2025年外研衔接版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研衔接版高一数学上册月考试卷429考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A.35B.30C.25D.202、已知α是第三象限角；则sinα+cosα（）

A.大于0

B.小于0

C.有可能等于0

D.不能确定其正负。

3、【题文】已知a，b为实数，则2a>2b是log2a>log2b的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则=（）A.8B.4C.2D.15、函数f(x)=ex+3x

的零点所在的一个区间是(

)

A.(鈭�1,鈭�12)

B.(鈭�12,0)

C.(0,鈭�12)

D.(12,1)

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是____7、已知函数f（x）=x∈R，且则A=____．8、设向量是相互垂直的单位向量，向量λ+与-2垂直，则实数λ=______．9、等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3=______．10、已知直线l过定点A（1，0），且与圆C：（x-3）2+（y-4）2=4相切，则直线l的方程为______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)11、设定义域为的函数（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数的图象，并指出的单调区间（不需证明）；（Ⅱ）若方程有两个解，求出的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）.（Ⅲ）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.12、【题文】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中；D是BC的中点．

(1)若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；

(2)若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求的值．.13、【题文】在△ABC中，已知．求：

（1）AB的值；（2）的值．14、设函数f（x）=

（1）若方程f（x）=m有两个不同的解；求实数m的值，并解此方程；

（2）当x∈（﹣b，b）（b＞0）时，求函数f（x）的值域．15、如图；正方形ABCD的边长为1，E，F分别为BC，CD上异于端点的点，△ECF的周长为2，∠BAE=α，∠DAF=β．

（Ⅰ）当E为BC中点时；求tan（α+β）的值；

（Ⅱ）求•的最小值．16、如图；已知在正四棱锥P鈭�ABCD

中，M

为侧棱PD

的中点。

(1)

证明：PB//

面ACM

(2)

证明：平面ACM隆脥

平面PBD

(3)

设AB=2

若质点从点A

沿面PAD

与面PCD

的表面运动到点C

的最短路径恰好经过点M

求正四棱锥P鈭�ABCD

的体积．17、已知函数f(x)=Asin(娄脴x+3娄脨4)(A>0,娄脴>0,|娄脮|<娄脨)

的一段图象如图所示；

(

Ⅰ)

求函数f(x)

的解析式；

(

Ⅱ)

求函数f(x)

的单调递增区间．评卷人得分四、作图题(共4题，共12分)18、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．19、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．20、作出下列函数图象：y=21、画出计算1++++的程序框图．评卷人得分五、证明题(共2题，共20分)22、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．23、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】【分析】设距离为S，原来速度为v．分别表示现在速度、时间、原来的时间，根据“时间可节省k%”列方程求解．【解析】【解答】解：设距离为S，原来速度为v．则原来行车时间为；现在速度为（1+25%）v，时间为．

根据题意得=k%．

解得k=20．

故选D．2、B【分析】

∵α是第三象限角。

∴sinα＜0cosα＜0

∴sinα+cosα＜0

故选：B．

【解析】【答案】根据α所在的象限；得出sinα和cosα的正负即可得出答案．

3、B【分析】【解析】若2a>2b,则a>b,由于a,b可能为负数，所以log2a>log2b不成立；反之，当log2a>log2b时，a>b,所以2a>2b.【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】解：由=16，得||=4，∵=||=4；

而

∴=2

故选C．

【分析】先求出||=4，又因为=||=2=4，可得答案．5、B【分析】解：隆脽

函数f(x)=ex+3x

是R

上的连续函数；且单调递增；

f(鈭�12)=e鈭�12+3隆脕(鈭�12)=1e鈭�32<0f(0)=e0+0=1>0

隆脿f(鈭�12)f(0)<0

隆脿f(x)=ex+3x

的零点所在的一个区间为(鈭�12,0)

故选：B

．

根据函数f(x)=ex+3x

是R

上的连续函数，且单调递增，f(鈭�12)f(0)<0

结合函数零点的判定定理，可得结论．

本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．【解析】B

二、填空题(共5题，共10分)6、略

【分析】【解析】试题分析：①正方体的三个视图相同；②圆锥的主视图与左视图相同；③三棱台没有相同的视图；④正四棱锥的主视图与左视图相同。故答案为②④。考点：本题主要考查几何体的三视图、直观图。【解析】【答案】②④、7、略

【分析】

∵=A=A=∴解得A=2．

故答案为2．

【解析】【答案】利用特殊角的三角函数值即可得出．

8、略

【分析】解：∵向量是相互垂直的单位向量；

∴=0，．

∵λ+与-2垂直；

∴（λ+）•（-2）=λ-2=0．

解得λ=2．

故答案为2．

本题考查了平面向量垂直与数量积的关系，根据向量λ+与-2垂直，令数量积为零，再根据向量是相互垂直的单位向量，模为1，数量积为0，即可求解．【解析】29、略

【分析】解：由题意可得公比q≠1，∵S3，S9，S6成等差数列，∴2S9=S3+S6；

∴2=+∴2q9-q6-q3=0；

∴2q6-q3-1=0，解得q3=∴q3=-

故答案为-．

由题意可得公比q≠1，根据S3，S9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6，把等比数列的通项公式代入化简可得2q6-q3-1=0，解方程求得q3的值．

本题考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，得到2q6-q3-1=0，是解题的关键．【解析】-10、略

【分析】解：设切线方程为y=k（x-1）；即kx-y-k=0；

∵圆心（3；4）到切线l的距离等于半径2；

∴=2，解得k=

∴切线方程为3x-4y-3=0；

当过点M的直线的斜率不存在时；其方程为x=1，圆心（3，4）到此直线的距离等于半径2；

故直线x=1也适合题意．

所以；所求的直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0；

故答案为x=1或3x-4y-3=0．

设出切线方程；求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，写出切线方程即可．

本题考查圆的切线方程的求法，注意直线的斜率存在与不存在情况，是本题的关键．【解析】x=1或3x-4y-3=0三、解答题(共7题，共14分)11、略

【分析】试题分析：（Ⅰ）利用一次函数、二次函数的图象及对称性可作出图象，然后根据图象可写单调区间；（Ⅱ）考虑直线与函数的图象只有两个交点时，写出满足的条件；（Ⅲ）当时，由此可得到的解析式，然后利用函数奇偶性可求得的解析式，又由奇函数的特性易知进而可求得的解析式．试题解析：（Ⅰ）如图.单增区间：单减区间．（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出图象，由图可知有两个解，须或即或．（Ⅲ）当时，因为为奇函数，所以且所以．考点：1、分段函数的图象；2、函数单调性及奇偶性．【解析】【答案】（Ⅰ）作图岁详解．单增区间：单减区间（Ⅱ）或（Ⅲ）．12、略

【分析】【解析】(1)证明：取B1C1中点G，连结EG、GD，则EG∥A1B1，DG∥BB1.又EG∩DG＝G，∴平面DEG∥平面ABB1A1.又DE平面DEG，∴DE∥平面ABB1A1.

(2)解：设B1D交BC1于点F，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.因为A1B∥平面B1DE，A1B平面A1BC1，所以A1B∥EF.所以因为所以＝【解析】【答案】（1）见解析（2）13、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）中由已知可联想到向量运算法则得：即可解得所求的长（2）对于所求不难想到可将其运用两角差的正弦三角公式展开得：在三角形中观察此式结构特征可想到运用正弦定理化简得：此时可联系（1）中所给向量数量积的定义进而可得：边已求得；这样问题即可求得．

试题解析：（1）因为4分。

所以即

亦即故．7分。

（2）10分。

由正弦定理得．14分。

考点：1.向量的数量积;2.三角化简;3.正余弦定理的运用．【解析】【答案】（1）（2）．14、解：（1）∵f（0）=0，f（1）=0，f（{#mathml#}12

{#/mathml#}）=﹣{#mathml#}14

{#/mathml#}，

当x＜0时，f（﹣{#mathml#}23

{#/mathml#}）=﹣{#mathml#}14

{#/mathml#}；

又∵f（x）在（﹣∞，0）上递增，在（0，{#mathml#}12

{#/mathml#}）上递减，在（{#mathml#}12

{#/mathml#}，+∞）上递增；

∴当m=0或m=﹣{#mathml#}14

{#/mathml#}时，方程f（x）=m有两个不同的解．

当m=0时，方程的解为0，1；

当m=﹣{#mathml#}14

{#/mathml#}时，方程的解为{#mathml#}12

{#/mathml#}，﹣{#mathml#}23

{#/mathml#}；

（2）由（1）可知，函数f（x）的图象如图所示，

①当0＜b≤{#mathml#}12

{#/mathml#}时，

∵f（﹣b）﹣f（b）=﹣{#mathml#}940

{#/mathml#}b（b+1）﹣b（b﹣1）

=﹣{#mathml#}140

{#/mathml#}b（49b﹣31）＞0，

此时函数f（x）的值域为（b（b﹣1），0]；

②当{#mathml#}12

{#/mathml#}＜b≤{#mathml#}23

{#/mathml#}时，

∵f（﹣b）≥f（{#mathml#}12

{#/mathml#}），

∴函数f（x）的值域为[﹣{#mathml#}14

{#/mathml#}，0]；

③当{#mathml#}23

{#/mathml#}＜b≤1时，

∵f（﹣b）＜f（{#mathml#}12

{#/mathml#}），且f（b）≤0；

∴函数f（x）的值域为（﹣{#mathml#}940

{#/mathml#}b（b+1），0]；

④当b＞1时，

∵f（﹣b）＜f（{#mathml#}12

{#/mathml#}），且f（b）＞0；

∴函数f（x）的值域为（﹣{#mathml#}940

{#/mathml#}b（b+1），b（b﹣1））．

【分析】【分析】（1）可求得f（0）=0，f（1）=0，f（）=﹣f（﹣）=﹣且f（x）在（﹣∞，0）上递增，在（0，）上递减，在（+∞）上递增；从而可得当m=0或m=﹣时；方程f（x）=m有两个不同的解．再代入求解即可．

（2）由（1）可知，作出函数f（x）的图象，从而以0＜b≤＜b≤＜b≤1，b＞1讨论函数的值域即可．15、略

【分析】

（Ⅰ）根据解直角三角形；和两角和正弦公式，即可求出；

（Ⅱ）根据解三角形和三角形的周长公式，能求出a+β=再根据向量的数量积，以及三角函数的性质即可求出。

本题考查了解三角形的有关问题，以及三角函数的化简，以及向量的数量积公式和正弦函数的性质，属于中档题．【解析】解：（Ⅰ）∵E为BC中点；

∴CE=

在Rt△ECF中；设CF=t；

则EF=

∵△ECF的周长为2；

∴+t+==2；

解得t=即CF=

在Rt△ABE中，AB=1，BE=∠BAE=α；

∴tanα=

在Rt△ADF中，AD=1，DF=∠DAF=β；

∴tanβ=（2分）

∴tan（α+β）==1（3分）

（Ⅱ）在Rt△ABE中，AB=1，BE=∠BAE=α；

∴BE=tanα∈（0，1），AE=

在Rt△ADF中，AD=1，DF=∠DAF=β；

∴DF=tanβ∈（0，1），AF=（4分）

∴在Rt△ECF中；CE=1-tanα，CF=1-tanβ；

∴EF=

∵△ECF的周长为2；

∴1-tanα+1-tanβ+=2（5分）

化简得tanα+tanβ=1-tanαtanβ；

∴tan（α+β）==1（6分）

又∵0＜α+β＜

∴a+β=（7分）

∴∠EAF=-（α+β）=

∴•=||•||•cos∠EAF=••cos（8分）

==（10分）

∵0＜α＜

∴＜2α+＜（11分）

∴当2α+=即a=时，sin（2α+）取得最大值1；

即取得最小值=2（-1）．（12分）16、略

【分析】

(1)

设AC隆脡BD=O

连结OM

推导出OM//PB

由此能证明PB//

平面ACM

．

(2)

推导出BD隆脥AC

从而AC隆脥

平面PBD

由此能证明平面ACM隆脥

平面PBD

(3)

推导出鈻�PAD

和鈻�PCD

是全等的等边三角形；AD=CD=PA=PB=PC=PD=2

由此能出正四棱锥P鈭�ABCD

的体积．

本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查正四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．【解析】证明：(1)

设AC隆脡BD=O

连结OM

隆脽

正四棱锥P鈭�ABCD

中；ABCD

是正方形，隆脿O

是BD

中点；

隆脽M

为侧棱PD

的中点；隆脿OM//PB

隆脽PB?

平面ACMOM?

平面ACM

隆脿PB//

平面ACM

．

(2)隆脽

正四棱锥P鈭�ABCD

中；AC隆脡BD=O

隆脿PO隆脥ACBD隆脥AC

隆脽PO隆脡BD=O隆脿AC隆脥

平面PBD

隆脽AC?

平面ACM隆脿

平面ACM隆脥

平面PBD

解：(3)隆脽AB=2

若质点从点A

沿面PAD

与面PCD

的表面运动到点C

的最短路径恰好经过点M

隆脿鈻�PAD

和鈻�PCD

是全等的等边三角形；隆脿AD=CD=PA=PB=PC=PD=2

隆脿AO=12AC=4+4=2PO=PA2鈭�AO2=2

S脮媒路陆脨脦ABCD=2隆脕2=4

隆脿

正四棱锥P鈭�ABCD

的体积：

V=13S脮媒路陆脨脦ABCD隆脕PO=13隆脕4隆脕2=423

．17、略

【分析】

(

Ⅰ)

利用函数的图象求出A

和函数的周期；求出娄脴

即可求函数f(x)

的解析式；

(

Ⅱ)

利用正弦函数的单调增区间直接求解函数f(x)

的单调增区间；

本题考查三角函数的解析式的求法，函数的单调性，考查计算能力，属于基础题．【解析】解：(

Ⅰ)

由题意知：A=2T=2隆脕(3娄脨8+娄脨8)=娄脨=2娄脨蠅

可得：娄脴=2

可得：f(x)=2sin(2x+3娄脨4)

．

(

Ⅱ)

由2k娄脨鈭�娄脨2鈮�2x+3娄脨4鈮�2k娄脨+娄脨2,k隆脢Z

得：k娄脨鈭�5娄脨8鈮�x鈮�k娄脨鈭�娄脨8k隆脢Z

可得函数f(x)

的单调递增区间为：[k娄脨鈭�5娄脨8,k娄脨鈭�娄脨8],k隆脢Z

．四、作图题(共4题，共12分)18、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．19、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．20、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

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