【压轴专练】专题04 二次函数的图象与系数之间的关系（解析版）-2021-2022学年九上压轴题攻略

专题04二次函数图像与系数之间关系类型一、判断图像例1.一次函数图象如图所示，二次函数与反比例函数的图象可能是（）A．B．C． D．【解析】一次函数图象经过第一、二、四象限，，二次函数的开口向下，故选项C、D均错误，不符合题意；当抛物线与y轴交于正半轴时，c＞0，反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意，故选：A．【变式训练1】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2＋bx＋a的图象大致为（）B．C．D．【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c经过（-1，0）和（0，-1）两点，∴开口向上，对称轴在y轴的右侧，∴a-b+c=0，a＞0，b＜0，c=-1＜0，∴抛物线y=cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线，交y轴正半轴，当x=-1时，y=c-b+a=0，∴抛物线y=cx2+bx+a经过点（-1，0），观察图象，选项B符合题意，故选：B．【变式训练2】二次函数的图像如图所示，其对称轴是直线x＝1，则函数y＝ax＋b和y＝的大致图像是（）A．B．C． D．【解析】的开口向下，对称轴是直线x＝1，与轴交于正半轴，＜＞＞即的图像过一，二，四象限，且过的图像在一，三象限，选项：的图像过一，二，四象限，且过的图像在一，三象限，符合题意，选项：的图像过一，二，四象限，但不过过的图像在一，三象限，不符合题意，选项：的图像过一，二，三象限，但不过过的图像在一，三象限，不符合题意，选项：的图像过一，二，四象限，过的图像在二，四象限，不合题意，选：类型二、根据图像判断a，b，c之间关系例1.如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①点，，是该抛物线上的点，则﹔②；③；④；⑤（t为实数），其中正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤【答案】B【解析】抛物线的开口向下，且对称轴为直线，抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，，故①错误；抛物线的对称轴为直线，，故②正确；与轴的一个交点在和之间，由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即，故③正确；由③知，时，且，即，故④正确；由函数图象知当时，函数取得最大值，，即为实数），故⑤错误；故选：B．【变式训练1】如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；④若点，，均在二次函数图象上，则；⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，∴当x=1时，，故结论①正确；根据函数图像可知，当，即，对称轴为，即，根据抛物线开口向上，得，∴，∴，即，故结论②正确；根据抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图像可知：，故结论④错误；当时，，∴当时，，即，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C．【变式训练3】二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x==1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；④∵抛物线经过点，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程的两根分别为，5，故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④，故选：C．【变式训练4】如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】①图像开口朝上，故，根据对称轴“左同右异”可知，图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0故①正确；②得，，故②错误；③经过，，又由①得c<0，故③正确；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等当时，即，即经过，即经过故④正确；⑤当时,,当时,，函数有最小值，化简得，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D．【变式训练5】已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．∴c=1＞0，a-b+c=-1,4a-2b+c＞1，∴a-b=-2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵,∴△==＞0,∴有两个不等的实数根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故选D．课后作业1．已知二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④；⑤若此函数的最大值为，二次函数的最大值为，则．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】∵二次函数的图象开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在x轴的左侧，∴b<0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c>0，∴，故①正确；由图象可知，抛物线的对称轴为x=-1，即，∴b=2a，由图象可知，当x=1时，y=a+b+c<0，∴，故②错误；由图象可知，当x=0时，y>0，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴当x=-2时，y>0，即，故③错误；∵b=2a，∴，即，∴，∵a<0，，∴④正确；由图象可知，当x=-1时，函数的最大值为=a-b+c=a-2a+c=-a+c，二次函数与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），∴二次函数的对称轴为x=-1，∴二次函数的最大值=-4a=-a-3a，∵，∴，∴-a+c<-a-3a，即，故⑤错误；综上，正确的结论为①④．故选B．2．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤【答案】D【解析】∵从图像上看出,直线x=1与抛物线的交点位于第四象限，∴，故①正确；∵从图像上看出,直线x=-1时，函数有最大值，y=a-b+c，当x=0时，函数值为y=c=1，∴，故②正确；∵-＜0，∴ab＞0，∵c=1,∴，故③正确；∵，b=2a，∴，故④正确；∵，b=2a，∴，故⑤正确．故选D．3．已知抛物线（为常数，）的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于两点，其中点在点的右侧，直线经过两点．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】D【解析】由题可得函数图像如下图所示：根据图像可知当x=3时，一次函数y值大于0，∴，∴，故①正确，∵抛物线（为常数，）的对称轴是直线，∴即，∴根据图像可知：，∴，故②正确，根据图像可知当x=3时，二次函数图像位于一次函数图像上方，∴即，∴，∴，故③正确．故选：D4．如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③3；④当时，；⑤（为实数）．其中正确的是（）A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，对称轴为x＝1，∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，即②正确，④错误；抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，∴9a+3b+c＜0，又b＝﹣2a，∴9a﹣6a+c＝3a+c＜0，故③错误；由图可知，当x＝1时，函数有最大值，∴对于任意实数m，有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥m（am+b），故⑤正确．综上，正确的有①②⑤．故选：B．5．如图是抛物线，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，下列结论：①；②；③；④；⑤关于x的方程的另一个解在和之间，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴直线，∴，∴，故①②正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴点与关于直线对称，∵时，，∴时，，即，故③正确；∵抛物线，其顶点坐标为，∴，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，∴关于x的方程的另一个解在和之间，故⑤错误；∴正确结论的有①②③④共4个，故选：D．6．二次函数（，，为常数，）中的与的部分对应值如表：下列结论：其中正确的是（）A． B．当时，的值随值的增大而减小C． D．抛物线与坐标轴有两个交点【答案】C【解析】由图表中数据可知，x=0和x=3时，函数值相同，都是3，∴对称轴为直线x=，当x=1时，y=5＞3，∴函数开口向下，则抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且不不过原点，即抛物线与坐标轴有三个交点，故D错误，则a＜0，即，∴b＞0，当x=0时，y=3，则c=3，∴abc＜0，故A错误；当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故B错误，当x=-1时，y=-2，-1和4关于对称，∴当x=4时，y=-2，则16a+4b+c=-2＜0，故C正确；故选C．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2；⑤2a﹣b＜c．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，∴a＜0，＜0，c＞0，∴b＜0，∴abc＞0，结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，结论②正确；③∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∵＞﹣1，a＜0，∴b＞2a，∴a+b＜3a，∴3a+c＜0，结论③错误；④∵当x＝﹣1时，y＞0，当x＝1时，y＜0，∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，结论④正确；⑤∵＞﹣1，a＜0，∴2a﹣b＜0，∵c＞0，∴2a﹣b＜c，结论⑤正确；综上所述，正确的结论有②④⑤共3个．故选：C．8．如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中－1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤，其中正确的有___________．（填写正确的序号）【答案】②④⑤【解析】抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，所以abc＜0，故①错误；

对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；

当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误；

当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；

当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；

综上所述，正确的结论有：②④⑤，

故答案为：②④⑤．9．如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是________（填写序号）．【答案】②③④【解析】①图象开口向下，能得到a＜0，①错误；

②对称轴在y轴右侧，x==1，则有-=1，即2a+b=0，②正确；

③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0，③正确；

④由图可知，当-1＜x＜3时，y＞0，④正确．

故答案为：②③④．10．如