人教A版（2019）高中数学必修第二册7.2复数代数形式的四则运算【课件】

§3.2复数代数形式的四则运算主讲人：廖爽

学

校：北京市第八十中学学 科：数学（人教版） 年 级：高二下学期高中数学会进行复数代数形式的加、减、乘、除四则运算.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.通过复数代数形式的四则运算的学习，提升数学运算的核心素养.高中数学复 习复数的代数形式：z=a+bi(a,b∈R)，其中a,b叫做复数z的实部和虚部复数的几何意义:高中数学复数的加法我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定.

当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致;（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.高中数学复数的加法探究1：复数的加法满足交换律、结合律吗？1. 交换律：设z1=a1+b1i,

z2=a2+b2i.z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,所以z1+z2=z2+z1高中数学复数的加法探究1：复数的加法满足交换律、结合律吗？2.结合律：设z1=a1+b1i,

z2=a2+b2i,

z3=a3+b3i.(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=(a1+a2

+a3)+(b1+b2+b3)i,z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+a2

+a3)+(b1+b2+b3)i,所以

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)高中数学复数的加法的几何意义探究2：复数与复平面内的向量有一一对应关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？OZ1(a,b)Z2(c,d)Zxy1 2

设

O

Z

,

O

Z

分别与复数a+bi,c+di对应

OZ1=（a,b），

OZ2=(c,d)

OZ1

+ OZ2

=（a+c,b+d）

OZ

=(a+c)+(b+d)i复数的加法可以按照向量的加法来进行z1+z2=OZ1+OZ2=

OZ高中数学复数的减法类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有c+x=a,d+y=b.因此

x=a-c,

y=b-d,所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i

,即 (a+bi)-(c+di)

=(a-c)+(b-d)i.复数的减法法则：

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i说明：（1）两个复数的差是一个确定的复数.（2）两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.思考：复数减法的几何意义.

复数的减法可以按照向量的减法来进行高中数学例1计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).分析：复数加法法则和减法法则.解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i高中数学复数的乘法我们规定，复数乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di

是任意两个复数，那么它们的乘积为：(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=

ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i.即 (a+bi)(c+di)=

(ac-bd)+(ad+bc)i注意：两个复数的积是一个确定的复数.高中数学复数的乘法探究3：复数的乘法满足交换律、结合律吗？乘法对加法满足分配率吗？1.交换律：设z1=a1+b1i,

z2=a2+b2i.z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd

=(ac-bd)+(ad+bc)i而z2·z1=(c+di

)(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2

=(ac-bd)+(ad+bc)i所以

z1·z2=z2·z12.结合律：

(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)3.分配律：z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3高中数学例2计算(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(3+4i)(3-4i);(3)(1+i)2.解:

(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.(3)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.其中(2)中的两个复数3+4i，3-4i称为共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.实数的共轭复数是它本身.通常记复数z的共轭复数为z

.若z=a+bi，则z=a-bi.高中数学思考：若z1，z2是共轭复数，那么(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？(2)z1·z2是一个怎样的数？分析：y(a,b)x(a,-b)z1=a+bioyx(a,0)z1=aoxyz1=bi(0,b)(0,-b)o在复平面内，共轭复数z1

,z2所对应的点关于实轴对称.高中数学思考：若z1，z2是共轭复数，那么(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？(2)z1·z2是一个怎样的数？分析：

⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi.则z1·z2=(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2+b2.任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.高中数学c

di记作：(a

bi)

(c

di)或

a

bi复数的除法探究4：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.分析：

满足(c

di)(x

yi)

a

bi(c

di

0)的复数x

yi叫做复数a

bi除以复数c

di的商.因为(a

bi)

(c

di)

a

bi

(a

bi)(c

di)

=

(ac

bd)

(bc

ad)ic

di (c

di)(c

di) c2

d

2

ac

bd

bc

ad

i(c

di

0).c2

d

2 c2

d

2高中数学复数的除法探究4：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.(a

bi)

(c

di)

ac

bd

bc

ad

i(c

di

0).c2

d

2 c2

d

2高中数学32例3计算(1

2i)

(3

4i).解：