全书教学课件：有限元基础

有限元基础第一章绪论章节目录：1.1课程介绍1.2有限元的发展状况1.3有限元法的作用及其工程应用1.4有限元法的基本原理1.5有限元的基本分析过程1.6章节介绍1.7思考题第一章绪论章节目录：1.1课程介绍1.2有限元的发展状况1.3有限元法的作用及其工程应用1.4有限元法的基本原理1.5有限元的基本分析过程1.6章节介绍1.7思考题1.1课程介绍学分/学时：1.5/26先修课程：理论力学，材料力学，高等数学，线性代数教学目标：通过介绍有限元法的基本理论，使学生掌握有限元法的基本分析方法和常用的几种单元，了解有限元方法在汽车或者飞行器等领域的应用，为今后从事结构设计、分析及开展相关科学研究打下基础。使用教材：谭继锦.汽车有限元法.北京：人民交通出版社，2005.1

曾攀.有限元方法.北京：清华大学出版社，2004.6考试方法：笔试（80%）＋大作业（20%）使用软件：用C语言自编程序进行有限元计算第一章绪论章节目录：1.1课程介绍1.2有限元法的发展状况1.3有限元法的作用及其工程应用1.4有限元法的基本原理1.5有限元的基本分析过程1.6章节介绍1.7思考题1.2有限元法的发展状况三大科学研究方法：理论分析、科学试验和科学计算。有限元分析（FiniteElementAnalysis）：工程领域科学计算的重要方法之一。成功案例：1990.10－1994.4，美国波音公司，客机B-777有限元方法的发展包含三个方面：计算理论：弹性力学、非线性弹性力学、（弹）塑性力学、复合材料力学、断裂力学和损伤力学等；计算机硬件：使得计算规模、计算速度和计算机容量不再是主要矛盾计算机软件：通用有限元分析软件：ANSYS、MSC/NASTRAN、MSC/MARC、ALGOR、IDEAS、PRO/MECHANICA等；专业有限元分析软件：LS-DYNA、AUTOFORM、PAM-STAMP、ABQUES、DEFORM、INDEED等；第一章绪论章节目录：1.1课程介绍1.2有限元法的发展状况1.3有限元法的作用及其工程应用1.4有限元法的基本原理1.5有限元的基本分析过程1.6章节介绍1.7思考题1.3有限元法的作用和工程应用作用：实现产品效益最大化目标（降低开发成本、缩短研制周期）应用于产品设计开发的各个阶段：概念设计阶段产品设计阶段样机试验阶段应用领域机械工程车辆工程土木工程航空航天材料加工工程……1.3有限元法的作用和工程应用分析类型静态分析模态分析动态分析举例1：对概念设计的应力分析、方案评价发动机缸体概念设计及其分析结果举例2：瞬态应力分析在考虑结构弹性的同时分析其运动情况和工作时间的应力响应举例3：整车碰撞分析举例4：安全气囊展开过程分析碰撞时空气囊打开仿真模拟举例5：汽车的流体动力学分析举例6：发动机缸体热应力分析举例7：汽车覆盖件冲压成型分析举例8：复杂钣金件结构拓扑优化优化前优化后第一章绪论章节目录：1.1课程介绍1.2有限元的发展状况1.3有限元法的作用及其工程应用1.4有限元法的基本原理1.5有限元的基本分析过程1.6章节介绍1.7思考题引题：有限元法能解决什么问题？问题1：均匀截面刚性杆受拉，用物理学、理论力学方法求杆上受力情况。问题2：均匀圆截面刚性杆受拉，用材料力学方法求杆上各截面应力、应变情况。问题3：变截面弹性杆受拉，用有限元方法求杆上任意一点的应力、应变及位移分布。1.4有限元法的基本原理理论力学材料力学有限元法1.4有限元法的基本原理物理学1.4有限元法的基本原理有限元法的基本原理有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，单元之间仅在有限个节点上相连接，亦即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。

几个关键点：“分”：连续体离散技术

离散体（有限单元的集合）

无限个自由度

有限个自由度“合”：单元之间通过节点连接，并承受一定载荷，组成有限单元集合体，建立整个物体的平衡方程，实现对整体结构的综合分析。

由于有限单元的分割和节点配置比较灵活，有限元法可以适用于任意复杂的几何结构。1.4有限元法的基本原理1.4有限元法的基本原理离散单元节点放大求解厚度云图

单元和节点1.4有限元法的基本原理单元有多种类型，包括线、面和实体或者称为一维、二维和三维等类型单元。某款车架的有限元网格模型第一章绪论章节目录：1.1课程介绍1.2有限元的发展状况1.3有限元法的作用及其工程应用1.4有限元法的基本原理1.5有限元的基本分析过程1.6章节介绍1.7思考题1.5有限元的基本分析过程有限元分析的基本步骤：分析结构的特点：结构形状、边界、载荷工况等；剖分网格（Meshing）：选择单元类型，将连续体划分为有限单元；建立有限元计算模型：确定边界条件、材料特性等；单元特性分析：以单元节点位移为未知量选择合适的位移函数，建立单元位移和节点位移之间的关系根据几何条件，建立单元应变和单元位移之间的关系根据物理条件，建立单元应力和单元应变之间的关系根据平衡条件，建立单元节点力和节点位移之间的关系建立整体有限元方程：根据力的平衡条件和边界条件，集合所有单元求解(Solving)：求解整体有限元方程，得出节点位移1.5有限元的基本分析过程思考题1：对于不同的结构，要采用不同的单元，那么上述的单元的分析方法是否一致？答案：Yes！思考题2:目前已经有许多非常成熟的有限元分析软件，几乎所有复杂的有限元计算过程都由计算机来完成，因此有些同学认为：没有必要掌握有限元理论，只要学好软件程序的使用，就能够做好有限元分析工作，进而为工程服务。请问，这种观点是否正确？答案：No!1.5有限元的基本分析过程有限元应用的主要难题如何精确的建立计算模型？如何实现计算模型中各种支承、连接与实际结构相符？如何确定载荷，尤其是动态载荷、路面载荷或者飞行载荷等？如何施加载荷，以反映各种运动状态等？……

解决上述问题，要通过学习有限元基本理论，结合专业知识，将学习有限元法和掌握程序操纵技巧结合起来，才能很好的应用有限元方法和软件来分析解决实际问题。课程学习路线：从最简单的平面结构入手，由浅入深，掌握有限元理论和分析方法，就可推广到各种结构形式，进而可以将有限元计算结果应用于工程中。第一章绪论章节目录：1.1课程介绍1.2有限元的发展状况1.3有限元法的作用及其工程应用1.4有限元法的基本原理1.5有限元的基本分析过程1.6章节介绍1.7思考题1.6章节介绍第一章绪论(2学时)第二章弹性力学基本方程及平面有限元法（10学时）第三章空间问题的有限元法（2学时）第四章杆系结构的有限元法（2学时）第五章板壳问题的有限元法（4学时）第六章结构动力学问题的有限元法（2学时）第七章有限元软件的基本分析过程（2学时）第一章绪论章节目录：1.1课程介绍1.2有限元的发展状况1.3有限元法的作用及其工程应用1.4有限元法的基本原理1.5有限元的基本分析过程1.6章节介绍1.7思考题1.7思考题有限元法的基本思想？有限元分析的基本步骤？你希望将来从事什么工作？会不会用到有限元理论？有限元基础

第三章第三章空间问题的有限元法3.1简介3.24节点四面体常应变单元3.38节点六面体单元3.420节点六面体等参单元3.5空间轴对称问题的有限元法3.1简介弹性力学空间问题与平面问题的区别：基本方程：空间：3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程；平面：2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程；

基本分量：空间：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量；平面：2个位移分量，3个应力分量，3个应变分量；空间问题的有限元法：未知量采用“位移法”，选取节点位移作为未知量基本步骤先“离散”，再“单元分析”，后“整体分析”，最后“求解整体平衡方程”3.1简介有限单元类型：连续单元

特点：每个节点最多有3个位移分量（自由度）u,v,w

举例：一维杆元（第4章）、二维平面单元（第2章）、三维实体单元（第3章）结构单元

特点：每个节点最多有6个位移分量（自由度）u,v,w,θx,θy,θz

举例：板壳元（第5章）、梁元（第4章）空间问题的常用实体单元：

4节点四面体单元、8节点六面体单元、等参单元3.1简介本章重点和要求：了解空间问题的有限元法的原理和解题方法，熟悉常用实体单元的类型和特性，掌握常用实体单元的有限元分析方法。3.24节点四面体常应变单元单元描述节点：4个节点编号规则：因此：节点坐标值

3个坐标方向：xi,yi,zi

(i.j,m,p)节点位移（自由度）

3个坐标方向：ui,vi,wi

(i.j,m,p)单元节点位移列阵

单元共有12个位移分量。3.24节点四面体常应变单元位移模式形函数的定义其中系数为常数项，由节点坐标值决定。3.24节点四面体常应变单元几何方程（描述物体的变形程度：应变与位移的关系）应变分量几何方程B为常数矩阵。因此，为常应变单元！3.24节点四面体常应变单元物理方程（描述材料特性：应力与位移的关系）应力分量物理方程3.24节点四面体常应变单元单元平衡方程（单元刚度矩阵）要求：掌握单元刚度矩阵的推导过程！3.24节点四面体常应变单元单元等效节点载荷（对非节点载荷而言）节点载荷列阵体力集中力面力单元描述单元形状：2a×2b×2c节点：8个节点编号规则局部坐标系因此：节点坐标值

3个坐标方向：ξi

ηi

ζi(i.j,m,p)节点位移（自由度）

3个坐标方向：ui,vi,wi

(i.j,m,p)单元节点位移列阵（局部坐标系下）

单元共有24个位移分量（自由度）。3.38节点六面体单元（砖形单元）3.38节点六面体单元（砖形单元）位移模式3.38节点六面体单元（砖形单元）几何方程（描述物体的几何变形程度：应变与位移的关系）利用坐标映射关系推导出偏导数映射关系！3.38节点六面体单元（砖形单元）4.物理方程（描述材料特性：应力与位移之间的关系）3.38节点六面体单元（砖形单元）5.单元平衡方程（单元刚度矩阵）3.420节点六面体等参单元1.单元描述

要求：自行分析出在局部坐标系下，节点坐标、节点位移（自由度）和单元节点位移列阵。坐标变换3.420节点六面体等参单元2.坐标变换式和位移模式3.420节点六面体等参单元3.几何方程利用坐标映射关系推导出偏导数映射关系！3.420节点六面体等参单元3.几何方程雅可比矩阵J只有在雅可比矩阵可逆的情况下，可以求解出Ni,xNi,yNi,z！3.420节点六面体等参单元4.物理方程3.420节点六面体等参单元5.单元平衡方程（单元刚度矩阵）3.420节点六面体等参单元5.单元平衡方程（单元刚度矩阵）3.420节点六面体等参单元6.单元等效节点载荷3.5空间轴对称问题的有限元法空间轴对称问题特点：几何形状、约束条件、外载荷都对称于某一轴线。因此，位移、应变和应力分量都对称于该轴。有限元法：为了简化问题、加快求解速度，采用绕对称轴旋转一周的环形单元(3节点三角形轴对称单元、4节点矩形轴对称单元)进行有限元分析。有限元分析步骤和平面问题相同。3.5空间轴对称问题的有限元法空间轴对称问题的举例无限长受内压的轴对称圆筒，该圆筒置于刚性圆孔中。80mm120mmrz1234①②40mm60mmF1F210mm3.5空间轴对称问题的有限元法1.空间轴对称问题描述整体坐标系：圆柱坐标(r,θ,z)轴对称特点：在（z,r）二维空间里面进行有限元分析单元类型：三角形环形单元2.单元描述节点：3个因此，节点坐标节点位移（自由度）

2个坐标方向的位移w,u单元节点位移列阵单元共有6个自由度!3.5空间轴对称问题的有限元法3.位移模式3.5空间轴对称问题的有限元法4.几何方程（应变和位移的关系）5.物理方程（应力与位移之间的关系）3.5空间轴对称问题的有限元法6.单元刚度矩阵3.5空间轴对称问题的有限元法7.单元等效节点载荷3.5空间轴对称问题的有限元法有限元基础

第四章第四章杆系结构的有限元法章节目录4.1概述4.2拉压直杆的有限元分析4.3梁的有限元分析4.4刚架的有限元分析4.1概述4.1.1杆系结构定义由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构分类平面杆系：各杆轴线和外力作用线在一个平面内空间杆系：各杆轴线和外力作用线不在一个平面内工程中常见类型拉压直杆，桁架（平面和空间），梁（简支悬臂梁等），刚架（平面和空间）4.1概述4.1.2杆系单元定义杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。杆系单元为一维单元。结构离散一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。F节点1节点2单元①节点3节点2单元②4.1概述4.1.2杆系单元分类桁架单元：桁架中的杆件刚架单元：刚架中的杆件区别：桁架节点：铰节点传递力！刚架节点：刚节点

传递力和力矩！4.1概述4.1.3杆系单元的有限元分析与平面问题和空间问题比较，基本流程完全相同；具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。4.2拉压直杆的有限元分析4.2.1拉压直杆（单元描述）几何形状：等截面A,长度为l载荷：沿轴线分布节点：2个局部坐标系：沿轴线定义的一维坐标系ox因此，节点坐标

在x轴的坐标：xi,xj节点位移（自由度）

沿x轴的位移：ui,uj单元节点位移列阵ijlxuiuj4.2拉压直杆的有限元分析4.2.2位移模式单元位移模式的推导位移模式形函数ijlxuiuj4.2拉压直杆的有限元分析4.2.3应变应变分量

拉压直杆只有轴向应变：几何方程的推导4.2拉压直杆的有限元分析4.2.4应力应力分量

拉压直杆只有轴向应力：物理方程的推导4.2拉压直杆的有限元分析4.2.5单元刚度矩阵4.2拉压直杆的有限元分析4.2.5单元节点等效载荷（轴向载荷）集中力根据离散的要求，集中力直接施加在所处节点上体力轴向分布载荷q(x)推导依据：

面力按照集中载荷施加在面所在的节点上4.2拉压直杆的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析网格离散单元分析整体分析400mm300mmXY20kN25kN①②③④1234ij4.2拉压直杆的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析网格离散单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：整体坐标系:OXY局部坐标系:OxyxyXYOα4.2.6平面桁架的有限元分析整体坐标系OXY：节点位移为Ui,Vi(i,j)局部坐标系Oxy：节点位移为ui,uj则有：4.2拉压直杆的有限元分析ijxyXYOαUjVjUiViujui从整体坐标到局部坐标的坐标变换矩阵[T]4.2拉压直杆的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析推导：注意：局部坐标系下的应力和应变4.2拉压直杆的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析因此，单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的变换式：4.2拉压直杆的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：4.3梁的有限元分析4.3.1纯弯梁单元(单元描述)几何形状：长度l，横截面为A。材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。节点：i,j共2个局部坐标系：oxy4.3梁的有限元分析材料力学基础知识4.3梁的有限元分析4.3.1纯弯梁单元(单元描述)节点坐标值：xi=0,xj=l节点位移值：挠度vi和转角θi节点力：弯距Mi和剪力Qi因此，单元位移列阵：单元载荷列阵：4.3梁的有限元分析4.3.2

位移模式代入单元两个节点的坐标和位移条件，即可求解四个待定常数a1-a4：4.3梁的有限元分析4.3.3应变4.3梁的有限元分析4.3.4应力4.3.5单元刚度矩阵单元平衡方程：4.3梁的有限元分析4.3.6等效节点载荷若存在集中力或者集中力矩，将作用点取为节点若存在分布载荷，按照虚功等效的原则进行计算适用情况：截面高度小于长度的1/5的杆系结构。原因：单元的位移模式，决定了没有考虑剪切挠度。4.3梁的有限元分析4.3.7应用实例12312kN/m1m1m4.4刚架的有限元分析4.4.1平面刚架相互独立的两种变形形式轴向拉压面内弯曲因此：刚架单元＝杆单元＋梁单元局部坐标系:oxyz4.4刚架的有限元分析4.4.1平面刚架两个坐标系：局部坐标系整体坐标系4.4.2平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）节点位移轴向位移横向位移绕z轴的转角节点载荷轴向力剪力弯矩4.4刚架的有限元分析刚架的有限元分析因此，局部坐标系下：单元节点位移列阵：单元节点载荷列阵：4.4.2平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）4.4刚架的有限元分析4.4.3单元刚度矩阵(局部坐标系下)3单元分析：局部坐标系整体分析：整体坐标系因此，需要进行坐标转换。4.4刚架的有限元分析4.4.4坐标变换（推导过程省略）4.4刚架的有限元分析4.4刚架的有限元分析4.4.5空间刚架结构分析办法：将平面刚架结构扩充到空间刚架结构。节点位移（自由度）：6个（3个平动位移和3个旋转位移）第四章杆系结构的有限元法学习要求：掌握拉压直杆单元和梁单元的单元特性，了解刚架单元的单元特性；掌握拉压直杆单元和梁单元的单元分析方法，了解刚架单元的单元刚度矩阵的构成；掌握平面杆系结构的有限元分析中局部坐标系和整体坐标系之间的转换方法；掌握单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的转换关系；掌握单元节点载荷在局部坐标系和整体坐标系下的转换关系。思考题常见的一维杆系单元有哪些？节点位移与节点力有何不同？平面桁架结构如何进行整体坐标与局部坐标的转化？梁单元的适用条件？

有限元基础

第五章第五章板壳问题的有限元法章节内容：5.1薄板弯曲的基本理论5.2薄板单元：矩形单元和三角形单元5.3薄壳有限元分析的简介5.1薄板弯曲的基本理论5.1.1薄板（thinplate）工程实际中，存在大量的板壳构件（plateandshell）几何特点：厚度远远小于其它两个方向的尺寸。薄板：t/b<1/15中面：平分板厚度的平面坐标系oxyz

：xy轴在中面上，z轴垂直于中面载荷作用于中面内的载荷：平面应力问题垂直于中面的载荷：板弯曲xyzbto5.1薄板弯曲的基本理论5.1.1小挠度薄板弯曲理论(smalldeflectiontheoryofthinplate)克西荷夫假设（Kirchhoff）：假设薄板中面的法线在变形后仍为直法线。厚度方向的位移沿板厚是不变的：即厚度方向的点的位移相同或者与在厚度方向的位置无关。应力引起的形变很小，在计算变形时可以忽略。5.1薄板弯曲的基本理论5.1.2位移位移分量：薄板中面的挠度

w

根据挠度，可以计算：在x和y轴方向上的位移分量和绕x和y轴方向的转角。

xyzbto5.1薄板弯曲的基本理论5.1.3应变及几何方程根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应变分量：

几何方程分量分别为中面的曲率和扭曲率{1/ρ}5.1薄板弯曲的基本理论5.1.4应力及物理方程根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：弹性矩阵[Dp]5.1薄板弯曲的基本理论5.1.4应力及物理方程

根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：物理方程5.1薄板弯曲的基本理论5.1.4应力及物理方程

根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：物理方程5.1薄板弯曲的基本理论5.1.5平衡方程

应力在板的侧面形成力矩：正应力形成弯距：MxMy切应力形成扭矩：Mxyσxτxyσyτxyτxyτxyσxσy微小六面体上的应力分布t为薄板的厚度5.1薄板弯曲的基本理论5.1.5平衡方程

应力和内力矩之间的关系式：

可以看出，应力沿厚度方向线性分布，最大值出现在薄板的上下表面处（z=±t/2）5.1薄板弯曲的基本理论5.1.6虚功方程

5.2薄板矩形单元5.2.1薄板矩形单元（单元描述）薄板弯曲只研究中面的变形，因此：

单元面的任意一点=长度为板厚的法线段几何形状：2a×2b节点：4个节点编号：逆时针局部坐标系：直角坐标系oxyz因此，节点位移挠度：w两个转角：单元节点位移列阵xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.2薄板矩形单元5.2.1位移模式单元具有12个自由度1个独立位移分量：挠度w多项式构造方法常数项：1一次项：xy二次项：x2xyy2三次项：x3x2yxy2y3四次项：x3yxy3x4y4x2y25.2薄板矩形单元5.2.1位移模式该位移模式是否满足三个条件？反映单元的刚体位移

答：刚体位移是指挠度和转角为常数。因此常数项和2个一次项反映了单元的刚体位移。反映单元的常应变

答：应变为挠度的二次偏导数。因此3个二次项反映了单元的常应变。位移函数保证单元内部及相邻单元之间位移的连续性

答：（1）沿x轴和y轴的方向挠度函数都是三次多项式，因此能够保证单元内部及相邻单元之间挠度的连续性。（2）θx和θy在单元边界上沿x轴和y轴方向的多项式次数不同，因此，很难保证相邻单元在公共边界上转角的连续性。因此，为部分协调单元（非协调单元）。5.2薄板矩形单元5.2.1位移模式xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.2薄板矩形单元5.2.2单元应变及内力xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.2薄板矩形单元5.2.3单元刚度方程5.2薄板矩形单元5.2.4单元等效节点载荷单元等效节点载荷列阵几种载荷情况：横向集中力或者力矩法向集中力（需要按照等效原则移置到节点上）分布横向载荷5.2薄板矩形单元5.2.5整体分析5.2.6边界条件自由简支：指板的支座处只能传递水平和垂直两个方向的力。如钢筋混凝土板搭在砖墙上或搭在不是同时浇筑的混凝土梁上；或钢结构板用螺栓与支座相连，都属于简支板。固支：指板的支座处不仅能传递水平和垂直两个方向的力，还能传递弯矩。如钢筋混凝土板与下面的梁同时现浇，并有板中的钢筋伸入梁中；或是钢结构板用焊接的方法与支座相连，焊接部位的刚度大于板的刚度，这样的板就是固支板。xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.3薄板三角形单元特点（与矩形单元相比）：计算精度略低具有更高的适应性和灵活性，可以较好的模拟边界形状较复杂的板。ijmOxy5.3薄板三角形单元位移向量ijmOxy5.3薄板三角形单元位移模式9个自由度插值方法多项式插值常数项：1一次项：xy二次项：x2xyy2三次项：x3x2yxy2y3面积坐标插值常数项：LiLjLm二次项：LiLjLjLmLmLi

三次项：LjLm2-LmLj2LmLi2-LiLm2LiLj2-LjLi2ijmOxy5.4板弯曲有限元法的进一步讨论薄板矩形单元和三角形单元的使用局限性：都属于非协调单元（部分协调单元）不适用于厚板不容易适应复杂边界改进方法：协调元放弃直法线假设采用参数单元5.5薄壳有限元分析薄壳薄壳：厚度比其它尺寸（长度、曲率半径等）小很多的壳体。中曲面：由壳体厚度中点构成的曲面。薄壳中曲面的变形弯曲变形：横截面上的正应力和平行于中曲面的切应力合成弯矩和扭矩伸缩变形：中曲面内的正应力和切应力合成中面内力或膜力在小变形情况下，面内变形和弯曲变形互不相关。薄壳单元的应力问题=平面应力问题＋弯曲应力问题5.5薄壳有限元分析薄壳单元：矩形平面壳体单元：柱面三角形平面壳体单元：任意形状和边界的薄壳坐标系局部坐标系：单元分析整体坐标系：整体分析5.5薄壳有限元分析5.5.1矩形壳元

单元足够小时，可以用平板单元拼成的折板近似代替光滑壳结构。局部坐标系位移向量面内变形：2个位移u,v弯曲变形：3个分量（1个挠度w和2个转角θx,θy）附加位移分量：θz5.5薄壳有限元分析单元刚度矩阵其中5.5薄壳有限元分析局部坐标系局部坐标系与整体坐标系的关系局部坐标系对整体坐标系的方向余弦矩阵（从整体坐标到局部坐标）5.5薄壳有限元分析坐标变换矩阵5.5薄壳有限元分析单元刚度矩阵5.5薄壳有限元分析等效节点载荷：先在局部坐标系下求解；转换到整体坐标系下节点位移和内力的计算：求解在整体坐标系下的位移然后变换到节点的局部坐标系下求解单元节点位移再根据局部坐标系下的应力公式求解应力基于求解的应力再求解弯矩和扭矩。5.5薄壳有限元分析三角形壳元灵活，可以分析任意形状的薄壳局部坐标系的建立节点位移向量5.5薄壳有限元分析单元刚度矩阵其中5.5薄壳有限元分析坐标变换坐标变换矩阵：单元刚度矩阵变换：单元位移向量变换：5.5薄壳有限元分析消除奇异的方法非常小的非零数！5.5薄壳有限元分析应用的限制由于是平面问题简单的叠加，导致单元仍为平面单元，无法描述像汽车冲压件一类更复杂的曲面。

有限元基础

第六章结构动力问题的有限元法第六章结构动力问题的有限元法章节内容

介绍如何应用有限元法求解结构的动力问题？动力学基本方程、质量矩阵、阻尼矩阵；结构的自由振动和结构的动力响应问题；动力学问题的解法。章节目录6.1概述6.2结构动力方程6.3结构的自由振动6.1概述静力分析假设载荷和结构的响应随时间的变化非常缓慢。结构的响应：位移、应变、应力和力，与时间无关。静力分析用于计算固定不变的载荷对结构或部件的影响。动力分析考虑载荷和结构的响应随时间的变化而变化。结构的响应：位移、应变、应力和力是时间的函数；除此之外，还有速度、加速度。动力分析用于求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响。6.1概述工程意义结构振动是研究机械设备运动和力学问题的重要基础。振动问题引起的机械故障率高达60％～70％，特别是运动机械。机械系统向高参数化发展，振动和噪声问题日益突出。事故典型：1940年，美国的TacomaNarrows吊桥在中速风载下，桥身发生严重的扭转振动和垂直振动而导致崩塌。1972年，日本海南电厂的一台66万KW汽轮发电机组，在试车中因为发生异常振动而全机毁坏，长达51m的主轴断裂飞射，联轴节及汽轮机叶片竟然穿透厂房飞落到百米之外。振动分析和振动设计成为产品设计中的一个关键环节。6.1概述动力问题的类型瞬态分析：用于分析结构在随时间变化的载荷作用下的动力响应模态分析：用于分析结构的固有频率和模态（振型）谐响应分析：用于分析结构在随时间正弦变化的载荷作用下的响应响应谱分析：用于求解结构在冲击载荷下的响应随机振动分析：用于分析结构对随机激励的响应显式动力分析：用于计算高度非线性动力学和复杂的接触问题6.2结构动力方程单自由度振动系统设物体的质量为m，阻尼系数为c，弹簧刚度为k，受到随时间变化的激振力F(t)作用。则其动力方程为：加速度速度位移6.2结构动力方程举例：单质量弹簧阻尼振动器zkzk6.2结构动力方程举例：单质量弹簧阻尼振动器解析解：6.2结构动力方程有限元动力分析基本步骤单元离散（网格划分）单元特性分析单元位移模式单元节点载荷单元动力平衡方程整体分析6.2结构动力方程单元位移模式假定位移模式为：单元形函数矩阵[N]仅是点的坐标的函数，与时间无关；单元节点位移{δ}e既是点的坐标的函数，又是时间的函数；单元内任一点的位移{f}既是点的坐标的函数，又是时间的函数。单元的速度：单元的加速度：显然，单元的速度和加速度：既是点的坐标的函数，又是时间的函数。6.2结构动力方程