程为．3分（Ⅱ）设其坐标满足消去y并整理得故．5分若即．而于是化简得所以．9分（Ⅲ）．因为A在第一象限，故．由知从而．又故即在题设条件下，恒有．14分【解析】略【解析】【答案】27、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（1）解：因为及

所以4分。

（2）解：当时，由正弦定理得

由及得

由余弦定理得

解得或

所以或8分28、略

【分析】

（1）利用已知条件推出C（0）=4；得到k，求出函数的解析式；

（2）利用函数的导数；通过函数的单调区间求解函数的最值推出结果．

本题考查实际问题的应用，函数的最值的求法，导函数的应用，考查计算能力．【解析】解：（1）由已知得C（0）=4，∴∴k=20（2分）

∴（3分）

（2）由（1）知，（2分）

令f'（x）=0得x=5或（1分）

∵函数f（x）在[0；5）递减，在[5，10]递增（1分）

∴函数f（x）在x=5取得最小值；最小值为f（5）=35（2分）

答：隔热层厚度为5厘米时，总费用最小，最小值为35万元．（1分）五、计算题(共4题，共20分)29、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．30、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.31、解：【分析】【分析】由原式得∴32、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集为（3，4）．【分析】【分析】根据不等式的解法即可得到结论．六、综合题(共4题，共28分)33、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）34、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．35、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C