2024-2025学年高中数学习题课一课时作业含解析北师大版必修4

习题课(1)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．sin405°的值为(C)A．1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(1,2)解析：sin405°＝sin(360°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).2．已知角θ的终边经过点P(x,3)(x<0)且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，则x等于(A)A．－1 B．－eq\f(1,3)C．－3 D．－eq\f(2\r(3),3)解析：依题意有cosθ＝eq\f(x,\r(x2＋32))＝eq\f(\r(10),10)x，解得x＝±1，因为x<0，所以x＝－1，故选A.3．已知角α的终边经过点P(－3，－4)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))的值为(C)A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．－eq\f(3,5)解析：角α的终边经过点P(－3，－4)，由三角函数定义可得sinα＝eq\f(－4,\r(－32＋－42))＝－eq\f(4,5)，可得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα＝－eq\f(4,5)，故选C.4．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad，则扇形的面积为(D)A．2 B．3C．6 D．9解析：由题意知扇形所在圆的半径为eq\f(6,2)＝3，于是扇形的面积为eq\f(1,2)×6×3＝9.故选D.5．若角α和β的终边关于x轴对称，则α＋β为(A)A．2kπ，k∈Z B．2kπ＋eq\f(π,2)，k∈ZC．(2k＋1)π，k∈Z D．2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z解析：若α与β关于x轴对称，则α＝2kπ－β，k∈Z.6．已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝(C)A．3 B．－3C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：由sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，可得sinθ＝－2cosθ，∴eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(－2cosθ＋cosθ,－2cosθ－cosθ)＝eq\f(1,3).7．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，△ABC的内角满意f(cosA)<0，则A的取值范围是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))解析：由已知f(x)在(0，＋∞)上单调递增且在(－∞，0)上单调递增，又f(cosA)<0，∴f(cosA)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))或f(cosA)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，∴0<cosA<eq\f(1,2)或cosA<－eq\f(1,2)，∵A为△ABC的内角，即A∈(0，π)，∴eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2)或eq\f(2,3)π<A<π.8．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，则A的值构成的集合是(C)A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}解析：当k＝2n(n∈Z)时，A＝eq\f(sin2nπ＋α,sinα)＋eq\f(cos2nπ＋α,cosα)＝2；当k＝2n＋1(n∈Z)时，A＝eq\f(sin2nπ＋π＋α,sinα)＋eq\f(cos2nπ＋π＋α,cosα)＝－2.故A的值构成的集合为{－2,2}．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9．如图中阴影部分表示的角的集合为eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))eq\f(π,2)＋kπ≤α≤eq\f(3,4)π＋kπ，k∈Z}.解析：图中阴影部分表示的角的集合为eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))eq\f(π,2)＋kπ≤α≤eq\f(3,4)π＋kπ，k∈Z}.10．若cosα＝eq\f(2m－3,4)且α为其次象限角，则m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).解析：因为α为其次象限角，所以cosα<0，即eq\f(2m－3,4)<0，所以2m<3，所以m<eq\f(3,2).又cosα≥－1，所以eq\f(2m－3,4)≥－1，所以m≥－eq\f(1,2).所以m的取值范围为[－eq\f(1,2)，eq\f(3,2))．11．已知角α终边上一点A的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为3－eq\f(π,2).解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－cos3，,cosα＝sin3，))∵3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sin3>0，cos3<0，即α的终边在第一象限，∴cosα＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－3))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(π,2))).又∵3－eq\f(π,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＝3－eq\f(π,2).三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分．写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤)12.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq\r(2)，－eq\r(2))．(1)指出终边落在直线OP0上的角θ的集合；(2)当P第1次运动到位置P1(0,2)时，求质点P所经过的长度(弧长)l和所扫过的扇形的面积S.解：(1)由题意可知，∠xOP0＝－eq\f(π,4)，所以终边落在直线OP0上的角θ的集合为eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ))θ＝－eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z}∪eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ))θ＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z}＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ))θ＝－eq\f(π,4)＋nπ，n∈Z}.(2)由题意得∠P0OP1＝eq\f(3π,4)，所以由弧长公式可知质点P所经过的长度l＝eq\f(3π,4)×2＝eq\f(3π,2).扫过的扇形的面积S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(3π,2)＝eq\f(3π,2).13．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lgcosα有意义．(1)试推断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，求m的值及sinα的值．解：(1)由eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)可知sinα<0，∴α是第三或第四象限角或是y轴的非正半轴上的角．由lgcosα有意义可知cosα>0，∴α是第一或第四象限角或是x轴的非负半轴上的角．综上可知，α是第四象限角．(2)∵点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))在单位圆上，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq\f(4,5).又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－eq\f(4,5).依据正弦函数的定义，可知sinα＝－eq\f(4,5).14．已知函数f(x)＝sinx(1＋sinx)＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sinx＋sin2x＋cos2x＝sinx＋1，∴f(x)的最小正周期为2π.(2)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上为增函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))上为减函数，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π