高考数学一轮复习考点规范练15导数的综合应用（含解析）

考点规范练15导数的综合应用

一、基础巩固

1.已知函数f(x)=x+ax+bx+c在与x=l处都取得极值.

⑴求a,6的值及函数F(x)的单调区间；

⑵若对于%e[-l,2],不等式/U)援恒成立,求c的取值范围.

2.(2018全国II,理21)已知函数f(x)=^x-ax.

⑴若a=l,证明：当*20时，FJ)21;

⑵若/'(x)在区间(0,+8)内只有一个零点，求以

3.已知函数x(ak),e为自然对数的底数.

⑴若过点前2,A2))的切线斜率为2,求实数a的值；

⑵当ZX)时,求证:『(力2a(1」);

(3)若在区间(1,e)内,一子月恒成立,求实数a的取值范围.

4.(2018全国/，理21)已知函数户alnx.

⑴讨论f(x)的单调性；

⑵若f(x)存在两个极值点汨,离证明：("一(.个-2.

r2

二、能力提升

5.已知函数Ax)=a^+bx-c-\n>(上0)在x=\处取极值,其中金力为常数.

⑴若D0,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数r(x)在处取极值T-C,且不等式2°2恒成立，求实数。的取值范围;

⑶若且函数F(x)有两个不相等的零点小，照,证明：必正照)2.

6.设函数Ax)=x+bx-a\.nx.

⑴若x=2是函数f(x)的极值点，1和刘是函数f(x)的两个不同零点,且加£(〃,"1),〃£N,求n.

⑵若对任意bG[-2,T],都存在(lt。)，使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.

7.己知函数f(x)=ax-].nx.

⑴过原点0作函数FJ)图象的切线，求切点的横坐标；

(2)对VxR[1,+8),不等式f(x)2a(2%-/)恒成立,求实数a的取值范围.

三、高考预测

8.(2018天津,文20)设函数f(x)=(『幻(xF)(x-叁)，其中tht2t且th如心是公差为d的等

差数列.

⑴若t2=0,d=l,求曲线片打⑼在点(0,F(0))处的切线方程；

⑵若d=3,求f(x)的极值；

⑶若曲线片f(x)与直线尸-(才-场与北有三个互异的公共点,求d的取值范围.

考点规范练15导数的综合应用

1.解(1):'-(x)+ax+bx+c、

:・f'(x)=QtxRax+b.

又f(>)在广彳与x=\处都取得极值，

・"O=£_*加0,F'(l)=3+2a+b=0,

两式联立解得a=f6-2,

•：f(x)=x-J~2x+c,

f(x)=3/-x-2=(3x+2)(xT),

令令得

(x)=Qtx\=yx2=lt

当x变化时'(M,F(x)的变化情况如下表：

2

X-W1(L+8)

卜8,[)3而)

/(X)+3一0+

7极大值极小值/

・：函数/*5)的递增区间为(-8,-§与(1,+8),递减区间为(J,i).

(2)f(x)=x~^x-2x-f-c,[-1,2],

当户5时，(I)=黑，为极大值,而A2)*c,则A2)*c为最大值，要使4)</(彳£[-1,2])恒

成立,只需。2>f(2)=2+c,解得c<-\或c>2.

・：c的取值范围为(-8,-1)u⑵+吟.

2.⑴证明当a-1时,f(x)21等价于(V+l)eTWO.

设函数g(x)=(x-f-l)e'x-l,则g'(x)=~(xe-x=-(x-l)2e'x.

当xWl时,g'(x)<0,所以g(x)在区间(0,+2内单调递减.而g(0)R,故当*20时,g(x)WO,即

f(x)2L

⑵解设函数力(x)=lFfe”.

/U)在区间(0,#期内只有一个零点当且仅当力J)在区间(o,+8)内只有一个零点.

⑴当aWO时，力(x)刀,力⑺没有零点;

(ii)当时，力'(x)-C?X(A-2)e'\

当jrG(0,2)时，力'(06;当xW(2,+2时，力，(力为.

所以力5)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,，㈤内单调递增.

故力(2)=1'是方(x)在区间［0,+8)内的最小值.

滤力⑵为,则在区间(0,+8)内没有零点；

彝力⑵4),则在区间(0,2内只有一个零点；

彝力(2)<0,则ag.由于A(0)=1,所以力(x)在区间(0,2)内有一个零点.

由⑴知，当才为时,e>xt

所以Ma)?与'送吟^口,见

故力(力在区间(2,4a)内有一个零点.因此力(才)在区间(0,+8)内有两个零点.

综上,FJ)在区间(0,+8)内只有一个零点时,

4

3.⑴解疗(切『

・"'⑵・：aN.

⑵证明令以x)=4ln-1+—),

则g'(x)=介■-2).

令g'(x)不得x>l；

4'(才)<0,得oa<i；

所以g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,f8)内单调递增.

所以以X)的最小值为g(l)=o,

所以人才)211-上).

⑶解要使一一)1在区间(1,e)内恒成立，即使」VTY在区间(1,e)内恒成立,即m丁加在区

-1-1-1

间(l,e)内恒成立.

令力(才)=aln户1-%

则方'(*)=—1.

令h'(x)zX),解得x<a.

当a>e时,A(x)在(1,e)内单调递增,所以力(而)力(1)=0.

当1QW。时，力(x)在(1,a)内单调递增，在(a,e)内单调递减，

所以只需A(e)20,即a^e-1,所以eTWaWe;

当0QW1时"(力在(1,e)内单调递减,则需A(e)20,而A(e)=a"<0,不符合题意.

综上,实数a的取值范围为[e-l,+8).

4.⑴解F(x)的定义域为(0,，-J+1

Q若aW2,则6(x)W0,当且仅当a2x=\时f\x)R,所以F(x)在区间(0,+2内单调递减.

:

含喏a>2,令/(X)4得X-7J或x-+J2T.

当x£(°，~u(+,',+8)时,/•'(*)<0；

当闻一曰时,〃(x)X.

所以/(*)在区间(0,+'：7,+8)内单调递减,在区间上上)内单调递增.

⑵证明由(1)知,F(x)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点X\,也满足x-ax+\^),

所以汨及=1.不妨设X\<Xly则X2>1.

由于(M(2)=一4n「In2=_2+担」之？=一2寻」,

1-2i21-2r2--2

2

所以(7—等价于工-彳2+2111矛2<0.

!"22

设函数g(x)」-x+21nx,由⑴知,g(x)在区间(0,+8)内单调递减.又g(i)R,从而当(1,+8)

时,g(x)<0.

所以'-陶吆5及。即(声(2)Q_2.

2「2

5.(1)解因为f(x)=a](+bx-c-\.nx(xzX)),

所以F'(x)=2ax+6」~(XzX)).

因为函数F(x)在x=\处取极值,所以r(D所以力=1-2a,

所以/''(x)=2ax+\-

=U-l)(-+2)UX)).

当a?0时,则当xG(0,1)时，f'(x)<0;

当x£(l,*9)时，/''(QW.

所以函数FJ)的单调递增区间为(1,f8),单调递减区间为(0,1］.

⑵解由(1)知F(x)=ajf+(1-2a)x-c-lnx.

因为函数F(x)在x=\处取极值T-c,所以/(I)=-a+l-c=-\-ct可得a=2.

因为a0,由(1)可知函数f(x)在区间H,,8)内单调递增,在区间(0,1］上单调递减,所以

f(x)^=fW=-1-c.

因为不等式尸(力2-2°2恒成立，

所以有解得或。〈士

2

故实数C的取值范围是或CW*

(3)证明由(1)知f(x)%x2+(i—2a)>-c-lnx,函数f(x)在(0,1］上单调递减，在(1,+=)内单调递增.

因为函数人力有两个不相等的零点M,X2,

所以其必)=/(照)=0.

若设x《X2,则为£(0,1),xW(1,+8),

构造函数。(力=f(x)-f(2-x),x£(0,l),

2

则。(x)=2x-2+ln(2-x)-1nx,</>f(x)=2"----“<0,

所以尸。(x)在(0,1)内单调递减,所以，当XG(0,1)时，0(>)>0(1)=0.

所以f(x)(2-X).

因为汨£(0,1),所以八小)"(2-汨).

又因为f(Xx)=F(X2)=0,

所以F(X2)"(2-汨)，

而2-击，莅£(1,f8),

函数/Xx)在(1,+8)内单调递增,所以上)2-汨，即x\+xz论,得证.

6.解(1)：'/*(*)=V+bx-a\nx,

."'(x)4tx+b—(x无).

:,肝2是函数f(x)的极值点，

・"'(2)NM=R.

:'1是函数/•(»的零点，

・：用1)=1班=0.

叫：：「4=°'解得｛：6i.

・：f(x)=x-x-^lnx,F'(x)=2x-i2.

令尸(x)<0,得oa<2,

令F'(x)为，得x>2,

・：F(x)在(0,2)内单调递减，在(2,+8)内单调递增.

故函数F5)至多有两个零点，其中1£(0,2),刘£(2,+8).

：T(2)<f(l)<0,f(3)=6(l-ln3)<0,f(4)=6(2-ln4)=12(1-ln2)加,

二加(=(3,4),故〃=3.

⑵令g(b)=xb+jMx,b£[-2,-1],则以8)为关于b的一次函数,且为增函数,

根据题意,对任意^€[-2,-1],都存在xe(1,e),使得f(x)<0成立，

-

则^(Z?)nax5^(0=x~x-a\.nx<^在xG(1,e)有解，

令力(x)-x-x-alnx,只需存在(1,e)使得方(加)<0即可，

由于力'(x)=2x-l-=--

令。(x)=2x~x-a,(1,e),

则0'(*)N*TX,

故。(x)在(1,e)内单调递增，0(x))@(l)=l-a

妈1-仑0,即aWl时，0(力丸即力'(力为"(力在(l,c)内单调递增,

・"(*))力(1)4不符合题意.

酒1,<0,即a>l时，0(1)口一打<0,</>(e)=2e-e-a,

若a^2e~~e>l,则小(e)<0,

•:在(l,e)内。(力<0恒成立,即方'(见<0恒成立,

."(*)在(1,e)内单调递减,

,：存在照£(1,e)，使得力(8)6(1)或符合题意.

若2e2PM>1,则O(e)X),,：在(1,e)内一定存在实数m,使得。(加)4),

•:在(1,/〃)内<i>(x)<0恒成立，即力'(X)<0恒成立,。(*)在(1,勿)内单调递减，•:存在刖£(1,勿)，使得

力(施)<7?(1)4),符合题意.

综上所述，当a>\时,对任意代[-2,-1],都存在(1,e),使得f[x)<0成立.

7.解(1)设切点为做照,/U)),切线方程为y-A%o);klx-xj.

:T(力=aj

・：k=f'(xj即切线方程为y-a照-十)(x-刘).

又切线过原点Q・：-axo+ln刘二-axo,L

由].nxo=l,解得加气，.：切点的横坐标为e.

(2):'不等式axTnx2a(2万-汗2)恒成立，

•:等价于a(V-x)对V/£[1,*8)恒成立.

设yi=a(^-x),y2=lnx,由于xW[1,+°°),且当aWO时,yW%故a?0.

设g(x)=a^-ax~\.nx,

当OQ<1时,g(3)与aTn320不恒成立,当x=\时,g(x)20恒成立；

x)\时,?恒成立,令力(x).

又x>\H'J",lnx<¥-l<r(A-1),

即力(切二?<1恒成立，

综上所述,a2l.

8.解(1)由己知，可得&才)"(xT)知“)循-修故武(力才1-1.因此&0)R,f'(O)=T.又因为曲线

尸/V)在点(o,Ao))处的切线方程为y-f(o)=r(o)(x-O),故所求切线方程为广片0.

⑵由己知可得

fix)=(>-七+3)(才一场()一片2-3)=(x-t2)3-9(才一七)=^-3七/*(3I⑼x-乡用E故f'(*)=3/-

6上户3考4•令，'(X)电解得或x二

当*变化时，/J),/(4)的变化情况如下表：

/2-\^

1^2-73）（，2一\/5,121tV5）（6^/3,"）

r(x)+0一0+

人力/极大值极小值/

所以函数F(x)的极大值为/U